1、1,第一章 導(dǎo)論,2,精算科學(xué)(Actuarial Science),精算科學(xué)是以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的，與經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)及保險(xiǎn)理論相結(jié)合的應(yīng)用與交叉性的學(xué)科。在保險(xiǎn)和社會(huì)保障領(lǐng)域，精算科學(xué)通過對(duì)風(fēng)險(xiǎn)事件及其損失的預(yù)先評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)科學(xué)的風(fēng)險(xiǎn)管理，為保險(xiǎn)和社會(huì)保障事業(yè)的財(cái)務(wù)穩(wěn)健發(fā)展提供基本保障。,3,保險(xiǎn)精算學(xué)的基本原理,(1) 要素 未來事件 不確定性 財(cái)務(wù)收支 預(yù)先評(píng)估 (2) 模型和方法 模型：各因素相互關(guān)系的數(shù)學(xué)公式 方法：借助精算模型實(shí)現(xiàn)預(yù)先評(píng)估 (3) 精算假設(shè) 對(duì)未來風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生規(guī)律的假設(shè) 在過去經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)對(duì)未來的判斷預(yù)先做出,4,基本精算原理-例,按照收支對(duì)等原則 如果1人投

2、保1年期100,000元壽險(xiǎn)，假設(shè)1年內(nèi)死亡概率4.3%，在不考慮保險(xiǎn)公司的費(fèi)用、投資收益、利潤的情況下： 保費(fèi)=期望損失=100,0000.004 3=430元（忽略利息）,5,精算師,精算師被稱為金融、保險(xiǎn)、投資和風(fēng)險(xiǎn)管理的工程師 通過對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和損失的預(yù)先評(píng)價(jià)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)事件做出預(yù)先的財(cái)務(wù)安排，保證風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營的財(cái)務(wù)穩(wěn)健性。,6,精算師的主要職業(yè)領(lǐng)域,保險(xiǎn)公司（壽險(xiǎn)、非壽險(xiǎn)、健康保險(xiǎn)） 養(yǎng)老金計(jì)劃 社會(huì)保障 銀行、投資、公司財(cái)務(wù)、金融工程 法律法規(guī) 教育,7,精算管理控制系統(tǒng),8,怎樣成為精算師,考試制度：英國精算學(xué)會(huì)、北美壽險(xiǎn)精算學(xué)、北美非壽險(xiǎn)精算學(xué)會(huì)、美國養(yǎng)老金精算師學(xué)會(huì)、加拿大精算學(xué)會(huì)。 教育

3、認(rèn)可制度：澳大利亞：初級(jí)課程認(rèn)可，高級(jí)課程考試；德國、意大利、法國、瑞士、西班牙、荷蘭、巴西、墨西哥等國家主要采取學(xué)歷認(rèn)可制度。 國際精算協(xié)會(huì)的精算師后續(xù)教育制度,9,精算職業(yè)發(fā)展,1775年，英國的公平人壽社團(tuán)最早將精算師引入保險(xiǎn)領(lǐng)域。 1848年，英國在世界上最早成立了精算學(xué)會(huì) 1889年，美國精算學(xué)會(huì) 1892年，法國精算學(xué)會(huì) 1895年，國際精算協(xié)會(huì) 2006年，中國精算師協(xié)會(huì),10,第二章 利息理論,11,累積函數(shù),累積函數(shù)是單位本金的累計(jì)額，以 表示。 其中， ， 。,12,累積函數(shù),a(t)通常為t 的連續(xù)函數(shù)，在坐標(biāo)平面上表現(xiàn)為通過（0，1）點(diǎn)的曲線，如圖2-1和圖2-2所示

4、a(t)為增函數(shù)時(shí)才能保證總額函數(shù)的遞增性和存在正的利息。 有時(shí)，當(dāng)利息定期結(jié)算時(shí)，也表現(xiàn)為不連續(xù)的階梯函數(shù)，在定期內(nèi)，為常數(shù)，定期結(jié)算后，上一個(gè)臺(tái)階，如圖2-3所示。,13,利息率,利息率 1年內(nèi)1單位本金的利息就是實(shí)際年利息率 以 表示第n個(gè)基本計(jì)息時(shí)間單位的實(shí)際利率,14,單利和復(fù)利,單利：只在本金上生息 設(shè)第t年實(shí)際利率it，1年末的累積額為: 第2年末的累積額為: 當(dāng)各年利率均為i時(shí)，有,15,單利和復(fù)利,復(fù)利：在本金和利息上生息 設(shè)第t年實(shí)際利率it，1年末的累積額為: 第2年末的累積額為: 當(dāng)各年利率均為i時(shí)，有,16,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,17,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,在復(fù)利下，,18,現(xiàn)值和貼

5、現(xiàn)率,在單利下，,19,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,貼現(xiàn)率：?jiǎn)挝回泿旁趩挝粫r(shí)間內(nèi)的貼現(xiàn)額，單位時(shí)間以年度衡量時(shí)，成為實(shí)際貼現(xiàn)率。 d表示一年的貼現(xiàn)率: dn表示第n年貼現(xiàn)率:,20,可見， di,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,21,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,22,現(xiàn)值和貼現(xiàn)率,23,名義利率與名義貼現(xiàn)率,名義利率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年利率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)，,24,名義利率與名義貼現(xiàn)率,名義貼現(xiàn)率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年貼現(xiàn)率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)，,25,利息力,利息力：衡量確切時(shí)點(diǎn)上利率水平的指標(biāo)。 定義利息力為，,故，,26,年金,年金：每隔一個(gè)相等的時(shí)間間隔的一系列固定數(shù)額的收付款方式。 期首付年金 期末付年

6、金,27,期首付年金現(xiàn)值,28,期末付年金現(xiàn)值,29,期首付年金終值,30,期末付年金終值,31,等額確定年金的終值和現(xiàn)值,n年定期的每年1單位元期首付年金、期末付年金的現(xiàn)值和終值間關(guān)系圖,32,一年多次收付的年金,對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金現(xiàn)值，以 表示，,33,一年多次收付的年金,對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金現(xiàn)值以 表示，,34,一年多次收付的年金,對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金在n 年末的終值為，,35,一年多次收付的年金,對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金在n 年末的終值為，,36,永續(xù)年

7、金,定義：收付時(shí)期沒有限制，每隔一個(gè)間隔永遠(yuǎn)連續(xù)收付的年金，相當(dāng)于前面定期年金當(dāng)時(shí)期n趨于無窮大時(shí)的值。,每年一元期末付永續(xù)年金現(xiàn)值 為，,37,永續(xù)年金,其他永續(xù)年金現(xiàn)值為：,38,變額年金,變額年金是每次收付額不等的年金 常見的有， 每次收付額等差遞增或遞減 每次收付額等比遞增,39,變額遞增年金,如果在n年定期內(nèi)，第一年末收付1單位元，第2年末收付2單位元，以后每次比上一次遞增1單位元的期末付年金現(xiàn)值以 表示。,40,變額遞增年金,兩者相減后得,代入上式后得,上述年金期首付時(shí)，年金現(xiàn)值為,41,變額遞減年金,當(dāng)?shù)谝荒晔崭秐元，以后每隔一年收付額減少一單位元的n年定期遞減的期末付年金為，,

8、上述定期遞減年金在期首付時(shí)，為,變額年金的終值是相應(yīng)年金現(xiàn)值與利率累積系數(shù)之積,42,等比遞增年金,對(duì)等比遞增的年金，如果第一年1單位元，以后收付額 每年遞增j比例，n年定期的年金現(xiàn)值為：,43,等額分期償還,等額分期償還債務(wù)的方法是在規(guī)定的還款期內(nèi)每次償還相等數(shù)額的還款方式。 每次償還金額為 第k 期末的未償還本金余額 貸款本金是B0 ，是Bk,還款期限為n 年，每年末還款，年實(shí)際利率為i,44,等額分期償還表,45,變額分期償還,變額分期償還指每期償還的金額不等的還款方式。 原始貸款金額為B0 ，第k 期償還的金額為Rk （k=1，2，,n）,46,例 2.26,一筆金額為nR 元的貸款，

9、年利率為i ，期限為n 年，每年償還R 元本金，其分期償還表如下：,47,償債基金,償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款的利息，同時(shí)為了能夠在貸款期末一次性償還貸款的本金，定期向一個(gè)“基金”供款，使該“基金”在貸款期末的積累值正好等于貸款本金。這一基金稱為償債基金，其基金累計(jì)的利率與貸款利率可能相等，也可能不等。,48,等額償債基金,等額償債基金方法下借款人每期向償債基金的儲(chǔ)蓄金額相等，設(shè)為D ，如果該償債基金每期的利率恒為j，n 為貸款期限，當(dāng)期支付的利息設(shè)為I，則借款人每期支付總金額為： 假設(shè)償債基金的利率與貸款利率相等，即j =i ，則借款人每期支付總金額為，,49,變額償債

10、基金,設(shè)原始貸款本金為B0 ，貸款利率為i ，償債基金利率為j ，借款人在第k 期末支付的總金額為Rk （k=1，2，n），則，第k 期末向償債基金的儲(chǔ)蓄額為(Rk iB0)，償債基金在第n 期末的累積值等于原始貸款本金B(yǎng)0 ，即， 當(dāng)i= j時(shí)，,50,債券價(jià)值,按利息的支付方式，債券可分為零息債券和附息債券兩種。零息債券在債券到期前不支付利息，而是在債券到期時(shí)隨本金一次性支付所累計(jì)的利息。附息債券由發(fā)行人在到期日前定期支付利息，投資者可定期獲得固定的息票收入。 債券定價(jià)原理：債券的理論價(jià)格就是債券未來息票收入的現(xiàn)值和到期償還值的現(xiàn)值之和。 基本符號(hào)和概念： P債券的理論價(jià)格； i投資者要求

11、的收益率或市場(chǎng)利率； F債券的面值；C債券的償還值；r債券的息票率； rF每期的息票收入；g債券的修正息票率；n息票的償還次數(shù)； K償還值按收益率i 計(jì)算的現(xiàn)值； G債券的基價(jià)，,51,債券價(jià)值,基本公式：,溢價(jià)公式：,基價(jià)公式：,Makeham公式：,52,債券的賬面價(jià)值,整數(shù)息票支付周期的債券價(jià)格和賬面值 第k 期末的賬面值為： 任意時(shí)點(diǎn)的賬面值,53,第三章 生命表,54,生命表相關(guān)定義,生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程的一種統(tǒng)計(jì)表。 封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動(dòng)，沒有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。,55,生命表基本函數(shù),lx：存活到確切整數(shù)

12、年齡x歲的人口數(shù)，x=0,1,-1。 ndx：在xx+n歲死亡的人數(shù)，當(dāng)n=1時(shí)，簡(jiǎn)記為dx nqx：x歲的人在xx+n歲死亡的概率，當(dāng)n=1時(shí)，簡(jiǎn)記為qx,56,生命表基本函數(shù),(1),(2),(3),57,生命表基本函數(shù),npx： xx+n歲的存活概率,與nqx相對(duì)的一個(gè)函數(shù)。 當(dāng)n=1，簡(jiǎn)記為px 。,58,生命表基本函數(shù),nLx：x歲的人在xx+n生存的人年數(shù)。 人年數(shù)是表示人群存活時(shí)間的復(fù)合單位，1個(gè)人存活了1年是1人年，2個(gè)人每人存活半年也是1人年，在死亡均勻分布假設(shè)下，xx+n歲的死亡人數(shù)ndx平均來說存活了n/2年，而活到lx+n歲的人存活了n年，故,當(dāng)n=1時(shí)，,59,：x歲

13、人群的平均余壽，表明未來平均存活的時(shí)間。 當(dāng)x為0時(shí)，表示出生時(shí)平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數(shù)。,生命表基本函數(shù),Tx：x歲的人群未來累積生存人年數(shù)。,在均勻分布假設(shè)下，,60,生命表基本函數(shù),：表示x歲的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x歲的人在x+nx+n+1歲死亡的概率。,：表示x歲的人在x+nx+n+m歲之間死亡的概率。,61,生存分布,一、新生兒的生存函數(shù) 二、x歲余壽的生存函數(shù) 三、死亡力 四、整值平均余壽與中值余壽,62,F(x)：新生兒未來存活時(shí)間（新生兒的死亡年齡）為x的分布函數(shù)。 s(x)：生存函數(shù)，它是新生兒活到x歲的概率，以概率表示為xp0

14、。 新生兒在xz歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：,新生兒的生存函數(shù),63,新生兒的生存函數(shù),生命表函數(shù)中的存活人數(shù)lx 正是生命表基數(shù)l0與x歲生存函數(shù)之積， lx=l0s(x) 而s(x)曲線形狀如下圖所示，,64,x歲余壽的生存函數(shù),以（x）表示年齡是x歲的人，（x）的余壽以T(x)表示,x歲的人在t時(shí)間內(nèi)存活的概率 tpx,當(dāng)x=0時(shí)，T(0)=X ，正是新生兒未來余壽隨機(jī)變量。,x歲的人在t時(shí)間內(nèi)死亡的概率tqx,65,x歲余壽的生存函數(shù),考慮x歲的人的剩余壽命時(shí)，往往知道這個(gè)人已經(jīng)活到了x歲 ，tqx實(shí)際是一個(gè)條件概率,66,x歲的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以 概率的方式

15、表示為：,x歲余壽的生存函數(shù),67,整值剩余壽命,定義： 未來存活的完整年數(shù)，簡(jiǎn)記 概率函數(shù),68,死亡力,定義： 的瞬時(shí)死亡率，簡(jiǎn)記 死亡力與生存函數(shù)的關(guān)系,69,死亡力,70,實(shí)際上生命表x歲平均余壽,正是T(x)隨機(jī)變量的期望值,死亡力,71,死亡力,生命表x歲死亡人數(shù)dx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t與死亡力之積在 01上的積分,生命表x歲生存人年數(shù)Lx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t在01上的積分,生命表x歲累積生存人年數(shù)Tx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t在0上的積分,72,死亡力,對(duì)于x歲期望剩余壽命 ，可以證明：,73,整值平均余壽與中值余壽,x歲的整值平均余壽是指x歲未來平均存活的整數(shù)年數(shù)，不包括

16、不滿1年的零數(shù)余壽，它是整值余壽隨機(jī)變量K(x)的期望值，以ex表示，,74,整值平均余壽與中值余壽,由于，,所以,75,整值平均余壽與中值余壽,由于,故，,在死亡均勻分布假設(shè)下，,故，,76,整值平均余壽與中值余壽,中值余壽是(x)的余壽T(x)的中值，（x）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x歲的中值余壽，則,即，,77,非整數(shù)年齡存活函數(shù)的估計(jì),死亡均勻分布假設(shè) 死亡力恒定假設(shè) 巴爾杜奇(Balducci) 假設(shè),78,有關(guān)非整數(shù)年齡的假設(shè),使用背景: 生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時(shí)我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個(gè)整數(shù)生存數(shù)據(jù)

17、,選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定， 估計(jì)分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況 基本原理:插值法 常用方法 均勻分布假定(線性插值) 常數(shù)死亡力假定(幾何插值) Balducci假定(調(diào)和插值),79,死亡均勻分布假設(shè),假設(shè)死亡在整數(shù)年齡之間均勻發(fā)生，此時(shí)存活函數(shù)是線性的。,80,死亡均勻分布假設(shè),(0t, 0y,0t+y),81,當(dāng)假設(shè)死亡力在xx+1上恒定時(shí)， (x為整數(shù)，0t1)，,死亡力恒定假設(shè),由死亡力的定義，,82,死亡力恒定假設(shè),若以,表示,，有,此時(shí)，,83,巴爾杜奇(Balducci)假設(shè),以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設(shè)是當(dāng)x為整數(shù)，0t1時(shí)，生存函數(shù)的倒數(shù)是t的線性函數(shù)，即,84,

18、巴爾杜奇(Balducci)假設(shè),（其中，0t1, 0y1, 0t+y1）,此時(shí)，,85,三種假定下的生命表函數(shù),86,生命表的編制,一、生命表編制的一般方法 二、選擇生命表,87,生命表編制的一般方法,時(shí)期生命表(假設(shè)同批人生命表)：采用假設(shè)同批人方法編制，描述某一時(shí)期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時(shí)期各年齡死亡水平度過一生時(shí)的生命過程。 Dx：某年齡x歲的死亡人數(shù)； ： x歲的平均人數(shù)，即年初x歲人數(shù)與年末x歲人數(shù)的平均數(shù)，有時(shí)也用年中人數(shù)代替。,88,x歲的中心死亡率 （分年齡死亡率）為，,生命表編制的一般方法,生命表分年齡中心死亡率 ：生命表分年齡死亡人數(shù)在分年齡生

19、存人年數(shù)中的比例。,89,生命表編制的一般方法,在死亡均勻分布假設(shè)下，有，,變換后，,通常 與 非常接近，實(shí)際中常用 近似,90,選擇生命表,選擇生命表構(gòu)造的原因 需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會(huì)優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。 需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會(huì)隨時(shí)間而逐漸消失 選擇生命表的使用,91,選擇生命表函數(shù)關(guān)系,92,第四章 多減因表,93,定義,研究同批人受兩個(gè)或兩個(gè)以上減因影響陸續(xù)減少的數(shù)學(xué)模型就是多減因模型。與生命表一樣，多減因模型通常用多減因表的形式表示，稱為多減因表。,94,多減因表基本函數(shù),：確切年齡x 歲時(shí)，受(1),(2),（m)等m 個(gè)減

20、因影響的人數(shù)?；蛘哒fx 歲暴露于m 個(gè)減因下的人數(shù)。 ：xx+n 歲由(k)減因減少的人數(shù)，k=1,2,m，當(dāng)n=1 時(shí)，記為 ：xx+n 歲由所有減因減少的總?cè)藬?shù)，當(dāng)n=1 時(shí)，記為,95,多減因表基本函數(shù),：xx+n 歲由（k）減因產(chǎn)生的減少概率，也就是（k）減因使（x）離開 的概率，當(dāng)n=1 時(shí)，記 ：x 歲的人在xx+n 由所有減因?qū)е碌臏p少概率 ：x 歲的人在xx+n 保留在原群體中的概率,96,減因力,與生命表死亡力類似，在多減因下也有減因力，xt 時(shí)的總減因力定義為：,97,中心減力,與中心死亡率的概念類似，在多減因分析中也有總中心減率和分減因中心減率，以 表示總中心減率，定義為

21、，,98,構(gòu)成多減因表的各個(gè)減因都可以依各自獨(dú)立的死亡力構(gòu)成單減因表，把由多減因表的各個(gè)減因構(gòu)成的單減因表稱為聯(lián)合單減因表，它是單獨(dú)考慮各個(gè)減因時(shí)生成的生命表。設(shè)聯(lián)合單減因表的存活函數(shù),聯(lián)合單減因表,99,各減因力的估計(jì),恒定假設(shè)下,均勻分布假設(shè)下,100,聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設(shè)下的估計(jì),101,聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設(shè)下的估計(jì),當(dāng)m=2 時(shí)，有，,當(dāng)m=3時(shí)，有，,102,第五章 人壽保險(xiǎn),103,傳統(tǒng)人壽保險(xiǎn)產(chǎn)品,傳統(tǒng)個(gè)人壽險(xiǎn)產(chǎn)品的被保險(xiǎn)人是單個(gè)人，以被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡或生存為保險(xiǎn)賠付或給付條件，預(yù)先規(guī)定保險(xiǎn)金額的水平及其給付方式，并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)生命表和預(yù)定利率等預(yù)先確定

22、保費(fèi)水平和保單退?，F(xiàn)金價(jià)值。 在實(shí)踐中，傳統(tǒng)個(gè)人壽險(xiǎn)產(chǎn)品又分為定期壽險(xiǎn)、終身壽險(xiǎn)、兩全保險(xiǎn)等。,104,定期壽險(xiǎn),均衡保費(fèi)定期壽險(xiǎn)簡(jiǎn)稱為定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)在約定的繳費(fèi)期內(nèi)均衡繳付，通常繳費(fèi)期與保險(xiǎn)期相同。 遞增保費(fèi)定期壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)在繳費(fèi)期內(nèi)遞增，在實(shí)踐中常見的遞增保費(fèi)定期壽險(xiǎn)是每年更新定期壽險(xiǎn)。 保額遞減定期壽險(xiǎn)的死亡賠付金額隨著已投保時(shí)期的延長而降低，保險(xiǎn)費(fèi)通常采取均衡方式。實(shí)踐中最常見的保額遞減壽險(xiǎn)是以抵押貸款余額為死亡賠付額，以還款期為保險(xiǎn)期的定期保險(xiǎn)。,105,兩全保險(xiǎn),定義：在規(guī)定的保險(xiǎn)期內(nèi)，如果被保險(xiǎn)人死亡，保險(xiǎn)人賠付死亡保險(xiǎn)金，如果被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)滿期存活，保險(xiǎn)人給付生存保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)

23、產(chǎn)品。 非分紅保險(xiǎn)根據(jù)精算假設(shè)和規(guī)定的保險(xiǎn)金額確定保費(fèi)和現(xiàn)金價(jià)值，投保人不分享公司紅利。 分紅保險(xiǎn)的投保人每年以紅利方式分享公司利潤的一部分，實(shí)際上相當(dāng)于增加了保險(xiǎn)金額，或者在規(guī)定的保險(xiǎn)金額下減少了保險(xiǎn)費(fèi)。,106,死亡年年末賠付壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值,引例：定期壽險(xiǎn) 假如有100個(gè)40歲的人投保了1 000元5年期定期壽險(xiǎn)，死亡賠付在死亡年年末。如果預(yù)定年利率為3，各年預(yù)計(jì)的死亡人數(shù)為分別為1、2、3、4、5人，這時(shí)，每年的賠付支出及其折現(xiàn)值如表4-1所示：,107,保單精算現(xiàn)值,將各年的賠付現(xiàn)值加總，可以得到發(fā)行100張保單的未來賠付支出現(xiàn)值（元）：,所以，平均每一保單的未來賠付現(xiàn)值為134.68元

24、。 這一現(xiàn)值被稱為這一保單的精算現(xiàn)值。,108,(x) ：x歲開始投保的人 ：對(duì)(x)的1單位元死亡年年末賠付的n年期定期壽險(xiǎn) 的精算現(xiàn)值。 ：(x)在x+kx+k+1歲間死亡，年末x+k+1歲上的1單位 元賠付在利率i下折現(xiàn)到投保時(shí)的現(xiàn)值。 ：被保險(xiǎn)人(x)在x+kx+k+1歲間死亡的概率 ：被保險(xiǎn)人(x)在x+kx+k+1歲間死亡產(chǎn)生的死亡 賠付期望現(xiàn)值,基本符號(hào),109,定期壽險(xiǎn),定期壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值,在投保時(shí)一次性繳清方式的凈保費(fèi)稱為躉繳凈保費(fèi)， 也就是保單發(fā)行時(shí)的精算現(xiàn)值。,110,終身壽險(xiǎn),Ax：對(duì)(x)的1單位元死亡年年末賠付的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。由于投保人(x)可能在k=0,1,2

25、上死亡，因此，終身壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值A(chǔ)x正是(x)在各年死亡賠付期望現(xiàn)值之和。,上式的求和上限實(shí)際為-x-1 其中，是生命表極限年齡，-1是按生命表能夠存活的最大年齡。,111,生存保險(xiǎn),：n年純生存保險(xiǎn)精算現(xiàn)值。 定義：n年純生存保險(xiǎn)是以滿期被保險(xiǎn)人仍然存活為給付條件的生存保險(xiǎn)。,112,兩全保險(xiǎn),：對(duì)(x)的1單位元n年兩全保險(xiǎn)精算現(xiàn)值。 定義：對(duì)(x)的1單位元n年兩全保險(xiǎn)，是對(duì)(x)的n年定期壽險(xiǎn)和n年純生存保險(xiǎn)的合險(xiǎn)。,113,：對(duì)(x)的1單位元m年延期終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。 定義：對(duì)(x)的1單位元m年延期終身壽險(xiǎn)，是從x+m歲起到被保險(xiǎn)人終身止的1單位元壽險(xiǎn)。,延期m年終身壽險(xiǎn),終身壽

26、險(xiǎn)可以看成由一個(gè)n年定期壽險(xiǎn)與一個(gè)延期n年終身壽險(xiǎn)組合,114,：對(duì)(x)的1單位元延期m年n年定期壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。 定義：對(duì)(x)的1單位元延期m年n年定期壽險(xiǎn)是從x+m歲起到x+m+n年的定期壽險(xiǎn)。,延期m年的n年定期壽險(xiǎn),115,標(biāo)準(zhǔn)遞增變額壽險(xiǎn),定義：標(biāo)準(zhǔn)遞增的變額壽險(xiǎn)，是賠付額bK+1=k+1，k是從投保開始到死亡時(shí)存活的整數(shù)年數(shù)的變額壽險(xiǎn)。 (IA)x ：標(biāo)準(zhǔn)遞增的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。 ：標(biāo)準(zhǔn)遞增的n年定期壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。,116,標(biāo)準(zhǔn)遞增變額壽險(xiǎn),從標(biāo)準(zhǔn)遞增定期壽險(xiǎn)的意義出發(fā)，可以得出另外兩個(gè)不同的公式：,n年標(biāo)準(zhǔn)遞增的兩全保險(xiǎn)：是n年定期遞增壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值與n年n單位元純生存保險(xiǎn)

27、現(xiàn)值之和。其精算現(xiàn)值為，,117,標(biāo)準(zhǔn)遞減變額年金,定義：變額壽險(xiǎn)當(dāng)bK+1=n-k時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)遞減的定期壽險(xiǎn)。,：標(biāo)準(zhǔn)遞減的定期壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值。,118,死亡時(shí)賠付的壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值,定期壽險(xiǎn)： 終身壽險(xiǎn)： 兩全保險(xiǎn)：,（死亡均勻分布假設(shè)下）,（死亡均勻分布假設(shè)下）,119,死亡時(shí)賠付的壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值,終身遞增壽險(xiǎn)： n 年定期的死亡時(shí)賠付標(biāo)準(zhǔn)遞增壽險(xiǎn)： n 年標(biāo)準(zhǔn)遞減的死亡時(shí)賠付壽險(xiǎn)：,（死亡均勻分布假設(shè)下）,（死亡均勻分布假設(shè)下）,（死亡均勻分布假設(shè)下）,120,關(guān)于 的計(jì)算,死亡時(shí)給付的壽險(xiǎn)相當(dāng)于把死亡發(fā)生年劃分成m 個(gè)相等的部分，在死亡發(fā)生的那個(gè)部分的期末給付，并對(duì)m 趨于無窮大取極限。若以

28、 表示在死亡發(fā)生的那個(gè)m 部分末給付1 單位元的終身壽險(xiǎn)現(xiàn)值，則，,121,遞推公式,壽險(xiǎn)現(xiàn)值的遞推公式給出了相鄰年齡上壽險(xiǎn)現(xiàn)值的關(guān)系，為壽險(xiǎn)現(xiàn)值的計(jì)算提供了一種工具，也有利于深入理解壽險(xiǎn)現(xiàn)值的意義。 對(duì)死亡年末賠付的1 單位元的終身壽險(xiǎn)，有，,122,第六章 生存年金,123,生存年金產(chǎn)品,生存年金是以年金方式在被保險(xiǎn)人生存期內(nèi)的一系列給付，保險(xiǎn)費(fèi)通常采取在投保時(shí)一次性繳付的躉繳方式或者在一定時(shí)期內(nèi)的均衡繳付的方式。 生存年金形式： 即期年金（immediate annuities） 延期年金(deferred annuities) 定期確定的生存年金 指數(shù)化年金 聯(lián)合生存年金,124,生存

29、年金精算現(xiàn)值,純生存保險(xiǎn)：在約定的保險(xiǎn)期滿時(shí)，如果被保險(xiǎn)人存活將得到規(guī)定的保險(xiǎn)金額的保險(xiǎn)。 【例6.1】李明今年20歲，如果他能活到60歲，將能從保險(xiǎn)公司得到1 000元的一次性給付。設(shè)利率i=6%，試寫出這筆給付在李明20歲時(shí)的現(xiàn)值。,125,解：李明從20歲活到60歲的概率是 ，他在60歲獲得這筆給付的期望值是：,純生存保險(xiǎn),這筆給付在李明20歲時(shí)的現(xiàn)值通過利率折現(xiàn)得到：,根據(jù)附表中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（19901993年）（男女混合表）的資料得，l20 =983 992，l40=877 671，可以計(jì)算得,所以，這筆給付的現(xiàn)值是：1 0000.891951.06-40=86.72（元）

30、。,126,一般地：假設(shè)某人x歲時(shí)開始投保，經(jīng)過n年后如果仍然存活將得到k單位元的保險(xiǎn)金，（x）存活n年的概率為 ，得到給付金的期望現(xiàn)值為：,表明現(xiàn)在x歲的人有l(wèi)x個(gè)，每人存入 元，到年末在利率i的作用下，形成的資金正好滿足n年末存活的人每人1元的給付。,以 表示1單位元n年純粹生存保險(xiǎn)現(xiàn)值，即,純生存保險(xiǎn),變換上式得，,127,與在復(fù)利下的現(xiàn)值系數(shù)vt和累積系數(shù)(1+i)t的作用類似，nEx是在利率和生者利下n年的折現(xiàn)系數(shù)， 為在利率和生者利下n年的累積系數(shù)。,純生存保險(xiǎn),它是利率累積因子(1+i)t與生存累積因子,之積。,128,年付一次生存年金的精算現(xiàn)值,定義：生存年金是以生存為條件發(fā)生

31、給付的年金。如果被保險(xiǎn)人在規(guī)定的時(shí)期內(nèi)存活，則發(fā)生年金的收付，否則，停止收付。 一般類型：終身年金、定期年金、延期年金,129,終身生存年金,【例6.3】 張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以每年年初獲得1000元的給付。計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。,解：,代入相應(yīng)的存活概率和利率，就可以計(jì)算出這一年金的精算現(xiàn)值。,130,期首付終身生存年金,一般地，對(duì)(x)的每年1單位元期首終身生存年金，其精算現(xiàn)值以表示，它是一系列保險(xiǎn)期逐步延長的純粹生存保險(xiǎn)之和，如下圖所示：,其中， 0Ex=1，求和上限實(shí)際是-x-1，為方便通常寫成。,131,期末付終身生存年金,對(duì)（x）每年1單位元期末付終身年金，如

32、下圖所示：,其精算現(xiàn)值以ax表示：,132,定期生存年金,一般地，對(duì)（x）的每年1單位元n年定期期首付生存年金，精算現(xiàn)值以 表示，,類似地，對(duì)(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金精算現(xiàn)值為：,133,對(duì)（x）的n年延期每年1單位元延期期首付年金的精算現(xiàn)值以,延期生存年金,n年延期生存年金: 從計(jì)算時(shí)點(diǎn)起延遲n年開始收付的生存年金,表示。根據(jù)定義,顯然，,134,延期生存年金,n年延期的期末付終身生存年金現(xiàn)值為：,同樣地，,135,延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一種組合形式。 對(duì)(x)的n年延期m年定期每年1單位元期首付生存年金，是從x+n 起到x+n+m-1的生存年金。其支付情況

33、下圖所示： 其精算現(xiàn)值以 或 表示，根據(jù)定義,延期定期生存年金,136,對(duì)(x)的n年延期m年定期每年1單位元期末付生存年金，是從x+n+1 起到x+n+m的生存年金。其精算現(xiàn)值以,延期定期生存年金,或 表示，根據(jù)定義：,137,期首付年金和期末付年金精算現(xiàn)值的關(guān)系式。,延期定期生存年金,138,連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值,終身連續(xù)生存年金 定期連續(xù)生存年金,139,連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值,延期連續(xù)生存年金 延期定期連續(xù)生存年金,140,生存年金與壽險(xiǎn)的關(guān)系,141,背景：實(shí)踐中年金常常是每半年、一季度或一個(gè)月支付一次，由于生命表不直接提供非整數(shù)年齡的存活概率和死亡概率，必須在一定的假設(shè)下近似計(jì)算。

34、對(duì)（x）的每年給付1元，一年給付m次的期首付終身生存年金，其精算現(xiàn)值以 表示，這一年金在每個(gè) (k=0,1,2,)上收付1/m，直到被保險(xiǎn)人死亡為止。,年付m次生存年金,142,近似公式,對(duì)（x）的每年1單位元，每次1/m的期末付的終身生存年金精算現(xiàn)值,對(duì)（x）的n年延期每年1單位元，一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值,對(duì)（x）的n年延期每年1單位元一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值,對(duì)（x）的每年1單位元，每次1/m的期首付的終身生存年金精算現(xiàn)值,143,近似公式,對(duì)（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：,對(duì)（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：,144,當(dāng) 時(shí)，上面

35、的年金稱為終身變額年金。,變額年金：年金收付的數(shù)額隨給付時(shí)期的不同而變動(dòng)。 變額年金的精算現(xiàn)值是一系列收付款在利率和生者利下現(xiàn)值之和。如果對(duì)(x)的n年定期生存年金，給付額在年齡x，x+1，x+n-1上分別為 ，則精算現(xiàn)值（Actuarial Present Value，簡(jiǎn)記為 APV）為，,變額生存年金,145,一年給付m次，期首付變額年金精算現(xiàn)值：,一年給付m次，期末付變額年金精算現(xiàn)值：,變額生存年金,146,如果年金收付額 系列為1，2，3 等差遞增，這一年金稱為標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金，對(duì)終身期首付標(biāo)準(zhǔn)遞增年金，其精算現(xiàn)值用 表示，如下圖所示：,等差遞增生存年金,147,期末付終身標(biāo)準(zhǔn)遞增年金

36、精算現(xiàn)值，,期首付n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金精算現(xiàn)值,期末付n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金精算現(xiàn)值,等差遞增生存年金,148,等差遞增生存年金,為了得出數(shù)字結(jié)果，引入轉(zhuǎn)換函數(shù)，設(shè),有，,149,當(dāng)變額年金收付額 系列為n，n-1， 1等差遞減時(shí)，這時(shí)期首付的年金現(xiàn)值以 表示，如下圖所示：,等差遞減生存年金,期末付的年金現(xiàn)值,150,設(shè) ，即 上式成為，,實(shí)踐中，某些給付確定型養(yǎng)老金計(jì)劃和社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)的收付額等比例遞增，這種等比例遞增的年金精算現(xiàn)值有一個(gè)簡(jiǎn)化計(jì)算公式。 如果對(duì)(x)的n年定期期首付生存年金，給付額在年齡x，x+1，x+n-1上分別為b，b(1+g)，b(1+g)2，b(1+g)n-1，其

37、精算現(xiàn)值為，,（這是一個(gè)以利率j計(jì)算的給付額為b的確定年金的精算現(xiàn)值）,等比例變額生存年金,151,生存年金遞推公式,可見，對(duì)(x)的終身生存年金的躉繳凈保費(fèi)，等于永續(xù)年金與一系列逐年因死亡不能得到的將來年金部分之差。,152,第七章 保險(xiǎn)費(fèi),153,總保費(fèi)與凈保費(fèi)的意義,保險(xiǎn)產(chǎn)品的出售價(jià)格就是購買保險(xiǎn)必須繳付的總保費(fèi)，或簡(jiǎn)稱保費(fèi)。理論上，保險(xiǎn)產(chǎn)品的總保費(fèi)可以分為性質(zhì)不同的兩部分，一部分是作為保險(xiǎn)金給付來源的保費(fèi)，稱為凈保費(fèi)或純保費(fèi)另一部分是作為保險(xiǎn)公司補(bǔ)償費(fèi)用支出并獲得一定利潤的保費(fèi)，稱為附加保費(fèi)。,154,設(shè)保險(xiǎn)金的現(xiàn)值為A，每次凈保費(fèi)為P，每次1單位的生存年金現(xiàn)值為 ，有：,均衡凈保費(fèi),

38、A=P,155,一般地，對(duì)(x)的1單位元n年定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在死亡年末賠付，如保險(xiǎn)費(fèi)在t年內(nèi)繳清(tn)，這時(shí)，年繳凈保費(fèi)用 表示，由收支平衡關(guān)系式，有，,當(dāng)繳費(fèi)期與保險(xiǎn)期限相等時(shí)，用 表示年繳凈保費(fèi)，,定期壽險(xiǎn)年繳凈保費(fèi),156,凈保費(fèi),若保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)賠付，t年限期繳費(fèi)的年繳凈保費(fèi)以 表示，,（在死亡均勻分布假設(shè)下）,當(dāng)t=n時(shí)，以 表示年繳凈保費(fèi)，,（在死亡均勻分布假設(shè)下）,157,對(duì)(x)的死亡年末賠付1單位元終身壽險(xiǎn)，如果規(guī)定保費(fèi)每年一次終身繳付，這時(shí)保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值是終身生存年金精算現(xiàn)值，以Px表示這一保險(xiǎn)的年繳均衡凈保費(fèi)，有，,終身壽險(xiǎn)年繳凈保費(fèi),158,死亡時(shí)賠付年繳凈保

39、費(fèi),n年繳清保費(fèi)、1元死亡年末賠付終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi),n年繳清保費(fèi)、1元死亡時(shí)賠付終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi),終身壽險(xiǎn)年繳凈保費(fèi),（在死亡均勻分布假設(shè)下）,實(shí)踐中，終身壽險(xiǎn)往往采取在n年內(nèi)繳費(fèi)的方式。繳費(fèi)期越多，保險(xiǎn)公司收回成本的時(shí)間越短，相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)就越低。,（在死亡均勻分布假設(shè)下）,159,當(dāng)t=n時(shí)，年繳凈保費(fèi)以 表示，有，,采取定期壽險(xiǎn)和終身壽險(xiǎn)相同的計(jì)算方法，很容易給出兩全保險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)計(jì)算公式。對(duì)(x)的1單位元n年定期兩全保險(xiǎn)，如果死亡賠付在死亡年年末，保費(fèi)在t年內(nèi)每年一次、均衡繳付，tn，這時(shí)，年繳凈保費(fèi)以 表示。,兩全保險(xiǎn)年繳凈保費(fèi),160,兩全保險(xiǎn)年繳凈保費(fèi),t年繳清死亡時(shí)賠付

40、兩全保險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi),在上式中，當(dāng)t=n時(shí)的年繳凈保費(fèi),n年1元純粹生存保險(xiǎn)，t年繳清的年繳凈保費(fèi),161,對(duì)（x）的n年延期生存年金，若年金每年支付一次，每次1單位元，保費(fèi)在t年內(nèi)繳清(tn)。年繳均衡凈保費(fèi)以 表示，按照保險(xiǎn)金支付與凈保費(fèi)收入的平衡關(guān)系，有，,延期年金年繳凈保費(fèi),162,表示每年分次等額繳費(fèi)的年繳凈保費(fèi)， 表示每年元繳付次的年金現(xiàn)值，表示保險(xiǎn)金現(xiàn)值，以收支平衡原則，有，,如果保費(fèi)每半年、一季、一月等繳付一次，這時(shí)未來凈保費(fèi)現(xiàn)值是一個(gè)一年多次收付的生存年金現(xiàn)值。如果以,一年多次繳費(fèi)的凈保費(fèi),163,一年次繳費(fèi)凈保費(fèi)計(jì)算公式,164,一年次繳費(fèi)凈保費(fèi)計(jì)算公式,165,一年多次繳

41、費(fèi)的凈保費(fèi),期首支付，一年m次繳費(fèi)的延期生存年金，年繳凈保費(fèi)： 期末支付，一年m次繳費(fèi)的延期生存年金，年繳凈保費(fèi)：,166,退還保費(fèi)保單的凈保費(fèi),【例7.10】對(duì)(x)的n 年定期壽險(xiǎn)，如果被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡，除了賠付10 000 元外，還退還過去已繳凈保費(fèi)的累積，假設(shè)保險(xiǎn)賠付在死亡年年末，保險(xiǎn)費(fèi)每年繳付一次，n年付清。計(jì)算下面兩種情況下的年繳均衡凈保費(fèi)。 (1)退還的保費(fèi)部分不計(jì)利息。 (2)退還的保費(fèi)部分以不同于保單預(yù)定利率i 的利率j 復(fù)利累計(jì)。 (3)退還的保費(fèi)部分以保單定價(jià)預(yù)定利率復(fù)利累計(jì)。,167,例題解答,(1) 設(shè)每年的凈保費(fèi)為P，如果退還的保費(fèi)不計(jì)息，這時(shí)，在被保險(xiǎn)人死亡

42、年年末退還的保費(fèi)部分是過去已繳凈保費(fèi)的累加，其給付以被保險(xiǎn)人死亡為條件，故，構(gòu)成一個(gè)定期遞增的壽險(xiǎn)，其收支平衡公式為，,168,例題解答,(2) 如果退還的保費(fèi)部分以利率j 計(jì)息，退還保費(fèi)部分的給付額是一個(gè)隨被保險(xiǎn)人死亡時(shí)間變動(dòng)的年金終值。即， ，其現(xiàn)值變量為，,169,例題解答,(3) 如果退還保費(fèi)的累積利率等于預(yù)定利率，這時(shí)在(2)中的E(w)成為，,170,總保費(fèi),在保險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)中，傳統(tǒng)的總保費(fèi)計(jì)算方法是將總保費(fèi)分解為凈保費(fèi)和附加保費(fèi)兩部分，在凈保費(fèi)上，加上補(bǔ)償費(fèi)用和預(yù)防不利偏差的附加保費(fèi)，形成總保費(fèi)，這種方法稱為凈保費(fèi)加成法。隨著精算技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，考慮更多未來變動(dòng)因素的現(xiàn)金流

43、量定價(jià)法開始使用，在這種方法下，保費(fèi)不需要分解為凈保費(fèi)和附加保費(fèi)，而是按照滿足未來賠付或給付、費(fèi)用、退保、稅金、紅利等所有可能支出并獲得合理利潤的原則下，根據(jù)對(duì)未來現(xiàn)金流量的預(yù)測(cè)確定。,171,凈保費(fèi)加成法,固定比例法 變動(dòng)比例法 三元素法,172,現(xiàn)金流量法,現(xiàn)金流量法是通過對(duì)一組保單未來保單年度預(yù)期收入和預(yù)期支出的估計(jì)，研究保單組隨被保險(xiǎn)人死亡、退保、分紅、滿期等的過程，在一定的定價(jià)策略和利潤目標(biāo)下，給出保單的定價(jià)。在現(xiàn)金流量方法下，對(duì)一個(gè)保單組，年度收入為保單組的所有保費(fèi)收入和投資收入，年度支出包括保險(xiǎn)賠付、費(fèi)用、退保、滿期給付、紅利、準(zhǔn)備金增加額等，年度利潤就是年度收入與年度支出的差。

44、這樣， 利潤= 保費(fèi)+投資收入 費(fèi)用賠付支出退保支出紅利準(zhǔn)備金增加,173,第八章 責(zé)任準(zhǔn)備金,174,準(zhǔn)備金的意義,準(zhǔn)備金(reserve)：為將來某項(xiàng)支出而預(yù)先留存的儲(chǔ)備金，是將來給付支出現(xiàn)值與將來凈保費(fèi)收入現(xiàn)值之差。 準(zhǔn)備金數(shù)額由準(zhǔn)備金計(jì)算方法、相關(guān)的保險(xiǎn)法律、法規(guī)、會(huì)計(jì)實(shí)務(wù)標(biāo)準(zhǔn)等決定。在保險(xiǎn)實(shí)踐中，給付準(zhǔn)備金的積累保證了保險(xiǎn)公司的到期償付能力。,175,準(zhǔn)備金的種類,償付能力準(zhǔn)備金(Solvency Reserves) ：為評(píng)估保險(xiǎn)公司的償付能力而計(jì)算的準(zhǔn)備金。 收入準(zhǔn)備金(Earnings Reserves) ：為評(píng)估收入和盈利而計(jì)算的準(zhǔn)備金。 (收益=保費(fèi)收入+投資收入賠付支出展業(yè)

45、費(fèi)用維持費(fèi)用準(zhǔn)備金提存) 稅收準(zhǔn)備金(Tax Reserves) ：為評(píng)估應(yīng)稅收入或應(yīng)稅收益而計(jì)算的準(zhǔn)備金。,176,凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算方法,未來法（prospective method） ：責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)人未來的凈責(zé)任，用未來給付現(xiàn)值減去未來凈保費(fèi)現(xiàn)值來衡量。 過去法（retrospective method） ：責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)人過去凈保費(fèi)收入大于賠付支出的部分，用過去凈保費(fèi)終值減去過去給付的保險(xiǎn)金終值計(jì)算。,177,將來法引例8.1,假如有100個(gè)40歲的人同時(shí)投保1 000元5年定期壽險(xiǎn)，保費(fèi)在5年內(nèi)均衡繳付。設(shè)預(yù)定利率為6，預(yù)定死亡率采用CL 90-93表數(shù)據(jù)，保費(fèi)繳付在保單年初

46、，保險(xiǎn)賠付在保單年末，不考慮費(fèi)用、退保和分紅等。計(jì)算未來5年的預(yù)期凈保費(fèi)收入和預(yù)期賠付支出。,178,解答,人均年繳均衡凈保費(fèi)為， 預(yù)期凈保費(fèi)收入、預(yù)期賠付支出，如下表所示，,179,180,推導(dǎo)1,從表中數(shù)據(jù)可見，在2年內(nèi)，當(dāng)年凈保費(fèi)收入大于當(dāng)年保險(xiǎn)賠付支出，凈保費(fèi)有結(jié)余；但從3年起，當(dāng)年凈保費(fèi)收入不足當(dāng)年賠付支出。為了保證賠付，必須動(dòng)用過去積累的準(zhǔn)備金。 準(zhǔn)備金的數(shù)額正是保證未來賠付支出超出未來凈保費(fèi)收入的金額。 某時(shí)點(diǎn)的給付準(zhǔn)備金+未來凈保費(fèi)收入現(xiàn)值=未來賠付支出現(xiàn)值,某時(shí)點(diǎn)的給付準(zhǔn)備金=未來賠付支出現(xiàn)值-未來凈保費(fèi)收入現(xiàn)值,181,推導(dǎo)2,引例8.1中，未來凈保費(fèi)收入和賠付支出現(xiàn)金流如

47、下圖所示：,依據(jù)上面現(xiàn)金流，可以計(jì)算凈保費(fèi)收入和賠付支出的現(xiàn)值，以及各年的給付準(zhǔn)備金。,182,第1年末的給付準(zhǔn)備金總額=1 140.305-1 098.75=41.329(元) 第1年末人均給付準(zhǔn)備金=41.329/99.72 =0.414(元) 第2年末， 未來賠付支出現(xiàn)值=,第1年末， 未來賠付支出現(xiàn)值=,推導(dǎo)3,未來凈保費(fèi)收入現(xiàn)值=,未來凈保費(fèi)收入現(xiàn)值=,第2年末的給付準(zhǔn)備金=910.373-846.340=65.033 (元) 第2年末人均給付準(zhǔn)備金=65.033/99.42=0.654 (元) 人均給付準(zhǔn)備金正是每張有效保單需要積存的準(zhǔn)備金數(shù)額。,183,對(duì)于（x）歲的1單位元終身

48、壽險(xiǎn)，如果保費(fèi)每年繳付一次、終身繳付，假設(shè)死亡賠付在死亡年年末。這時(shí)，年繳凈保費(fèi)為 ，在投保后第k年末，未來給付的精算現(xiàn)值為 ，未來凈保費(fèi)的精算現(xiàn)值為 ，k年末的給付準(zhǔn)備金用 表示，有，,終身壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金,184,如果終身壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)在h年內(nèi)繳清，k年末的責(zé)任準(zhǔn)備金用 表示。k年末的未來保費(fèi)繳付期為h-k，當(dāng)kh時(shí)，未來凈保費(fèi)現(xiàn)值為 ，當(dāng)kh時(shí)，未來凈保費(fèi)現(xiàn)值為0。因此，有，,保險(xiǎn)費(fèi)在h年內(nèi)繳清,185,如果終身壽險(xiǎn)限期在h年繳費(fèi)， 表示為k年末責(zé)任準(zhǔn)備金,如果保費(fèi)一年繳付m次，這時(shí)， 表示為終身壽險(xiǎn)終身繳費(fèi)的t年末責(zé)任準(zhǔn)備金,保費(fèi)一年繳付m次,186,如果保險(xiǎn)費(fèi)每年一次，h年限期繳清，這時(shí)

49、，t年末的準(zhǔn)備金 為，,如果終身壽險(xiǎn)在死亡時(shí)賠付，相應(yīng)的k年末保險(xiǎn)金現(xiàn)值為 ，對(duì)每年一次的終身繳費(fèi)壽險(xiǎn)，責(zé)任準(zhǔn)備金相應(yīng)的表示為,保費(fèi)一年繳付m次,187,定期壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金,定期壽險(xiǎn)給付準(zhǔn)備金的計(jì)算公式與終身壽險(xiǎn)類似，對(duì)(x)的1單位元n年死亡年末賠付定期壽險(xiǎn)，如果保險(xiǎn)費(fèi)每年一次、n年繳清，k年末的給付準(zhǔn)備金為，,188,定期壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金,如果保費(fèi)在h年內(nèi)繳付，（hn），k年末的給付準(zhǔn)備金為，,189,定期壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金,如果保費(fèi)在h年內(nèi)繳付（hn）、一年m次，k年末的給付準(zhǔn)備金為，,190,定期壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金,如果死亡賠付在死亡時(shí)，上面的保險(xiǎn)k年末給付準(zhǔn)備金為，,在均勻死亡假定下，,，其他

50、的計(jì)算方法同上,191,對(duì)于兩全保險(xiǎn)，合同到期時(shí)保險(xiǎn)公司將要支付被保險(xiǎn)人生存保險(xiǎn)金，從而最后一年末單位保額兩全保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金應(yīng)該等于1。 對(duì)(x)的n年兩全保險(xiǎn)，如果死亡賠付在死亡年年末，保險(xiǎn)費(fèi)在h年內(nèi)繳清、每年一次，(hn)，k年末的給付準(zhǔn)備金為，,兩全保險(xiǎn)給付準(zhǔn)備金,192,如果n年兩全保險(xiǎn)的繳費(fèi)在h年內(nèi)、每年m次，k年末的給付準(zhǔn)備金為，,兩全保險(xiǎn)給付準(zhǔn)備金,193,如果h年限期繳費(fèi)的n年兩全保險(xiǎn)，死亡賠付在死亡年年末，k年末的給付準(zhǔn)備金為，,兩全保險(xiǎn)給付準(zhǔn)備金,194,延期年金給付準(zhǔn)備金,對(duì)于(x)的延期n年生存年金保險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)在n年內(nèi)每年繳付一次，第k年年末的給付準(zhǔn)備金為：,195,

51、過去法引例8.2,在前面引例8.1中，可以進(jìn)一步計(jì)算出凈保費(fèi)收入與賠付支出的累積收支差，以及人均累計(jì)收支差。列入下表,人均累積收支差就是過去法下的責(zé)任準(zhǔn)備金。,196,過去法給付準(zhǔn)備金是計(jì)算時(shí)點(diǎn)過去凈保費(fèi)收入終值與過去賠付金支出終值之差，即，時(shí)點(diǎn)過去凈保費(fèi)的累計(jì)值與過去賠付支出累計(jì)值的差額。 對(duì)(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險(xiǎn)，如果保險(xiǎn)費(fèi)終身繳付、每年一次，這時(shí)，第k年末過去凈保費(fèi)終值為 ，第k年末過去賠付金在投保時(shí)的現(xiàn)值為 ，它在利率和生存概率下累積到k年末的終值為 ，因此，第k年末的給付準(zhǔn)備金為，,過去法,197,如果終身壽險(xiǎn)的保費(fèi)在h年內(nèi)定期繳付，這時(shí)， 當(dāng)kh時(shí)，過去凈保費(fèi)累積到h

52、年末為 ，再累積到k年末為 ，,過去法終身壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金,從而，在不同時(shí)間點(diǎn)上準(zhǔn)備金的計(jì)算公式為，,198,對(duì)n年繳費(fèi)的n年兩全保險(xiǎn)，n年內(nèi)過去保險(xiǎn)給付的終值為 ，注意這一終值不是 ，因?yàn)橹挥性趎年末才有滿期生存給付，n年內(nèi)只是定期壽險(xiǎn)，在第n年，準(zhǔn)備金的數(shù)額應(yīng)該正好等于生存給付額，從而有，,過去法在不同險(xiǎn)種的運(yùn)用,199,過去法在不同險(xiǎn)種的運(yùn)用,對(duì)(x)的1單位元n年延期生存年金，保險(xiǎn)費(fèi)在n年內(nèi)定期繳付，,200,根據(jù)具體問題選擇使用將來法和過去法中較為簡(jiǎn)單方便的一種。一般地， 計(jì)算已繳清保費(fèi)后某個(gè)時(shí)刻的給付準(zhǔn)備金時(shí)，用將來法更方便，因?yàn)檫@種情況下未來只有保險(xiǎn)金給付，沒有保費(fèi)繳付。 比如，當(dāng)kn時(shí)， ， 等，計(jì)算起來比較簡(jiǎn)單。 計(jì)算尚未進(jìn)入保險(xiǎn)給付期的某時(shí)刻給付準(zhǔn)備金，用過去法更簡(jiǎn)單，因?yàn)檫@種情況下只有保險(xiǎn)費(fèi)繳付，沒有保險(xiǎn)金給付。 比如，當(dāng)kn時(shí)， 。,將來法和過去法的選擇,201,相鄰兩期給付準(zhǔn)備金之間具有遞推關(guān)系，了解這種關(guān)系，對(duì)于深入認(rèn)識(shí)準(zhǔn)備金的實(shí)質(zhì)具有重要意義。 對(duì)(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險(xiǎn)，保費(fèi)每年一次、終身繳付。k年末將來法給付準(zhǔn)備金的計(jì)算公式為：,給付準(zhǔn)備金的遞推公式,上式兩邊同加保費(fèi)Px,由，,，,可以得到kVx與k+1Vx之間的關(guān)系,202,這一等式表明，k年末的給付準(zhǔn)備金 加上t+1年初的凈保費(fèi)收入 ，正好等于k