1、第五章 功率譜估計(jì),功率譜-信號(hào)功率在頻域的分布規(guī)律,內(nèi)容,5.1 確定信號(hào)的譜估計(jì) 5.2 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì) 5.3 參數(shù)功率譜密度估計(jì) 5.4 基于子空間特征值分析的功率譜估計(jì)（高分辨譜估計(jì)）,5.1 確定信號(hào)的譜分析,連續(xù)時(shí)間信號(hào)首先通過一個(gè)低通（抗混疊）濾波器，然后采樣得到離散時(shí)間信號(hào)，選擇楨長為N交疊為N0的采樣數(shù)據(jù)，然后加窗，最后用加窗數(shù)據(jù)的一個(gè)合適長度的DFT作為譜估計(jì),(1)時(shí)域采樣和抗混疊濾波,FTDTFT：,(2) 頻域采樣和時(shí)域添零操作,頻域采樣: DTFT-DFT,補(bǔ)零操作,通過對(duì)采樣信號(hào)后面補(bǔ)零來得到更高密度的頻譜。低密度離散頻譜，在使用線性內(nèi)插重建連續(xù)頻譜時(shí)

2、會(huì)產(chǎn)生誤差。提高頻譜密度可以減少這個(gè)誤差。,(3) 能量泄漏，分辨率損失和加窗操作,可用數(shù)據(jù)=完整數(shù)據(jù)矩形窗,傅利葉變換：,矩形窗幅頻特性,分辨率損失,可以看出頻率分辨率決定于數(shù)據(jù)窗的持續(xù)時(shí)間（采樣點(diǎn)數(shù)-1）,窗口函數(shù)對(duì)分辨率和泄漏的影響,頻率分辨率：窗口函數(shù)頻譜的主瓣寬度。 泄漏：旁瓣譜峰的水平（導(dǎo)致虛假譜峰出現(xiàn)） 因此要根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的窗口。矩形窗具有最窄的主瓣寬度。旁瓣振幅的減小只能以降低分辨率為代價(jià)。 利用矩形窗口分辨兩個(gè)頻率，應(yīng)當(dāng)使兩個(gè)頻率的絕對(duì)差值大于矩形窗頻譜的主瓣寬度：|w1-w2|mainWin,各種不同窗口的屬性比較和實(shí)域頻域特性,5.2 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的譜估計(jì),功率譜

3、為自相關(guān)函數(shù)的Fourier變換 Wiener-Khintchine 定理 自相關(guān)的估計(jì)值 估計(jì)值的均值與方差,(1)Wiener-Khintchine 定理1936年,(2) 自相關(guān)估計(jì),unbiased,Biased Nonnegative definite Smaller variance,- 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的譜估計(jì),估計(jì)1：,估計(jì)2：,估計(jì)量的均值和方差,Mean:,Variance:,是一個(gè)漸進(jìn)無偏,5.2.2 非參數(shù)功率譜密度估計(jì)方法,周期圖法 Bartlett法（平均多個(gè)周期圖, 采用不同數(shù)據(jù)塊） Welch 法 (平均多個(gè)周期圖, 采用重疊的數(shù)據(jù)塊) Blackman-Tukey

4、 法 (周期圖平滑),(1) 周期圖法,Periodogram Sir Arthur Schuster in 1899 Mean Variance,一個(gè)無偏但不一致的估計(jì) An unbiased but not a consistent estimate,(2) Bartlett 法平均多個(gè)不同數(shù)據(jù)塊的周期圖估計(jì)結(jié)果,Mean:,An asymptotically unbiased,Variance:,1/k of the variance of the periodogram,(3) Welch 法 采用有重疊的數(shù)據(jù)塊,Mean:,An asymptotically unbiased,Var

5、iance:,1/k of the variance of the periodogram,Welch-Bartlett 方法,(4) Blackman-Tukey 法 加窗的譜估計(jì),Mean:,Variance:,Uw/k of the variance of the periodogram Uw相關(guān)窗口的能量,相關(guān)窗譜為單位面積時(shí)，為漸進(jìn)無偏估計(jì),Blackman-Tukey 法,方法理論和實(shí)踐的比較 對(duì)功率譜加窗平滑等價(jià)于對(duì)估計(jì)的自相關(guān)序列進(jìn)行加窗。對(duì)窗口有一定要求：三角窗(Bartlett)和Parzen窗可以，但不適用于漢明，漢寧或凱瑟窗。,5.3 參數(shù)功率譜密度估計(jì),Autoreg

6、ressive (AR) Model（自回歸） Moving-Averatge (MA) Model（移動(dòng)平均） Autoregressive Moving-Average (ARMA) Model（自回歸移動(dòng)平均）,估計(jì)步驟： (1) 信號(hào)建模 (2) 估計(jì)模型參數(shù) (3) 計(jì)算功率譜,本節(jié)內(nèi)容,5.3.1 信號(hào)模型及其功率譜 5.3.2 AR,MA,ARMA 模型與 他們的功率譜 5.3.3 AR 模型的功率譜估計(jì) Yule-Walker 方程 AR 模型特性 參數(shù)估計(jì)方法 5.3.4 MA模型的功率譜估計(jì) 5.3.5 ARMA模型的功率譜估計(jì),平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),白噪聲,線性移不變系統(tǒng),有理函

7、數(shù)模型:,5.3.1 信號(hào)模型及其功率譜,(1) Autoregressive-Moving Average (ARMA) 模型,輸入輸出關(guān)系:,系統(tǒng)方程:,功率譜密度:,零-極點(diǎn)模型,(2) Moving Average 模型,輸入輸出關(guān)系:,系統(tǒng)方程:,功率譜密度:,全零點(diǎn)模型,全極點(diǎn)模型,(3) Autoregressive 模型,輸入輸出關(guān)系:,系統(tǒng)方程:,功率譜密度:,模型:,模型:,模型:,模型參數(shù),5.3.2 AR 模型參數(shù)估計(jì),（1）Yule-Walker 方程,求解上面方程式，即得到AR模型參數(shù),5.3.3 MA和ARMA模型的功率譜估計(jì),ARMA 模型的 Yule-Walk

8、er 方程,MA 模型的 Yule-Walker 方程,（*1）,MA 模型的功率譜估計(jì),不需要估計(jì)模型參數(shù)bk, 只需根據(jù)已知數(shù)據(jù)估計(jì)出|m|q的自相關(guān)函數(shù)，代入上式計(jì)算即可。,（*2）,首先計(jì)算AR模型參數(shù)。（*1）式 利用AR模型對(duì)x(n)濾波得到v(n) 利用v(n)計(jì)算MA模型功率譜。（*2）式,ARMA模型的功率譜估計(jì),5.4 基于子空間特征值分析的功率譜估計(jì),目標(biāo)信號(hào)： 已知在白噪聲中的M個(gè)負(fù)指數(shù)序列和的N 個(gè)采樣值,和 需要估計(jì).,where are uncorrelated random variables that uniformly distributed over th

9、e interval,例1: 白噪聲中單個(gè)復(fù)指數(shù)序列,Signal autocorrelation matrix,Noise autocorrelation matrix,信號(hào)矢量：,信號(hào)的自相關(guān)矩陣：,因?yàn)榫仃?的秩為1，所以僅有一個(gè)非零特征值,的非零特征值:,-對(duì)應(yīng)的特征向量,- 的非零特征值,是厄米共軛矩陣，所以其他的特征向量 與e1 正交。,噪聲自相關(guān)矩陣,是個(gè)滿秩矩陣,設(shè) 為信號(hào)自相關(guān)矩陣 的特征值，則,的特征值 :,- 的特征值,- 的最大特征值,- 的其他特征值,的特征向量與 的相同，為,從 的特征值和特征向量中提取信號(hào) 參數(shù)的計(jì)算步驟: 對(duì)自相關(guān)矩陣 進(jìn)行特征值分解。其最大特征

10、值等于 ，其他特征值等于 使用這些特征值計(jì)算功率 和噪聲方差,計(jì)算步驟,3. 從最大特征值所對(duì)應(yīng)特征矢量 確定信號(hào)頻率 例如，,令 為自相關(guān)矩陣 的噪聲特征矢量，即具有特征值 的一個(gè)特征矢量；并且令 為特征矢量 的第 i個(gè)成份。 頻率估計(jì)方程 :,正交條件:,頻率估計(jì)方程,求取不同頻率點(diǎn)處的上述方程值。,例2: 白噪聲中兩個(gè)復(fù)指數(shù)序列,為更精確描述上面分解，可以使用矩陣形式：,P1,P2分別為第一個(gè)和第二個(gè)復(fù)正弦波的功率。,令 和 為矩陣 的特征向量和特征值，并且把特征值按照降序排列：,因 , 所以,為特征值 of,由于信號(hào)自相關(guān)矩陣 秩為2，所以只有兩個(gè)非零特征值，并且他們都大于零（因 為非

11、負(fù)定）。這樣 矩陣 的特征向量和特征值可以分為兩個(gè)部分：,第一部分包含大于 的兩個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量（稱為信號(hào)特征向量）。兩個(gè)向量張成一個(gè)子空間信號(hào)子空間。,第二部分包含那些等于 的兩個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量（稱為噪聲特征向量）。噪聲特征向量張成一個(gè)N-2維子空間噪聲子空間。,上面的定義有一點(diǎn)誤導(dǎo)：因?yàn)樵肼暢煞萃瑫r(shí)影響信號(hào)子空間和噪聲子空間,因 厄米共軛，特征向量 相互正交。因此，信號(hào)空間和噪聲空間是正交子空間。也就是說，對(duì)信號(hào)子空間中的任一向量 和噪聲子空間中的任一向量 有下面成立：,不像單個(gè)復(fù)指數(shù)序列的例子，這里信號(hào)特征向量通常不再等于 和 .,然而， 和 同樣位于由 和 張成的信號(hào)子

12、空間內(nèi)。由于信號(hào)子空間和噪聲子空間正交，那么 和 同樣與噪聲特征矢量 正交。（i2）,我們?nèi)匀豢梢允褂蒙厦娴念l率方程得到對(duì)兩個(gè)頻率值的估計(jì)。,通用情況: 一個(gè)廣義平穩(wěn)過程，在白噪聲中包含M個(gè)不同的復(fù)指數(shù)序列,M個(gè)線性獨(dú)立的向量,信號(hào)向量組成的NM矩陣,關(guān)于各個(gè)信號(hào)能量的對(duì)角陣,這里 為矩陣 的特征值。 由于矩陣 的秩為 M ，所以 前M個(gè)特征值將大于 ，后 個(gè)特征值將等于 。,因矩陣 的特征值為,矩陣 的特征值和特征向量可以分為兩個(gè)部分：,2. 噪聲特征向量,1. 信號(hào)特征向量,假設(shè)特征向量已經(jīng)被模歸一化, 我們可以以下面形式對(duì)矩陣 進(jìn)行分解：,所有信號(hào)向量 都位于信號(hào)子空間內(nèi)。由信號(hào)子空間和

13、噪聲子空間的正交性可以推出，信號(hào)向量 正交于任何一個(gè)噪聲特征向量：,信號(hào)的頻率值可以使用頻率估計(jì)方程進(jìn)行估計(jì)：,有兩種不同類型的頻率估計(jì)方法基于以上的頻率估計(jì)方程: Pisarenko 諧波分解 MUltiple SIgnal Classification（MUSIC）,(2) 基于頻率估計(jì)方程的方法,思想：信號(hào)頻率值可以從自相關(guān)矩陣的對(duì)應(yīng)于最小特征值的特征向量處估計(jì)得到。,Pisarenko Harmonic Decomposition ( PHD 方法 ),PHD 方法缺點(diǎn)在于對(duì)于噪聲敏感（由于僅使用了一個(gè)特征向量），這限制了它的廣泛使用.,假設(shè): 信號(hào)中復(fù)指數(shù)序列的數(shù)目M為已知 個(gè)自相關(guān)

14、序列的采樣已知或者可以被估計(jì)出來,當(dāng)不知道復(fù)指數(shù)序列的確切數(shù)目時(shí)，使用這個(gè)方法需要格外小心。,對(duì)于一個(gè)M+1M+1 維的自相關(guān)矩陣 ，噪聲子空間的維數(shù)顯然為1，噪聲子空間是被對(duì)應(yīng)于最小特征值的特征向量 所張成。 將與每一個(gè)信號(hào)向量正交：,這樣對(duì)這個(gè)特征向量系數(shù)的傅利葉變換 在每一個(gè)復(fù)指數(shù)序列的頻率點(diǎn) 處取值為0.,相應(yīng)的，噪聲矢量的z變換具有M個(gè)零點(diǎn)在單位圓上,與求取 的零點(diǎn)相似，也可使用 這是頻率估計(jì)方程的一個(gè)特殊形式， with and .,峰值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率被作為復(fù)指數(shù)序列的頻率估計(jì).,盡管寫為功率譜的形式， 被叫做偽譜（或特征譜）。因?yàn)樗话魏侮P(guān)于復(fù)指數(shù)序列或者噪聲功率的信息。,如何估計(jì)噪聲和復(fù)指數(shù)序列的功率呢？,假設(shè): 信號(hào)子空間的特征向量 已經(jīng)被規(guī)范化即,功率估計(jì),對(duì)下式兩邊都左乘一個(gè)矢量,得到,Equation *,注意，除P1,P2, ,PM之