1、,曲線的極坐標方程,52 曲線的極坐標方程 在極坐標系中，用，=0表示曲線的方 程 。 一些基本曲線的方程： =r =0 (0) =0 (R),o x,o x,0,0,r,o,o,x,x,o,P,P(2，,P(，2/3, = 2, = ,2,3,o,o,o,o,x,x,x,x,c(a，0),c(a，/2),c(a，),c(a，-/2),P(，),P(，),P(，),P(，),=2acos,=2acos( -)= -2acos ,=2acos( -3/2)= -2asin,=2asin,x,x,x,x,P(，),P(，),P(，),P(，),o,o,o,o,a,a,a,a,=asec,=acsc

2、,=asec(-3/2)=-acsc,=asec(- )= -asec,),c(0，0),r,a,P(，),P(，),余弦定理,r2= 2+02- 2 0cos(-0),正弦定理, = ,sin(-),a,sin(-), = ,asin,sin(-),o,o,x,x,P47 三種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標方程 動點M到定點(焦點)F與到定直線(準線)L的 距離的比為e，求點M的極坐標方程。 分析：以焦點F為極點， 如圖建立極坐標系。F到L 的離|FK|=p，M，為軌 軌上的任一點。 把條件 = e，用極坐標表示=e 解出 = ,K,F,H,M(，),x,|MF|,|MH|,P+cos,ep,1-e

3、cos,上述方程統(tǒng)一表示橢圓、雙曲線、拋物線,F,L,x,L,F,x,x,F,L,當0e1時，方程表示橢圓，F(xiàn)是左焦點，L是左準線。,當1e時，方程表示雙曲線，F(xiàn)是右焦點，L是右準線。,當e=1時，方程表示拋物線，F(xiàn)是焦點，L是準線，開口向右。,圓錐曲線極坐標方程的應用 例 5 (1) 以拋物線y2=5x的焦點為極點，對稱軸 向右的方向為極軸的正方向，且x軸與極軸的 長度單位相同，求拋物線的極坐標方程。 分析：設(shè)所求的拋物線的極坐標方程為 = ，基中e=1，p是焦點到準線的 距離，p= ，代入上式得所求的拋物線 = = ,ep,1-ecos,5,2,1- cos,1 ,2,5,2- 2cos,

4、5,(2) 以橢圓 + = 1的左焦點為極點，長軸 向右的方向為極軸的正方向，且x軸與極軸的 長度單位相同，求橢的極坐標方程。 分析：根據(jù)已知條件，可設(shè)所求的橢圓的 極 坐標方程為 = ，由橢圓的直角坐標 方程求得 a=5，b=4，c=3，e= ， p= -3+ = ，代入上式 = = ,x2,y2,16,25,ep,1-ecos,3,5,3,25,3,16,3/5 16/3,1-3/5cos,16,5-3cos,例 6 通過拋物線y2=8x的焦點F，作一條傾斜 角為/4的直線，交拋物線于A、B兩點，求 焦點弦|AB|的值。 分析：可用以往學過 的方法求焦點弦的長。 也可建立極坐標系解決。 點

5、F為極點，x軸正半軸 為極軸，它的極坐標方程為 = ，1= ，2= |AB|= 1 + 2=16,o F x,A,B,y,4,1-cos,1,2,4,1-cos/4,4,1-cos5/4,P52 53 極坐標和直角坐標的互化 以直角坐標系xoy的 原點為極點，x軸的正方 向為極軸，點M的直角 坐標為(x，y)，它的極 坐標為(，根據(jù)三角 函數(shù)定義，同一點M的兩種坐標有下面關(guān)系 x= cos ， y=sin ， 2=x2+y2 ，tg = (x=0) 一般，根據(jù)M所在象限 ，取最小的正角。,o,x,y,M,),y,x,公式的應用 例 把點M的極坐標(-5，)化成直角坐標 直接代入公式計算 x=c

6、os= -5cos/6 =(-5/2)3 y=sin = -5sin/6= - 5/2 點M的直角坐標是(- ，- ) 例 把點M的直角坐標(-3，-1)化為極坐標 極徑取正值 =2 極角 ： tg = ，= ,6,),M,o,x,y,53,5,2,2,o,x,y,M,3,3,7,6,同一條曲線在兩個不同坐標系中方程的互化 P54 例 3 化圓的直角坐標方程x2+y2-2ax=0為 極坐標方程。 解題時，應用公式，注意整體替代。把 x2+y2=2，x=cos代入直角坐標方程得 2-2acos = 0(-2acos)=0 所示的極坐標方程是=0或-2acos =0 =0 是極點， =2acos

7、表示以(a，0)為圓心，a為 半徑，且過極點的圓，所以 =0不必寫出來。,o,x,(a，0),例 5 化=-4sin+cos 為直角坐標方程 解題注意整體替代。 把原極坐標方程兩邊同乘 2 =-4 sin + cos ， 2 =x2+y2 ， cos = x， sin = y，它的直角坐標方程 是x2+y2=-4y+x (x- )2+(y+2)2= 在直角坐標系xoy中 方程表示的是以(，-2)為 圓心 ，為半徑的圓。,1,2,4,17,o,x,y,1,2,2,14,把極坐標方程2sin2 =2tg化為直角坐標方程 解：把原方程化為sin cos = tg x= cos ，y= sin ， = tg 它的直角坐標方程是 xy= y(x2-1)=0 y (x-1) (x+1)= 0 從極坐標方程直接看不出方程表示的曲線 是什么，化為直角坐標方程后知道它表示的 是三條直線：y=0或x=1或x=-1,x,y,y,x,P54 例 4 化圓錐曲線的極坐標方程= 為直角坐標方程。 解：把原極坐標方程化為 -ecos=ep