1、第四章 模態(tài)分析,第四章 模態(tài)分析,4.1 引言 4.2 實模態(tài)分析 4.3 復模態(tài)分析 4.4 試驗模態(tài)分析,緒論,機械振動的研究對象、意義 數(shù)學準備和運動學,緒論,機械振動的研究對象、意義,振動，是指物理量在它的平均值附近不斷地經(jīng)過極大值和極小值而往復變化的過程。 機械振動指機械或結(jié)構(gòu)在它的靜平衡位置附近的往復彈性運動。 機械振動研究的對象是機械或結(jié)構(gòu)，即具備質(zhì)量和彈性的物體。在理論分析時，需要把機械或結(jié)構(gòu)按照力學原理，通過數(shù)學建模，抽象為力學系統(tǒng)（又稱為數(shù)學模型）。 可以產(chǎn)生機械振動的力學系統(tǒng)稱為振動系統(tǒng)。,振動系統(tǒng)三要素及其關(guān)系,振動系統(tǒng)的三要素：激勵、系統(tǒng)和響應(yīng) 外界對振動系統(tǒng)的激勵

2、或作用，稱為振動系統(tǒng)的激勵或輸入。 系統(tǒng)對外界影響的反映，稱為振動系統(tǒng)的響應(yīng)或輸出。 二者由系統(tǒng)的振動特性相聯(lián)系。,三種基本振動問題,響應(yīng)分析：在擾動條件和系統(tǒng)特性已知的情形下，求系統(tǒng)的響應(yīng),系統(tǒng)識別：分析已知的激勵與響應(yīng)，確定振動系統(tǒng)的性質(zhì),環(huán)境預測：已知振動系統(tǒng)和在未知激勵下的響應(yīng)，研究該未知激勵的性質(zhì),響應(yīng)分析,車輛在給定的路面上行走，求車身的加速度響應(yīng),工程提法：系統(tǒng)設(shè)計,在一定的激勵條件下，如何來設(shè)計系統(tǒng)的特性，使得系統(tǒng)的響應(yīng)滿足指定的條件。,系統(tǒng)識別,方法：以某種已知的激振力作用在被測振動系統(tǒng)上，使其產(chǎn)生響應(yīng)，根據(jù)已知的激勵和測量得到的響應(yīng)量值，進而根據(jù)一定的分析方法（模態(tài)分析），

3、確定系統(tǒng)的振動參數(shù)，如：質(zhì)量矩陣，剛度和阻尼矩陣以及系統(tǒng)的振型和固有頻率向量。 模態(tài)試驗,環(huán)境預測,例：振源判斷、載荷識別、基于振動信號的工況監(jiān)視與故障診斷。 例：用五輪儀來測量路面的不平度 對于五輪儀，其系統(tǒng)特性已知，通過測量五輪儀的輸出，可以反推出路面的不平度特性。,機械振動的作用,消極方面：影響儀器設(shè)備功能，降低機械設(shè)備的工作精度，加劇構(gòu)件磨損，甚至引起結(jié)構(gòu)疲勞破壞。 積極方面：利用振動性能的設(shè)備,機械振動的破壞作用,顫振：大氣紊流和其他振源都會使飛機等飛行器產(chǎn)生振動（舒適性，機載儀表） 自激振動：輸電線的舞動 1940年美國塔可馬(Tacoma Narrows)吊橋在中速風載作用下，因

4、橋身發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動和上下振動造成坍塌事故 1972年日本海南的一臺66104kW汽輪發(fā)電機組，在試車過程中發(fā)生異常振動而全機毀壞； 步兵在操練時，不能正步通過橋梁，以防發(fā)生共振現(xiàn)象造成橋梁坍塌,機械振動的積極作用,共振放大 利用顆粒的振動進行清洗，拋光，零件去毛刺； 利用振動減小零部件之間的摩擦阻力和間隙,學習機械振動的意義,進行結(jié)構(gòu)動強度設(shè)計的需要 消除有害的振動 利用振動有利的一面 是學好相關(guān)知識的基礎(chǔ),離散系統(tǒng)的基本元件,機械振動系統(tǒng)： 慣性元件，彈性元件，阻尼元件，外界激勵。 通常用物理量： 質(zhì)量M，剛度K，阻尼C，和外界激勵F表示。,振動分類,按系統(tǒng)分： 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 離散系統(tǒng)

5、和連續(xù)系統(tǒng) 確定性系統(tǒng)和隨機系統(tǒng),按激勵分： 自由振動 受迫振動 自激振動 參數(shù)共振,振動分類,按響應(yīng)分： 簡諧振動 周期振動 非周期振動 隨機振動,按自由度分： 單自由度振動 多自由度振動 連續(xù)體振動,運動學,一、簡諧運動,按時間的正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))所作的振動,振幅,相位,初相位,圓頻率,運動學,簡諧振動的速度和加速度,位移,速度,加速度,大小和位移成正比,方向和位移相反，始終指向平衡位置,運動學,拍,不同頻率振動的疊加,頻率接近于相等時,拍的頻率：每秒中振幅從最小值經(jīng)過最大值到最小值的次數(shù) 拍的圓頻率：w1-w2,運動學,簡諧振動的復數(shù)表示,復平面上的一點z代表一個矢量 使該矢量以等角

6、速度w在復平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)（復數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量）,運動學,速度、加速度的復數(shù)表示,位移,速度,加速度,對復數(shù)Aeiwt每求導一次，相當于在它的前面乘上一個iw，而每乘上一個i，相當于把這個復數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量逆時針旋轉(zhuǎn)p/2,運動學,諧波分析,把一個周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，亦即展開成一系列簡諧函數(shù)之和,一般的周期振動可以通過諧波分析分解成簡諧振動,運動學,諧波分析,傅立葉級數(shù),w1:基頻,諧波分析,兩個頻率相同的簡諧振動可以合成一個簡諧振動,把諧波分析 的結(jié)果形象化：An，jn和w之間的 關(guān)系用圖形來表示，稱為頻譜,單自由度系統(tǒng),自由振動 簡諧振動 非周期強迫振動,自由振動,振動系統(tǒng)在初始激勵下或外加激勵消失后

7、的運動狀態(tài)。 自由振動時系統(tǒng)不受外界激勵的影響，其運動時的能量來自于初始時刻彈性元件和慣性元件中存儲的能量。 振動規(guī)律完全取決于初始時刻存儲的能量和系統(tǒng)本身的性質(zhì)。,運動微分方程,振動系統(tǒng)在初始激勵下或外加激勵消失后的運動狀態(tài)。 自由振動時系統(tǒng)不受外界激勵的影響，其運動時的能量來自于初始時刻彈性元件和慣性元件中存儲的能量。 振動規(guī)律完全取決于初始時刻存儲的能量和系統(tǒng)本身的性質(zhì)。,運動微分方程,運動微分方程,運動微分方程,解,運動微分方程,單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動,能量關(guān)系,意義：慣性力的功率Fm與彈性力的功率Fs之和為零,能量關(guān)系,能量關(guān)系,Rayleigh商,動能系數(shù),阻尼自由振

8、動,方程,阻尼自由振動,解,特征方程,臨界阻尼,阻尼自由振動,特征方程解,阻尼自由振動,方程的通解,三種情況,1，相異實根。阻尼大于臨界阻尼。強阻尼,=1，重根。阻尼等于臨界阻尼,1，共軛復根。阻尼小于臨界阻尼，弱阻尼，,阻尼自由振動,1,=1,阻尼自由振動,1,阻尼固有頻率,阻尼自由振動,對數(shù)衰減率,簡諧強迫振動,方程,解,簡諧強迫振動,系數(shù),簡諧強迫振動,放大系數(shù),0,1,2,3,4,X/A,0.5,1,/ n,1,0.7,0.4,0.3,0.2,0,1,2,3,1,0.7,0.5,0.2,0.1,簡諧強迫振動,相頻特性,簡諧強迫振動,全解,簡諧強迫振動,全解,振動計,0,1,2,3,4,

9、6,7,5,0,1,2,A,B,C,y0/a0,w/wn,位移測量計,擾動頻率大于儀器的固有頻率（B點），記錄的振幅逐漸接近于擾動頻率的振幅 儀器的固有頻率應(yīng)該比要記錄測量的頻率低2倍 當振動包含高階頻率時，不影響位移振動計的測量,簡諧強迫振動,振動加速度計,0,1,2,3,4,6,7,5,0,1,2,A,B,C,y0/a0,w/wn,振動加速度計的固有頻率應(yīng)該是所記錄測量的最高頻率的2倍以上,簡諧強迫振動,振動加速度計振幅,r0/a,w/wn,0,0.25,0.50,0.75,1.00,1.25,1.50,1.75,2.00,0,0.5,1.0,1.5,2.0,c/cc=0,拋物線,c/cc

10、=0.5,c/cc=0.7,為了避免高階諧振共振影響振動加速度計工作，必須在振動加速度計中加入阻尼,0.5和0.7臨界阻尼比無阻尼曲線更接近理想加速度計曲線,簡諧強迫振動,振動加速度計-相位,當阻尼在0.5-0.7臨界阻尼之間時，相位差特性曲線很接近低于共振區(qū)域的對角線：相位差近似正比于頻率，記錄的波的合成與實際波相同。,簡諧強迫振動,振動的隔離原理,k,通過彈簧傳給下層結(jié)構(gòu)的力？,可傳性,簡諧強迫振動,振動的隔離原理: 阻尼,w/wn,隔振系數(shù),1,0,2,0,1,2,3,0.25,0.5,0.5,c/cc=0,w/wn1.41區(qū)域中，阻尼使隔振系數(shù)減小(但仍然比1大),阻尼的存在使隔振系數(shù)

11、更壞？,阻尼的存在可以有效防止共振 阻尼的不利效應(yīng)可以很容易通過使彈簧變得更軟來彌補,非周期強迫振動,脈沖力,t = 時的單位脈沖力,重要性質(zhì)：F(t)在t = 連續(xù)，則有,非周期強迫振動,系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),條件：t=0以前系統(tǒng)靜止，t=0時刻受到一個單位脈沖力作用,解為單位脈沖響應(yīng),h(t) = 0 t0,非周期強迫振動,卷積極分,把任意激勵F(t)看成一系列脈沖函數(shù)的疊加,定解問題,解,多自由度系統(tǒng),多自由度系統(tǒng)振動方程 固有振動 動力響應(yīng)分析,多自由度系統(tǒng)振動方程,例,多自由度系統(tǒng)振動方程,x =x1，x2T,f(t) =f1(t)，f2(t)T,多自由度系統(tǒng)振動方程,質(zhì)量矩陣，阻尼矩

12、陣，剛度矩陣的性質(zhì),對稱性,正定性,耦合,慣性耦合,阻尼耦合,彈性耦合,耦合的消除,固有振動,2 反向運動,例：對稱系統(tǒng)， 特殊初始條件下的振動,1 同向運動,x1(0)= x2(0)= x0， ,x1(0)= x2(0)= x0,固有振動,固有振動,3 任意初始條件,分解為兩個初始條件,固有振動,數(shù)學提法,方程,特征值問題,頻率方程,K = 2Mu,|kij2mij|=0,解為,固有頻率 12，n,振型 1 ， 2 ， ， n,固有頻率矩陣 =diag(1，2，n),振型矩陣 =1， 2， n,K = ,K1 ，K2 ，Kn= 12 1 ，222 ，n2n,固有振動,振型的正交性,當 r s

13、時，如果rs，則有,可證：振型之間線性無關(guān),可定義以剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為權(quán)的內(nèi)積,即：振型之間彼此以剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為權(quán)正交,K=xTKy, M=xTMy,當y=x時,K=xTKx, M=xTMx,固有振動,振型正交性的物理意義,如果 x= arr + ass 則,xTKx= ar2rTKr + as2sTKs,固有振動,振型歸一化,1 令,2 令 r的某一分量為 1。比如取 r 的分量中絕對值最大的分量為 1，,固有振動,振型坐標的解耦性,阻尼矩陣的處理,Rayleigh阻尼,C = M +K,Fawzy證明C可對角化應(yīng)滿足下述條件之一,固有振動,方程,特征方程,令 q= et,n對共軛復

14、根,動力響應(yīng)分析,物理坐標下的方程,x=y，且兩邊左乘T ，得到振型坐標下的方程,寫出分量形式,動力響應(yīng)分析,初始條件的處理,兩邊左乘TM,同樣,動力響應(yīng)分析,展開定理,彈性力,位移,復模態(tài)分析,方程,引入輔助方程,令,狀態(tài)空間方程,復模態(tài)分析,令 q= et,特征方程,n對共軛復根,復模態(tài)分析,由,得到n對2n維共軛向量(特征向量),并有,稱r為第r階模態(tài)向量,復模態(tài)分析,令,則,這里,稱：為復模態(tài)矩陣,為特征向量矩陣,為頻率矩陣,復模態(tài)分析,復特征向量的正交性,r，s=1，2，,n,復模態(tài)分析,上面公式展開得,r，s=1，2，,n,復模態(tài)分析,分塊有,復模態(tài)分析,分塊有,復模態(tài)分析,復模態(tài)

15、質(zhì)量,復模態(tài)參數(shù),復模態(tài)剛度,r=1，2，,n,復模態(tài)阻尼,并有,r=1，2，,n,復模態(tài)分析,復模態(tài)阻尼衰減系數(shù),復模態(tài)固有頻率,r=1，2，,n,復模態(tài)阻尼比,并有,復模態(tài)阻尼固有頻率,復模態(tài)分析,物理坐標下的方程,q=y，且兩邊左乘T ，得到復特征向量坐標下的方程,初始條件,復模態(tài)分析,物理坐標下的自由振動解,特征向量坐標下的解為,由q=y中取出前n項，得,復模態(tài)分析,如果系統(tǒng)以某階阻尼固有頻率振動時 ，有,其中第s個坐標的運動為,設(shè),則,復模態(tài)分析,一般粘性阻尼系統(tǒng)以r階主振動做自由振動時，每個物理坐標的初相位(srr)不僅與該階主振動有關(guān)，還與物理坐標s 有關(guān)，即各物理坐標初相位不同

16、。因而，每個物理坐標振動時并不同時達到平衡位置和最大位置，即主振型節(jié)點（線）是變化的，即不具備模態(tài)保持性，主振型不再是駐波形式，而是行波形式。這是復模態(tài)系統(tǒng)的特點,復模態(tài)分析,簡支梁二階振型半個周期內(nèi)的變化 （a）實模態(tài)系統(tǒng)；（b）復模態(tài)系統(tǒng),連續(xù)體振動,桿的縱向振動 軸的扭轉(zhuǎn)振動 梁的彎曲振動,桿的縱向振動,假定：細長等截面桿, 振動時橫截面仍保持為平面，橫截面上的質(zhì)點只作沿桿件縱向的振動，橫向變形忽略不計。則同一橫截面上各點在x方向作相等的位移。 參數(shù)：桿長l，截面積S，材料密度，彈性模量E,桿的縱向振動,桿的縱向振動,微元分析：,桿的縱向振動,桿的縱向振動,桿的縱向振動,解：設(shè),u(x,

17、t)=X(x)T(x),即,桿的縱向振動,解為,時間域，初值問題,空間域，邊值問題,固支邊條件,x=0時，u(0,t)=X(0)T(x)=0，即X(0)=0,x=l時，u(l,t)=X(0)T(l)=0，即X(l)=0,自由邊條件,x=0時, ，即,x=l時, ，即,桿的縱向振動,例：如果兩端固支，有,兩端固支桿縱向振動特征方程（頻率方程）,這就是兩端固支桿縱向振動的各階頻率，相應(yīng)的各階固有振型是：,（n=1,2,）,（n=1,2,）,C2=0,顯然，C10，故有：,軸的扭轉(zhuǎn)振動,方程,彈性軸軸向坐標x，扭轉(zhuǎn)變形(x,t)，單位長度對x軸的轉(zhuǎn)動慣量I(x)，截面抗扭剛度為GJ(x)。,當轉(zhuǎn)動慣

18、量I(x)，截面抗扭剛度GJ(x)與x無關(guān)時,梁的彎曲振動,方程,用分離變量法求解，令,令 ，則上式為：,梁的彎曲振動,方程,邊界條件,簡支,梁的彎曲振動,固支,自由,梁的彎曲振動,固支,自由,隨機振動,隨機過程 相關(guān)函數(shù) 功率譜函數(shù) 激勵響應(yīng)關(guān)系,隨機過程,樣本函數(shù),xr(t) t(， ),隨機函數(shù),狀態(tài),數(shù)字特征,均值 x=EX(t),均方值 x=EX2(t),方差 E(X (t) x )2,相關(guān)函數(shù),相關(guān)函數(shù),自相關(guān)函數(shù),平穩(wěn)隨機過程,統(tǒng)計性質(zhì)、趨勢與時間無關(guān),互相關(guān)函數(shù),均值、均方值和方差為常數(shù),相關(guān)函數(shù)是時差的函數(shù),各態(tài)遍歷過程,相關(guān)函數(shù),自相關(guān)函數(shù)性質(zhì),1 偶函數(shù),2 周期隨機過程的自相關(guān)函數(shù)仍是周期函數(shù),3,4,5 如果不是周期隨機過程,相關(guān)函數(shù),互相關(guān)函數(shù)性質(zhì),1,2,3,4 X(t)、 Y(t)相互獨立,功率譜函數(shù),自譜,性質(zhì),1 自譜是非負偶函數(shù),2,3 導數(shù)過程的自譜,單位：（物理單位）2/（頻率單位）。,功率譜函數(shù),互譜,性質(zhì),1 互譜一般是復函數(shù),2,3 |Sxy()|2 Sx() Sy(),4 如果X