1、,第9章 振 動(dòng),9-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 振幅 周期和頻率 相位,9-2 旋轉(zhuǎn)矢量,9-3 單擺和復(fù)擺,9-4 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量,9-5 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成,*9-6 阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng),9-1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),機(jī)械振動(dòng): 物體在一定位置附近作來(lái)回往復(fù)的周期性運(yùn)動(dòng).,廣義振動(dòng)：,任一物理量在某一數(shù)值附近作周期性變化時(shí)，,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng): 最簡(jiǎn)單最重要的振動(dòng) (正余弦形式的運(yùn)動(dòng)),疊加原理：任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以看作是間諧振動(dòng)的疊加。,稱該物理量在作振動(dòng)。 （如交流電的電流、電壓，電磁波中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)等。）,一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) (諧振動(dòng)),物體振動(dòng)時(shí)，如果離開平衡位置的位移隨時(shí)間的變化可表示為余弦或者正弦函數(shù)，則該振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧

2、運(yùn)動(dòng) ( 簡(jiǎn)稱諧振動(dòng) )。,1. 彈簧振子,彈簧振子：輕質(zhì)彈簧 + 物體（無(wú)摩擦）。,振動(dòng)物體所受合外力為零的位置。,平衡位置：,平衡位置,- 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,其解為：,-積分常數(shù)，由初始條件確定,受力:,平衡位置,令：,根據(jù)初始條件確定 A 和 ,注意：在一個(gè)周期內(nèi) 可取兩個(gè)值，取哪個(gè)值可用初始 速度的正負(fù)來(lái)判斷。,線形回復(fù)力：,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征：,只要滿足上面之一既為簡(jiǎn)諧振動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程:,微分方程:,2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度,取,振動(dòng)曲線,也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).,二. 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征量,周期T ：物體完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間。,物體在單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)。,頻率 ：,1. 周期T 頻率

3、角頻率,周期T 頻率 角頻率 - 系統(tǒng)本身性質(zhì)決定,角頻率（圓頻率）：,單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度。,彈簧振子:,2. 振幅 A,諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。,因此 決定振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 。,3. 相位,是 t 時(shí)刻的相位。,是 t =0 時(shí)刻的相位，稱初相。,4. 同相與反相,相位差,同頻率的兩振動(dòng)：,當(dāng) = 2k , ( k =0,1,2,) ,兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱同相。,x2,T,x,o,x1,t,同相,當(dāng) = (2k+1) , ( k =0,1,2,) ,兩振動(dòng)步調(diào)相反,稱反相。,x2,T,x,o,x1,t,反相,討論: 已知 t =0 時(shí)， 彈簧振子處在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng).

4、 求 ,勻速旋轉(zhuǎn)的角速度為:,9-2 旋轉(zhuǎn)矢量,-簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程,旋轉(zhuǎn)矢量:,繞o點(diǎn)旋轉(zhuǎn),t=0時(shí)A和x軸夾角:,t 時(shí)刻A和x軸夾角:,t 時(shí)刻A的x軸投影:,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)一一對(duì)應(yīng)。,設(shè)計(jì)一旋轉(zhuǎn)矢量：,以o為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量 的端點(diǎn)在x軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).,結(jié)論： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)和旋轉(zhuǎn)矢量一一對(duì)應(yīng)( x, A, , , t+ ) 可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示簡(jiǎn)諧振動(dòng),t =0,t 時(shí)刻,例1 求下列振動(dòng)的初相位,1）,2）T=2s, t=1s時(shí)，處在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)。,例2 一簡(jiǎn)諧振動(dòng)T=2s, 問從A/2處運(yùn)動(dòng)到平衡位置所需的最短時(shí)間。,例3 如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系

5、數(shù)k=0.72N/m，物體的質(zhì)量m=20g,把物體從平衡位置向右拉到 x = 0.05m 處停下后再釋放。 1）求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程； 2）物體在 x=0.05m 處所受的力； 3）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次到達(dá) A/2 處時(shí)所需時(shí)間和速度; 4）如果物體在 x=0.05m 處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度v0=0.30m/s，求其運(yùn)動(dòng)方程.,0.05,解 1),由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知,2),3) 求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次到達(dá) A/2 處時(shí)所需時(shí)間和此時(shí)的速度,由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知:,（負(fù)號(hào)表示速度沿ox軸負(fù)方向）,由旋轉(zhuǎn)矢量圖,0.05,0.0707,4) 如果物體在 x =0.05m 處時(shí)速度不等

6、于零，而是具有向右的初速度v0=0.30m/s，求其運(yùn)動(dòng)方程.,例4 一質(zhì)量為0.01kg的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振幅為0.08m，周期為4s，起始時(shí)刻物體在x=0.04m處，向ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（如圖）.試求: 1) t=1s時(shí)，物體所處的位置和所受的力；,解: 1),由t=0時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量圖可知,2)由起始位置運(yùn)動(dòng)到 x =-0.04m 處所需要的最短時(shí)間.,一. 單擺,9-3 單擺和復(fù)擺,其中小球?qū)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:,令:,則:,轉(zhuǎn)動(dòng)定律:,對(duì)o力矩:,有:,o,解為:,其中:,二. 復(fù)擺,（C點(diǎn)為質(zhì)心）,令:,則:,解為:,力矩:,轉(zhuǎn)動(dòng)定律:,復(fù)擺,彈簧振子,單擺,結(jié)論: 振動(dòng)頻率只與諧振子自身有

7、關(guān),例1 一質(zhì)量為m 的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的震動(dòng)周期。設(shè)水的密度為 。,解 此船靜浮時(shí)，所受的浮力和重力平衡,y,P,P,任一位置時(shí)的合力:,平衡位置,任一位置,例2 在橫截面為S的U形管中有適量液體，液體總長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為m，密度為 ，求液面上下起伏的振動(dòng)周期（忽略液體與管壁間的摩檫）。,解 建立 oy, 原點(diǎn)取在液面相平的 位置.,y,y,O,y,當(dāng)左面生高 y 時(shí),受力:,則:,火車沿水平軌道以加速度a 作勻加速直線運(yùn)動(dòng),則車廂中擺長(zhǎng)為l 的單擺的周期為,思考1:,思考2: 一長(zhǎng)為l質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)桿，求振動(dòng)周期。,一塊均勻的長(zhǎng)木

8、板質(zhì)量為m, 對(duì)稱的放在相距為l = 20cm的兩個(gè)滾軸上. 兩滾軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反, 已知滾軸表面與木板的摩擦系數(shù)為 =0.5. 今使木板沿水平方向移動(dòng)一段距離后釋放, 證明此后木板將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)并求其周期.,思考3:,作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,以彈簧振子為例,9-4 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量,其中:,能量,例1. 一個(gè)質(zhì)量為0.04kg的物體，受恢復(fù)力F=-kx作用，力常數(shù)k=1N/m，當(dāng)t=0時(shí)，物體在平衡位置右方0.1m處，速度為0.5m/s向右，試計(jì)算此物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的 （a）振動(dòng)周期，頻率和角頻率，（b）總能量，（c）振幅，（d）初相位，（e）最大速度，（f）最大加速度，（g）t=/10s時(shí)

9、物體的位置，速度及加速度。（h）在何處動(dòng)能和勢(shì)能相等。,解,（a） =5/s T=0.4 s =1.26s =0.8Hz,（b） E=0.01J,（c） A=0.141m,（d） = - /4 rad,（e） vmax= 0.71m/s,（f） amax= 3.53m/s2,（g） x=0.1m v= -0.5 m/s a= -2.5 m/s2,（h） x= 0.1m,一. 兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成,兩分振動(dòng)（同頻率）：,合振動(dòng)-旋轉(zhuǎn)矢量合成：,結(jié)論：合振動(dòng) x 仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率和分振動(dòng)相同。,9-5 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成,t = 0,討論:,1） 若兩分振動(dòng)同相, 即:,則 A=A1+A2

10、 最大 , 兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)。合振動(dòng)的相位和分振動(dòng)相同。,2） 若兩分振動(dòng)反相, 即:,當(dāng) A1=A2 時(shí), A=0,則A=|A1-A2| 最小, 兩分振動(dòng)相互減弱。合振動(dòng)的相位和振幅大的分振動(dòng)相同。,二.兩個(gè)同方向頻率相差很小的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 拍,頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象-拍.,合振動(dòng)為：,合振動(dòng) :,分振動(dòng) :,（ 設(shè)振幅相同,初相均為0 ）,因?yàn)椋?則有：,其中:,拍振幅的變化頻率-拍頻:,拍的應(yīng)用： 樂器較音，測(cè)量頻率，等,拍的振幅:,結(jié)論：合振動(dòng) x 可看作是振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng) - 拍,習(xí)題二，5,t = t,*三、兩個(gè)相互垂直同頻

11、率諧振動(dòng)的合成*,1.分振動(dòng),2. 合運(yùn)動(dòng),討論:,1） 當(dāng) = 2 1= k （k為整數(shù)）時(shí):,2） 當(dāng) = （ 2k +1 ） /2 （k為整數(shù)）時(shí)：,x,y,四、兩相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成李薩如圖*,測(cè)量振動(dòng)頻率和相位的方法,李 薩 如 圖,9-6 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振,一. 阻尼振動(dòng),1. 阻尼力,2. 振動(dòng)的微分方程,式中，2=k/m , n = /(2 m) (阻尼系數(shù)),3. 幾種阻尼振動(dòng)模式,（1）小阻尼,（3）大阻尼,l0,x,（2）臨界阻尼,（2）臨界阻尼( n2 = 2 ),（1）小阻尼 ( n2 2 ),在過阻尼和臨界阻尼時(shí)無(wú)振動(dòng).,x,t,O,大阻尼,臨界阻尼,x,t,O,（3）大阻尼( n2 2 ),二. 受迫振動(dòng),1. 受力分析,彈性力,阻尼力,周期性干擾力,2. 受迫振動(dòng)的微分方程,l0,x,3.受迫振動(dòng)微分方程的穩(wěn)態(tài)解為:,其中，振幅 B 及受迫振動(dòng)與干擾力之間的相位差分