1、線性代數(shù)試題和答案 第一部分 選擇題 (共28分) 一、 單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題 列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填 在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無分。 1.設(shè)行列式=m，=n，則行列式等于（ D ） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.設(shè)矩陣A=，則A-1等于（ B ） A. B. C. D. 3.設(shè)矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（B ） A. 6 B. 6 C. 2 D. 2 4.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（ D ） A. A =0 B. BC時(shí)A= 0

2、 C. A0時(shí)B=C D. |A|0時(shí)B=C 5.已知34矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（AT）等于（C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.設(shè)兩個(gè)向量組1，2，s和1，2，s均線性相關(guān)，則（ D ） A.有不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ ss=0 B.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+ +s（s+s）=0 C.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s- s）=0 D.有不全為0的數(shù)1，2，s和不全為0的數(shù)1，2，s使 11+22+ss=0和11+22+ss=0 7.設(shè)矩陣A的秩為r，則A中（ C ） A.所有r-

3、1階子式都不為0 B.所有r-1階子式全為0 C.至少有一個(gè)r階子式不等于0 D.所有r階子式都不為0 8.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論 錯(cuò)誤的是（A ） A.1+2是Ax=0的一個(gè)解 B.1+2是Ax=b的一個(gè)解 C.1-2是Ax=0的一個(gè)解 D.21-2是Ax=b的一個(gè)解 9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（ A） A.秩(A)n B.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程組Ax=0只有零解 10.設(shè)A是一個(gè)n(3)階方陣，下列陳述中正確的是（ ） A.如存在數(shù)和向量使A=，則是A的屬于特征值的特征向量 B.如存在數(shù)和非零向量，使(E-A)=0，則是A的特征

4、值 C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量 D.如1，2，3是A的3個(gè)互不相同的特征值，1，2，3依次是A的屬 于1，2，3的特征向量，則1，2，3有可能線性相關(guān) 11.設(shè)0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于0的線性無關(guān)的特征向量 的個(gè)數(shù)為k，則必有（ ） A. k3 B. k3 12.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A.|A|2必為1 B.|A|必為1 C.A-1=AT D.A的行（列）向量組是正交單 位向量組 13.設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則（ ） A.A與B相似 B. A與B不等價(jià) C. A與B有相同的特征值 D. A與B合同 14.下列矩陣中是

5、正定矩陣的為（ ） A. B. C. D. 第二部分 非選擇題（共72分） 二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程， 將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無分。 15. 6 . 16.設(shè)A=，B=.則A+2B= . 17.設(shè)A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則 (a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+ (a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關(guān)，則a= -10 . 19.設(shè)A

6、是34矩陣，其秩為3，若1，2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè) 不同的解，則它的通解為 . 20.設(shè)A是mn矩陣，A的秩為r(n)，則齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ) 解系中含有解的個(gè)數(shù)為 . 21.設(shè)向量、的長度依次為2和3，則向量+與-的內(nèi)積（+，- ）= . 22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征 值為 . 23.設(shè)矩陣A=，已知=是它的一個(gè)特征向量，則所對應(yīng)的特征值為 . 24.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為 . 三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分） 25.設(shè)A=，B=.求（1）AB

7、T；（2）|4A|. 26.試計(jì)算行列式. 27.設(shè)矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B. 28.給定向量組1=，2=，3=，4=. 試判斷4是否為1，2，3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。 29.設(shè)矩陣A=. 求：（1）秩（A）； （2）A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。 30.設(shè)矩陣A=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T- 1AT=D. 31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 f(x1,x2,x3)=， 并寫出所用的滿秩線性變換。 四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分） 32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+

8、A2. 33.設(shè)0是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，1，2是其導(dǎo)出組Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系.試證明 （1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0，1，2線性無關(guān)。 答案： 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 17. 4 18. 10 19. 1+c(2-1)（或2+c(2-1)），c為任意常數(shù) 20. n-r 21. 5 22. 2 23. 1 24. 三、計(jì)算題（

9、本大題共7小題，每小題6分，共42分） 25.解（1）ABT= =. （2）|4A|=43|A|=64|A|，而 |A|=. 所以|4A|=64（-2）=-128 26.解 = = 27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而 （A-2E）-1= 所以 B=(A-2E)-1A= = 28.解一 所以4=21+2+3，組合系數(shù)為（2，1，1）. 解二 考慮4=x11+x22+x33， 即 方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）. 29.解 對矩陣A施行初等行變換 A =B. （1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3. （2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是

10、階梯形，B 的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，故A的 第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。 （A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是） 30.解 A的屬于特征值=1的2個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 1=（2，-1，0）T， 2=（2，0，1）T. 經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得1=，2=. =-8的一個(gè)特征向量為 3=，經(jīng)單位化得3= 所求正交矩陣為 T=. 對角矩陣 D= （也可取T=.） 31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32 =（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32. 設(shè)， 即， 因其系數(shù)矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩。 經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形 y12-2y22-5y32 . 四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分） 32.證 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E， 所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 . 33.證 由假設(shè)A0=b，A1=0，A2=0. （1）A1=A（0+1）