1、 3.2立體幾何中的向量方法 3.2.1平行與垂直關(guān)系【基礎(chǔ)知識(shí)在線】知識(shí)點(diǎn)一 空間的方向向量與平面的法向量考點(diǎn)：求空間直線的方向向量與平面的法向量 利用方向向量與法向量表示空間角 利用方向向量與法向量表示平行與垂直關(guān)系知識(shí)點(diǎn)二 線線、線面、面面平行的向量表示 考點(diǎn)：利用線線、線面、面面平行的向量表示證明平行關(guān)系知識(shí)點(diǎn)三 線線、線面、面面垂直的向量表示考點(diǎn)：利用線線、線面、面面垂直的向量表示證明垂直關(guān)系【解密重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)】問(wèn)題一：空間的方向向量與平面的法向量 1. 空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量表示直線的方向，這個(gè)向量叫做直線的方向向量. 2.

2、直線，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量.(1)平面的一個(gè)法向量垂直于與平面共面的所有向量.(2)一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，且它們互相平行.3.平面的法向量的求法（1）已知平面的垂線時(shí)，在垂線上取一非零向量即可.(2)已知平面內(nèi)兩不共線向量時(shí)，常用待定系數(shù)法:設(shè)法向量由得在此方程組中，對(duì)中的任一個(gè)賦值，求出另兩個(gè)，所得即為平面的法向量.利用此方法時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)組解，賦得值不同，所得法向量就不同，但它們是共線向量.4.用向量語(yǔ)言表述線面之間的平行與垂直關(guān)系 : 設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則 線線平行：即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線 線線垂直：即：兩直線垂直兩直

3、線的方向向量垂直 線面平行：即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外 線面垂直：即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直 面面平行：即：兩平面平行兩平面的法向量共線 面面垂直：即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直問(wèn)題二：空間中線線、線面、面面平行的向量坐標(biāo)表示 1. 設(shè)直線的方向向量分別為，則 線線平行： 2. 設(shè)直線的方向向量分別為平面的法向量分別為， 線面平行：3.平面的法向量分別為，面面平行：?jiǎn)栴}三：空間中線線、線面、面面垂直的向量表示1.設(shè)直線的方向向量分別為，則線線垂直：2.設(shè)直線的方向向量分別為平面

4、的法向量分別為，線面垂直：3.平面的法向量分別為，面面垂直：【點(diǎn)撥思維方法技巧】一求平面的法向量例1已知平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，試求平面的一個(gè)法向量【思維分析】先求出，設(shè)出平面的法向量為，結(jié)合向量垂直時(shí)數(shù)量積為零的性質(zhì)，聯(lián)立方程組解題.解析，設(shè)平面的法向量為，依題意，即，解得.令.平面的一個(gè)法向量為【評(píng)析】用待定系數(shù)法求平面的法向量，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找兩個(gè)不共線向量，設(shè)出平面的法向量,列出方程組，求出的三個(gè)坐標(biāo)不是具體的值，而是比例關(guān)系，取其中一組解(非零向量)即可變式訓(xùn)練在正方體中，分別是的中點(diǎn)，求證：是平面的法向量.證明圖3-2-1設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,，,又，平面，是

5、平面的法向量.二.證明平行問(wèn)題例2在正方體中，是的中點(diǎn)，求證：平面.【思維分析】在平面內(nèi)找與向量平行的向量，由向量的相等，得線線平行，從爾的線面平行.也可建立空間直角坐標(biāo)系，求的方向向量和平面的法向量，利用向量的垂直，可得線面平行.證明 方法一 =，又,又平面，平面.方法二 圖3-2-2建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則可得，.設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，平面.【評(píng)析】向量法證明幾何中的平行問(wèn)題，可以有兩個(gè)途徑，一是在平面內(nèi)找一向量與已知直線的方向向量共線；二是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，依托直線的方向向量和平面的法向量的垂直，來(lái)證明平行變式訓(xùn)練2已知正方體中，分別在上，且，其中為正方體棱長(zhǎng)求

6、證：平面.證明圖3-2-3如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則故，又顯然為平面的一個(gè)法向量，而，.又平面，因此平面.三.證明垂直問(wèn)題例3.已知正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（1）求證：；（2）若平面平面，試確定點(diǎn)的位置圖3-2-4【思維分析】正方體為建立空間直角坐標(biāo)系提供了有利條件，對(duì)于（1），；對(duì)于（2），利用已知條件平面平面，通過(guò)垂直條件下的向量數(shù)量積等于，求得點(diǎn)的位置；取的中點(diǎn)，易證是二面角的平面角，利用向量數(shù)量積證明即可解析以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為（1），設(shè)，則，所以，即（2）法一：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，,則，所以，因?yàn)?所以，所以,又，所以,所以,所以是二面角的平面角，因?yàn)槠矫嫫?/p>

7、面，所以，所以，即故當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，能使平面平面法二：為的中點(diǎn)，證明如下：由為的中點(diǎn)得，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，,則，所以，則，即又，所以,所以,所以是二面角的平面角，因?yàn)?，所以，?即，所以平面平面所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，能使平面平面【評(píng)析】利用向量解決立體幾何中的線線，線面，面面的位置關(guān)系問(wèn)題一般經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟：恰當(dāng)建系，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求相關(guān)向量坐標(biāo)，向量運(yùn)算，將向量運(yùn)算結(jié)果還原成立體幾何問(wèn)題或結(jié)論變式訓(xùn)練3在正棱錐中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，是的重心，分別為上的點(diǎn)，且.求證：平面平面.證明(1)方法一圖3-2-5如圖3-2-5所示，以三棱錐的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系令，則,， .而平面，平面，

8、又平面，平面平面.方法二 :同方法一，建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，而顯然是平面的一個(gè)法向量.又，即平面的法向量與平面的法向量互相垂直，平面平面.【課后習(xí)題答案】練習(xí)（第104頁(yè)）1. (1)答案：平行.提示：.（2） 答案：垂直.提示：,.（3） 答案：平行.提示：.2. 提示：（1）（2）（3）與不垂直，也不平行，與相交.【自主探究提升】夯實(shí)基礎(chǔ)1.已知若，則的值為( )A.0 B. C. D.8答案:C . 提示：,即， 故,.2. 已知若，則的值為( )A.0 B.6 C.-6 D.6答案:B. 提示： ,. 3平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則平面

9、與平面的位置關(guān)系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D不能確定答案:C.提示：，兩法向量垂直，從而兩平面也垂直4已知分別是直線的方向向量，若，則()A BC D答案:D提示：，則有，解方程得.5.在正三棱柱中，.求證：.圖3-2-6證明:建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.，,而,即.拓展延伸6下列各組向量中不平行的是（ ）A BC D答案：D. 提示：而零向量與任何向量都平行.7若直線的方向向量為，平面的法向量為，則()A BC D與斜交答案：B.提示：，.8已知，則直線的模為1的方向向量是_答案:.提示：,直線的模為1的方向向量是.9已知平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且是的法向量，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則滿足的關(guān)系式是_答案:.提示：由題意，即.10若直線是兩條異面直線，它們的方向向量分別是和，則直線的公垂線(與兩異面直線垂直相交的直線)的一個(gè)方向向量是_答案:(答案不唯一).提示：設(shè)直線的公垂線的一個(gè)方向向量為，的方向向量分別為，由題意得,即,令，得，.11若，是平面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量，則_.答案:. 提示： 12.若非零向量則是與同向或反向的( )A.充分不必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.不充分不必要條件答案:A.提示：若，則與同向或反向，反之不成立. 13.如圖3-2-7(a)所示，矩形和梯形所在平面互相垂直