1、直角三角形（勾股定理）【考點梳理】：1. 直角三角形的定義；2. 直角三角形的性質(zhì)和判定；3.特殊角度的直角三角形的性質(zhì)4勾股定理：a2+b2=c2【思想方法】1. 常用解題方法數(shù)形結(jié)合2. 常用基本圖形直角三角形【考點一】：直角三角形的性質(zhì)【例題賞析】（2015青島，第4題3分）如圖，在ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為E，DE=1，則BC=（）A B2 C3 D+2考點：含30度角的直角三角形分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得CD的長，然后在直角BDE中，根據(jù)30的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BD長，則BC即可求得解答：AD是ABC的角平分線，

2、DEAB，C=90，CD=DE=1，又直角BDE中，B=30，BD=2DE=2，BC=CD+BD=1+2=3故選C點評：本題考查了角的平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，30的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，理解性質(zhì)定理是關(guān)鍵思考與收獲【考點二】：勾股定理【例題賞析】（2015青海西寧第17題2分）如圖，RtABC中，B=90，AB=4，BC=3，AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于D，E兩點，則CD的長為考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理.分析：先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，設CD=x，則BD=4x，在RtBCD中根據(jù)勾股定理求出x的值即可解答：

3、解：DE是AC的垂直平分線，CD=AD，AB=BD+AD=BD+CD，設CD=x，則BD=4x，在RtBCD中，CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4x）2，解得x=故答案為：點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵【考點三】：勾股定理的逆定理【例題賞析】（2015桂林）（第8題）下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A30，40，50B7，12，13C5，9，12D3，4，6考點：勾股定理的逆定理思考與收獲分析：根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可如果有這種關(guān)系，這個

4、就是直角三角形解答：解：A、302+402=502，該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正確；B、72+122132，該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤；C、52+92122，該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤；D、32+4262，該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤；故選A點評：本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷【考點四】：用勾股定理解展開與折疊問題 【例題賞析】（2015山東泰安,第20題3

5、分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE沿直線BE折疊后得到GBE，延長BG交CD于點F若AB=6，BC=4，則FD的長為（）中國教育出版&#網(wǎng)A2B4CD2考點：翻折變換（折疊問題）.分析：根據(jù)點E是AD的中點以及翻折的性質(zhì)可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”證明EDF和EGF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可證得DF=GF；設FD=x，表示出FC、BF，然后在RtBCF中，利用勾股定理列式進行計算即可得解解答：E是AD的中點，AE=DE，ABE沿BE折疊后得到GBE，思考與收獲AE=EG，AB=BG，ED=EG，在矩形ABCD中，A=D=90，EGF=90，在RtEDF和Rt

6、EGF中，RtEDFRtEGF（HL），DF=FG，設DF=x，則BF=6+x，CF=6x，在RtBCF中，（4）2+（6x）2=（6+x）2，解得x=4故選：B點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，翻折的性質(zhì)，熟記性質(zhì)，找出三角形全等的條件EF=EC是解題的關(guān)鍵【考點五】：勾股定理的綜合運用【例題賞析】（2015甘肅慶陽，第20題，3分）在底面直徑為2cm，高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為cm（結(jié)果保留）思考與收獲考點：平面展開-最短路徑問題分析：根據(jù)繞兩圈到C，則展開后相當于求出直角三角形ACB的斜邊

7、長，并且AB的長為圓柱的底面圓的周長，BC的長為圓柱的高，根據(jù)勾股定理求出即可解答：解：如圖所示，無彈性的絲帶從A至C，展開后AB=2cm，BC=3cm，由勾股定理得：AC=cm故答案為：點評：本題考查了平面展開最短路線問題和勾股定理的應用，能正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵，用了數(shù)形結(jié)合思想【真題專練】1. （2015畢節(jié)市）（第19題）如圖，在ABC中，C=90，B=30，AD平分CAB，交BC于點D，若CD=1，則BD= 2. （2015棗莊,第15題4分）如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點若AD=6，DE=5，則CD的長等于 思考與收獲3. （2015江蘇宿遷，第14題3分）如圖，

8、在RtABC中，ACB=90，點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點若CD=5，則EF的長為 4（2015畢節(jié)市）（第5題）下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（） A ， B 1， C 6，7，8 D 2，3，45. （2015甘肅天水，第8題，4分）如圖，在四邊形ABCD中，BAD=ADC=90，AB=AD=2，CD=，點P在四邊形ABCD的邊上若點P到BD的距離為，則點P的個數(shù)為（）思考與收獲 A 2 B 3 C 4 D 56. （2015銅仁市）（第17題）如圖，ACB=9O，D為AB中點，連接DC并延長到點E，使CE=CD，過點B作BFDE交AE的延長線

9、于點F若BF=10，則AB的長為 7. （2015昆明第16題，3分）如圖，在RtABC中，C=30，以直角頂點A為圓心，AB長為半徑畫弧交BC于點D，過D作DEAC于點E若DE=a，則ABC的周長用含a的代數(shù)式表示為 思考與收獲8. （2015山東泰安,第23題3分）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點若AB=8，AD=12，則四邊形ENFM的周長為 9. （2015東營,第17題4分）如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為10. （2015湖北省咸寧市，第23題10分）

10、定義：數(shù)學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形理解：（1）如圖1，已知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點，AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD；（2）如圖2，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是O的直徑，AC=BD求證：四邊形ABCD是對等四邊形；思考與收獲（3）如圖3，在RtPBC中，PCB=90，BC=11，tanPBC=，點A在BP邊上，且AB=13用圓規(guī)在PC上找到符合條件的點D，使四邊形ABCD為對等四邊形，并求出CD的長【真題演練參考答案】1. （2015畢節(jié)市）（第19題）如圖，在ABC中，C=90，

11、B=30，AD平分CAB，交BC于點D，若CD=1，則BD=2考點： 含30度角的直角三角形；角平分線的性質(zhì).分析： 根據(jù)角平分線性質(zhì)求出BAD的度數(shù)，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AD即可得BD解答： 解：C=90，B=30，CAB=60，AD平分CAB，BAD=30，BD=AD=2CD=2，故答案為2點評： 本題考查了對含30度角的直角三角形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)的應用，求出AD的長是解此題的關(guān)鍵2. （2015棗莊,第15題4分）如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點若AD=6，DE=5，則CD的長等于8考點：勾股定理；直角三角形斜邊上的中線專題：計算題分析：由“直角三角形斜邊上

12、的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可解答：如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點，DE=5，DE=AC=5，AC=10在直角ACD中，ADC=90，AD=6，AC=10，則根據(jù)勾股定理，得CD=8故答案是：8點評：本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一3. （2015江蘇宿遷，第14題3分）如圖，在RtABC中，ACB=90，點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點若CD=5，則EF的長為5考點：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線.分析：已知CD是RtABC斜邊AB的中線，那么

13、AB=2CD；EF是ABC的中位線，則EF應等于AB的一半解答：解：ABC是直角三角形，CD是斜邊的中線，中國%&*教育出版網(wǎng)CD=AB，又EF是ABC的中位線，AB=2CD=25=10cm，EF=10=5cm故答案為：5點評：此題主要考查了三角形中位線定理以及直角三角形斜邊上的中線等知識，用到的知識點為：（1）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；（2）三角形的中位線等于對應邊的一半4（2015畢節(jié)市）（第5題）下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（） A ， B 1， C 6，7，8 D 2，3，4考點： 勾股定理的逆定理.分析： 知道三條邊的大小，用較小的兩條邊

14、的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是解答： 解：A、（）2+（）2（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤；B、12+（）2=（）2，能構(gòu)成直角三角形，故正確；C、62+7282，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤；D、22+3242，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤故選：B點評： 本題考查勾股定理的逆定理的應用判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可5. （2015甘肅天水，第8題，4分）如圖，在四邊形ABCD中，BAD=ADC=90，AB=AD=2，CD=，點P在四邊形ABCD的邊上若點P到BD的距離為，則點P的個數(shù)為（） A 2

15、B 3 C 4 D 5考點： 等腰直角三角形；點到直線的距離分析： 首先作出AB、AD邊上的點P（點A）到BD的垂線段AE，即點P到BD的最長距離，作出BC、CD的點P（點C）到BD的垂線段CF，即點P到BD的最長距離，由已知計算出AE、CF的長與比較得出答案解答： 解：過點A作AEBD于E，過點C作CFBD于F，BAD=ADC=90，AB=AD=2，CD=，ABD=ADB=45，CDF=90ADB=45，sinABD=，AE=ABsinABD=2sin45=2=2，所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為的點2個，故選A點評： 本題考查了解直角三角形和點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是先求出各邊

16、上點到BD的最大距離比較得出答案6. （2015銅仁市）（第17題）如圖，ACB=9O，D為AB中點，連接DC并延長到點E，使CE=CD，過點B作BFDE交AE的延長線于點F若BF=10，則AB的長為8考點：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線分析：先根據(jù)點D是AB的中點，BFDE可知DE是ABF的中位線，故可得出DE的長，根據(jù)CE=CD可得出CD的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論解答：點D是AB的中點，BFDE，DE是ABF的中位線BF=10，DE=BF=5CE=CD，CD=5，解得CD=4ABC是直角三角形，AB=2CD=8故答案為：8點評：本題考查的是三角形中位線定理，熟知三角

17、形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解答此題的關(guān)鍵7. （2015昆明第16題，3分）如圖，在RtABC中，C=30，以直角頂點A為圓心，AB長為半徑畫弧交BC于點D，過D作DEAC于點E若DE=a，則ABC的周長用含a的代數(shù)式表示為（6+2）a考點：含30度角的直角三角形；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.分析：先根據(jù)C=30，BAC=90，DEAC可知BC=2AB，CD=2DE，再由AB=AD可知點D是斜邊BC的中點，由此可用a表示出AB的長，根據(jù)勾股定理可得出AC的長，由此可得出結(jié)論解答：解：C=30，BAC=90，DEAC，BC=2AB，CD=2DE=2aAB=AD，點D是斜

18、邊BC的中點，BC=2CD=4a，AB=BC=2a，AC=2a，ABC的周長=AB+BC+AC=2a+4a+2a=（6+2）a故答案為：（6+2）a點評：本題考查的是含30的直角三角形，熟知在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半是解答此題的關(guān)鍵8. （2015山東泰安,第23題3分）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點若AB=8，AD=12，則四邊形ENFM的周長為20考點：三角形中位線定理；勾股定理；矩形的性質(zhì).分析：根據(jù)M是邊AD的中點，得AM=DM=6，根據(jù)勾股定理得出BM=CM=10，再根據(jù)E、F分別是線段BM、CM的中點，

19、即可得出EM=FM=5，再根據(jù)N是邊BC的中點，得出EM=FN，EN=FM，從而得出四邊形EN，F(xiàn)M的周長解答：解：M、N分別是邊AD、BC的中點，AB=8，AD=12，AM=DM=6，四邊形ABCD為矩形，A=D=90，BM=CM=10，E、F分別是線段BM、CM的中點，EM=FM=5，EN，F(xiàn)N都是BCM的中位線，EN=FN=5，四邊形ENFM的周長為5+5+5+5=20，故答案為20點評：本題考查了三角形的中位線，勾股定理以及矩形的性質(zhì)，是中考常見的題型，難度不大，比較容易理解9. （2015東營,第17題4分）如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它

20、運動的路徑是最短的，則AC的長為考點： 平面展開-最短路徑問題專題： 計算題分析： 將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個面上，此時AB最短，根據(jù)三角形MCB與三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的長，利用勾股定理求出AC的長即可解答： 解：將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個面上，展開圖如圖所示，此時AB最短，BCMACN，=，即=2，即MC=2NC，CN=MN=，在RtACN中，根據(jù)勾股定理得：AC=，故答案為：點評： 此題考查了平面展開最短路徑問題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練求出CN的長是解本題的關(guān)鍵10. （2015湖北省咸寧市，第23題10分）定義：數(shù)學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形理解：（1）如圖1，已知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點，AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD；（2）如圖2，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是O的直徑，AC=BD求證：四邊形ABCD是對等四邊形；（3）如圖3，在RtPBC中，PCB=90