1、第6章 多元函數(shù)微積分,第1節(jié) 多元函數(shù)的概念,第2節(jié) 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分,第3節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,第4節(jié) 多元函數(shù)微分法的應(yīng)用,第5節(jié) 二重積分的概念,第6節(jié) 二重積分的計算,第7節(jié) 二重積分的應(yīng)用,6.1 多元函數(shù)的概念,二元函數(shù)的定義,二元函數(shù)的幾何意義,二元函數(shù)的極限,二元函數(shù)的連續(xù)性,小結(jié),思考與練習(xí),定義1,的函數(shù)值，函數(shù)值的總體稱為函數(shù)的值域。,類似地，可定義三元函數(shù)及其他多元函數(shù)。,二元函數(shù)的定義,例,例2 一個有火爐的房間內(nèi),在同一時刻的溫度分布,唯一的溫度,類似的例子還可舉出很多,今后我們主要研究二元函數(shù)。,一般地講，二元函數(shù)的幾何意義表示空間直角坐標(biāo)

2、系中的 一個曲面。,二元函數(shù)的幾何意義,（2） 二元函數(shù) z=f (x,y) 的圖形,通常是一張曲面（函數(shù)曲面）.,二元函數(shù)的極限,小結(jié)：,（）,（）,例,求證,證明,由于平面上由一點到另一點有無數(shù)條路線，因此二元函數(shù),性質(zhì)（最大值和最小值定理）,二元函數(shù)的連續(xù)性,性質(zhì)（零點定理）,性質(zhì)（有界性定理）,性質(zhì)（介值定理）,例設(shè),解,因此,小結(jié)：,一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的所謂定義區(qū)域，,是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域,由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點,思考題:,一元函數(shù)連續(xù)和二元函數(shù)連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系。,6.2 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分,偏導(dǎo)數(shù)的概念,偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,偏導(dǎo)數(shù)與

3、連續(xù)的關(guān)系,小結(jié),思考與練習(xí),高階偏導(dǎo)數(shù),全微分的概念和應(yīng)用（未做）,偏導(dǎo)數(shù)的概念,同理,如果極限,導(dǎo)數(shù),記作,偏導(dǎo)函數(shù),簡稱偏導(dǎo)數(shù),記作,解,根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義可知,求多元函數(shù)關(guān)于某個自變量的偏導(dǎo)數(shù),并不需要新的方法,只需將其他自變量看作常數(shù),僅對一個自變量求,導(dǎo),因此,一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式,對求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍 然適用.,例1,例2,解,所以,例3,解,意義.,偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,如下圖所示,例如,偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系,注: 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的區(qū)別 (1)偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定連續(xù)； (2)連續(xù)，不一定存在偏導(dǎo)數(shù)；,高階偏導(dǎo)數(shù)可定義為相應(yīng)低一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).例如設(shè),一般來說,這兩個偏導(dǎo)數(shù)

4、還是,可定義二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)如下,高階偏導(dǎo)數(shù),例 4,解,二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù),例5,解,上述例子中二階混合偏導(dǎo)數(shù)都是相等的,但對許多二元函數(shù),來說,它們的二階混合偏導(dǎo)數(shù)并不相等,也就是說兩者相等是要有 條件的.,為此,給出下面的定理:,定理6.1,相等.,例6,解 因為,所以,小結(jié)：,在二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的情況下，混合偏導(dǎo)數(shù)的最終值和求導(dǎo) 次序無關(guān)。,6.3 多元函數(shù)復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求法,小結(jié),思考與練習(xí),定理6.5,多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,證明,所以有,完全類似地可以證明第二個等式。,下面再介紹一特殊情形。,另外，對于自變量或中間變

5、量多于兩個的情形，也有類似,則,（1） 搞清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系；,（2）對某個自變量求偏導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意要經(jīng)過一切,有關(guān)的中間變量而歸結(jié)到該自變量。,例1,解,注意：,例2,解,隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求法,同理可證,定理6.6（隱函數(shù)存在定理）,并有,注意,例3,解,例4,解,應(yīng)用上面公式，得,6.4 多元函數(shù)微分法的應(yīng)用,在幾何上的應(yīng)用,二元函數(shù)極值的求法,小結(jié),思考與練習(xí),1.空間曲線的切線與法平面,在幾何上的應(yīng)用,即,例1,解,于是，切線方程為,法平面方程為,2.曲面的切平面方程與法線方程,為,例2,解,或,法線方程為,1、二元函數(shù)的極值,二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決。,定理6.7(極值

6、存在必要條件),使,二元函數(shù)極值的求法,定理6.8（極值存在充分條件）,令,第一步,第二步,第三步,例3,解,（1）求駐點,解方程組,（2）判斷駐點是否極值點，,若是，說明取得極值情況,又由于,2.條件極值與拉格朗日乘數(shù)法,在前面所討論的極值中，除對自變量給出定義域外，并,無其它條件限制，我們把這一類極值稱為無條件極值，而把,對自變量還需附加其他條件的極值問題稱為條件極值。條件,條件極值問題有如下兩種解法。,方法1,例4,解,由一元函數(shù)極值存在的必要條件，得,所以,方法2 （拉格朗日數(shù)乘法）,這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。,至于如何確定所求得的點是否為極值點，是極大值點還,是極小值點，在實際問題中