1、4.2 角平分線,義務(wù)教育教科書（北師大版）八年級數(shù)學(xué)下冊,第一章 三角形的證明,知識回顧,證明一個命題的一般步驟: (1)弄清題設(shè)和結(jié)論； (2)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形； (3)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知和求證； (4)分析證明思路,寫出證明過程。,角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.,OC是AOB的平分線,P在OC上， PDOA,PEOB,垂足分別是D,E， PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).,A,O,C,B,P,D,E,知識回顧,1.角平分線的性質(zhì)定理.,在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.,PDOA,PEOB,垂足分別 是D,E，且PD=PE,

2、 點P在AOB的平分線上.(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).,2.角平分線的性質(zhì)的逆定理.,已知:AOB,如圖. 求作:射線OC,使AOC=BOC.,用尺規(guī)作角的平分線.,作法:1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.,2.分別以點D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在 AOB內(nèi)交于點C.,3.作射線OC.則射線OC就是AOB的平分線.,作三角形的三個內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？,發(fā)現(xiàn)：三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點這一點到三角形三邊的距離相等,自主預(yù)習,剪一個三角形紙片，通過折疊找出每個角的角平分線，觀察這三條角平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同

3、樣的結(jié)論？與同伴交流,結(jié)論:三角形三個角的平分線相交于一點.,點撥：要證明三條直線相交于一點，只要證明其中兩條直線的交點在第三條直線上即可。,命題:三角形三個角的平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。 已知：如圖，設(shè)ABC的角平分線BM、CN相交于點P，過P點作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足。 求證： A的角平分線經(jīng)過 點P，且PD=PE=PF,新知探究,證明： BM是ABC的角平分線,點P在BM上 PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.) 同理：PE=PF PD=PF=PE 點P在A的平分線上(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分

4、線上.) 即 A的角平分線經(jīng)過,定理:三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等. 如圖,在ABC中, BM,CN,AH分別是ABC的 三條角平分線,且PDAB, PEBC,PFAC(已知), BM,CN,AH相交于一點P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等).,老師提示:這又是一個證明三條直線交于一點的根據(jù)之一這個交點叫做三角形的內(nèi)心.,例.如圖,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平分線,DEAB,垂足為E. (1)如果CD=4cm,AC的長; (2)求證:AB=AC+CD.,老師期望:你能正確地解答并規(guī)范地寫

5、出其過程. 完成后與同學(xué)交流一下。,如圖,已知ABC,作ABC一個內(nèi)角和與它不相鄰的兩個外角的平分線,看它們是否交于一點?這樣的點有幾個?如果以這個點為圓心,這一點到三角形一邊的距離為半徑作圓,你能作出這個圖形嗎?,老師提示:三角形一個內(nèi)角和與它不相鄰的兩個外角的平分線交于一點，這個的點叫做三角形的傍心，這樣點有三個。,定 理： 角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等. 逆定理： 在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相 等的點,在這個角的平分線上. 定 理: 三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等(這個交點叫做三角形的內(nèi)心).,知識梳理,1.已知:如圖,C=900, B=300,AD是RtABC 的角平分線. 求證:BD=2CD.,隨堂練習,2.已知:如圖,ABC的外角CBDT和BCE的角 平分線相交于點F. 求證:點