1、一 定積分的概念 二 定積分的簡單性質(zhì) 三 定積分的計(jì)算 四 定積分的應(yīng)用 五 廣義積分和函數(shù),第五章 定積分及其應(yīng)用,定積分的演示,背景來源面積的計(jì)算,！矩形的面積定義為兩直角邊長度的乘積,？一般圖形的面積是什么,我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，但閃爍部分永遠(yuǎn)不可能恰好為矩形，這些“邊角余料”無外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時(shí)可旋轉(zhuǎn)）,“典型圖形”面積的計(jì)算問題就產(chǎn)生了定積分,5.1.1兩個(gè)實(shí)際問題,1. 曲邊梯形的面積,設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線,以及兩直線,所圍成 ,求其面積 A .,矩形面積,梯形面積,5.1.1 定積分的概念,解決步驟 :,1) 分割.,在區(qū)間 a , b 中

2、任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn),用直線,將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;,2) 近似.,在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,為高的小矩形,并以此小,梯形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3) 求和.,4) 取極限.,令,則曲邊梯形面積,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定積分的演示,1、分割 將a，b分割為n個(gè)小區(qū)間,2、取介點(diǎn) 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i,3、局部以直代曲 每個(gè)小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(i)代替,4、作和：S=,y,x,定積分的演示,1、分割 將a，b分割為n個(gè)小區(qū)間,2、取介點(diǎn) 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i,3、局部以直

3、代曲 每個(gè)小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(i)代替,4、作和：S=,5、取極限,a b,y,x,2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且,求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.,解決步驟:,1) 分割.,將它分成,在每個(gè)小段上物體經(jīng),2) 近似.,得,已知速度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,n 個(gè)小段,過的路程為,3) 求和.,4) 取極限 .,上述兩個(gè)問題的共性:,解決問題的方法步驟相同 :,“分割 , 近似 , 求和 , 取極限 ”,所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:,特殊乘積和式的極限,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5.1.2 定積分概念,任一種分法,任取,總趨于確定的極

4、限 I ,則稱此極限 I 為函數(shù),在區(qū)間,上的定積分,即,此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .,記作,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分,變量用什么字母表示無關(guān) ,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定積分的幾何意義:,曲邊梯形面積,曲邊梯形面積的負(fù)值,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理1.,可積的充分條件:,例1. 利用定義計(jì)算定積分,解:,將 0,1 n 等分, 分點(diǎn)為,取,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注 利用,得,兩端分別相加, 得,即,例2. 用定積分表示下列極限:,解:,機(jī)

5、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,根據(jù)定積,分定義可得如下近似計(jì)算方法:,將 a , b 分成 n 等份:,(左矩形公式),(右矩形公式),(梯形公式),為了提高精度, 還可建立更好的求積公式, 例如辛普森,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,公式, 復(fù)化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用.,性質(zhì)1 常數(shù)因子可提到積分號外 性質(zhì)2 函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和。,5.2 定積分的簡單性質(zhì),性質(zhì)3 若在區(qū)間 a , b 上 f (x)K，則 性質(zhì)4 定積分的區(qū)間可加性 若 c 是 a , b 內(nèi)的任一點(diǎn)，則,當(dāng) a , b , c 的相對位

6、置任意時(shí), 例如,則有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,性質(zhì)5 如果在區(qū)間 a , b 上 ，f (x) g (x)，則 性質(zhì)6 設(shè)在區(qū)間 a , b 上 （ab），函數(shù) f (x) 的最大值 和最小值分別是 M 和 m，則,性質(zhì)7 積分中值定理 定理：設(shè)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)， 則在 a , b 上至少存在一點(diǎn) 使 或可寫作,稱為函數(shù) f (x) 在 a , b 上的平均值,例1. 試證:,證: 設(shè),即,故,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.,計(jì)算從 0 秒到 T 秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均,速度.,解: 已知自由落體速度為,故所求平均速度,機(jī)動(dòng) 目錄

7、上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 定積分的定義, 乘積和式的極限,2. 定積分的性質(zhì),3. 積分中值定理,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式,一、引例,在變速直線運(yùn)動(dòng)中, 已知位置函數(shù),與速度函數(shù),之間有關(guān)系:,物體在時(shí)間間隔,內(nèi)經(jīng)過的路程為,這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .,5.3 定積分的計(jì)算,則積分上限函數(shù),證:,則有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理1. 若,5.3.1 牛頓 萊布尼茲公式,說明:,1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.,2) 變限積分求導(dǎo):,同時(shí)為,通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上

8、頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 求,解:,原式,說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.,確定常數(shù) a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,例3.,證明,在,內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) .,證:,只要證,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( 牛頓 - 萊布尼茲公式),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:,根據(jù)定理 1,故,因此,得,定理2.,函數(shù) ,則,例1. 計(jì)算,解:,例2. 計(jì)算正弦曲線,的面積 .,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 汽車以每小時(shí) 36 km 的速度行駛 ,速停車,解: 設(shè)開始剎車時(shí)刻為,則此時(shí)刻汽車速度,剎車后汽車減速行駛

9、 , 其速度為,當(dāng)汽車停住時(shí),即,得,故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離為,剎車,問從開始剎,到某處需要減,設(shè)汽車以等加速度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,車到停車走了多少距離?,內(nèi)容小結(jié),則有,1. 微積分基本公式,積分中值定理,微分中值定理,牛頓 萊布尼茲公式,2. 變限積分求導(dǎo)公式,公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題,1.,設(shè),求,二、定積分的分部積分法,不定積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、定積分的換元法,換元積分法,分部積分法,定積分,換元積分法,分部積分法,5.3.2 定積分的換元法和,分部積分法,第五章,定理2 （定積分的換元公式） 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間

10、a , b 上連續(xù)；函數(shù) 在 上單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng) 時(shí)，有 ，且 則,例1. 計(jì)算,解: 令,則, 原式 =,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,且,例2. 計(jì)算,解: 令,則, 原式 =,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,且,例3.,證:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理3 （定積分的分部積分公式） 設(shè)函數(shù) u (x) , v (x) 在 a , b 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則,例4. 計(jì)算,解:,原式 =,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 設(shè),求,解:,(分部積分),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解：,2.,右端,試證,分部積分積分,再次分

11、部積分,= 左端,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解 f (x)在區(qū)間-1, 2上不連續(xù)。利用定積分性質(zhì)4，把在區(qū)間-1, 2上的積分分成兩個(gè)區(qū)間-1, 0和0, 2上的積分。,3 計(jì)算 其中,注意 在積分 中，相當(dāng)于定義 f (0) = 1，而題,中 f (0) = 0 ，這并不會改變定積分的值。實(shí)際上可以證明，改變被積函 數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)上的值都不會改變定積分的值。,解 方程 x22x3 = 0有兩個(gè)實(shí)根1和 3 ，根據(jù)一元二次不等式的判別，函數(shù) x22x3 = 0在-2, 3上分為兩部分，在-2, -1取正值，在-1, 3上取負(fù)值，所以,4 計(jì)算,于是,5 設(shè) 求,解,解 我們有,根據(jù)定

12、積分的分部積分法，可得,6 已知 f()2， 求 f(0).,根據(jù)已知條件，得 2 f(0)5,所以,所以 f(0)3,用定積分概念解決實(shí)際問題的四個(gè)步驟：,5.3 定積分的應(yīng)用,定積分應(yīng)用的微元法：,微元法中微元的兩點(diǎn)說明：,直角坐標(biāo)情形,一、平面圖形的面積,A,用微元法建立曲邊梯形面積A的計(jì)算公式：,仿此可得（圖1）的面積：,A,y,x=f(y),（圖2）的面積：,（圖1）,（圖2）,（圖3）的面積：,x,y=f(x),（圖3）,另解,選 為積分變量,例1. 計(jì)算兩條拋物線,在第一象限所圍,所圍圖形的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),5.4.1平面圖形的面積 1 直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積,例2

13、. 計(jì)算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),所圍圖形,為簡便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解,先求兩曲線的交點(diǎn)。,例3. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,曲邊扇形面積元素,曲邊扇形的面積公式,3. 極坐標(biāo)方程的情形,解,由對稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。,對應(yīng) 從 0 變,例4. 計(jì)算阿基米德螺線,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,到 2 所圍圖形面積 .,例5. 計(jì)算心形線,所圍圖形的,面積 .,

14、解:,(利用對稱性),心形線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,心形線(外擺線的一種),即,尖點(diǎn):,面積:,弧長:,參數(shù)的幾何意義,例6. 計(jì)算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對稱性 ,所求面積,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 求雙紐線,所圍圖形面積 .,解: 利用對稱性 ,則所求面積為,思考: 用定積分表示該雙紐線與圓,所圍公共部分的面積 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,答案:,旋轉(zhuǎn)體由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,圓臺,二、體積,1. 旋轉(zhuǎn)體的體積,5.4.2旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體的體積公式,解,另解,例7. 計(jì)算

15、由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.,解: 利用直角坐標(biāo)方程,則,(利用對稱性),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5.4.3 變力作功,二、無界函數(shù)的廣義積分,常義積分,積分限有限,被積函數(shù)有界,推廣,一、無窮限的廣義積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,廣義積分,5.6 廣義積分和函數(shù),第五章,5.6.1 廣義積分,引例. 曲線,和直線,及 x 軸所圍成的開口曲,邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,1 連續(xù)函數(shù)在無限區(qū)間上的積分,定義1. 設(shè),若,存在 ,則稱此極限為 f (x) 在區(qū)間 的廣義積分,記作,這時(shí)稱廣義積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,就稱廣義積

16、分,發(fā)散 .,類似地 , 若,則定義,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則定義,( c 為任意取定的常數(shù) ),只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱,發(fā)散 .,并非不定型 ,說明: 上述定義中若出現(xiàn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,它表明該廣義積分發(fā)散 .,引入記號,則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 計(jì)算廣義積分,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考:,分析:,原積分發(fā)散 !,注意: 對廣義積分, 只有在收斂的條件下才能使用,“偶倍奇零” 的性質(zhì),否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤 .,例2. 證明第一類 p 積分,證:當(dāng) p =1 時(shí)有,當(dāng) p 1 時(shí)有,當(dāng)

17、 p 1 時(shí)收斂 ; p1,時(shí)發(fā)散 .,因此, 當(dāng) p 1 時(shí), 反常積分收斂 , 其值為,當(dāng) p1 時(shí), 反常積分發(fā)散 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算廣義積分,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2、暇積分無界函數(shù)的積分,引例:曲線,所圍成的,與 x 軸, y 軸和直線,開口曲邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義2. 設(shè),而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無界,存在 ,這時(shí)稱暇積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,就稱暇積分,發(fā)散 .,類似地 , 若,而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,若極限,數(shù) f (x) 在 （a , b 上的暇積分, 記作

18、,則定義,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則稱此極限為函,而在點(diǎn) c 的,無界點(diǎn)常稱,鄰域內(nèi)無界 ,為瑕點(diǎn) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則定義,下述解法是否正確:, 積分收斂,例3. 計(jì)算暇積分,解: 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 討論暇積分,的收斂性 .,解:,所以暇積分,發(fā)散 .,備用題 試證, 并求其值 .,解:,令,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5.6.2、 函數(shù),1. 定義,2. 性質(zhì),(1) 遞推公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:,(分部積分),注意到:,(2),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,習(xí)題課,一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法,定積分及其相關(guān)問題,第五章,一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法,1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限,2. 用定積分性質(zhì)估值,3.