1、專題三三角函數(shù)及解三角形 第一講任意角的三角函數(shù)及 三角恒等變換,【主干知識(shí)】 1.必記公式 (1)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系: 平方關(guān)系:_; 商數(shù)關(guān)系:_. (2)誘導(dǎo)公式: 公式:S+2k;S;S-; 巧記口訣:奇變偶不變,符號(hào)看象限,當(dāng)銳角看.,sin2+cos2=1,(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式: sin()=_; cos()=_; tan()=_. 輔助角公式:asin+bcos=_ = cos(+).,sincoscossin,coscossinsin,(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式: sin2=_; cos2=_=2cos2-1=1-2sin2; tan2=_. (5

2、)降冪公式: sin2=_; cos2=_.,2sincos,cos2-sin2,2.易錯(cuò)提醒 (1)同角關(guān)系應(yīng)用錯(cuò)誤:利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系開方時(shí),忽略判斷角所在的象限或判斷出錯(cuò),導(dǎo)致三角函數(shù)符號(hào)錯(cuò)誤. (2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用錯(cuò)誤:利用誘導(dǎo)公式時(shí),三角函數(shù)名變換出錯(cuò)或三角函數(shù)值的符號(hào)出錯(cuò). (3)忽視角的范圍:給值求角或給值求值時(shí),忽視角的范圍.,【考題回顧】 1.（2014紹興模擬）cos 38sin 98-cos 52sin 188的值為（ ） 【解析】選C.cos 38sin 98-cos 52sin 188= sin 98cos 38-cos 98sin 38=sin(98-38)

3、=,2.(2014溫州模擬)已知，為銳角，cos = , tan(-)=- ，則tan 的值為（ ） 【解析】選B.因?yàn)?，為銳角，cos = ,所以 tan = ,tan =tan-（-）=,3.（2013新課標(biāo)全國(guó)卷）已知sin 2= ，則 cos2(+ )=( ) 【解題提示】利用“降冪公式”將cos2(+ )化簡(jiǎn)， 建立與sin 2的關(guān)系，可得結(jié)果. 【解析】選A.因?yàn)?4.（2013浙江高考）已知R，sin +2cos = 則tan 2=( ),【解析】選C.,5.（2014嘉興模擬）若 的值 為（ ） 【解析】選B.因?yàn)閏os( -)=cos +( -) =-sin( -)，所以co

4、s( -)=- .,熱點(diǎn)考向一 三角函數(shù)的定義 【考情快報(bào)】,【典題1】（1）（2014杭州模擬）已知角的終邊上一點(diǎn) 的坐標(biāo)為 則角的最小正值為（ ） （2）（2014南昌模擬）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊 與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos 2=( ),【信息聯(lián)想】(1)看到終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo) 想到_. (2)看到終邊在直線y=2x上,想到_; 看到cos2,想到_.,三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)的定義,二倍角公式,【規(guī)范解答】（1）選C.由三角函數(shù)的定義知： 所以是第四象限角，因此的最小正值為,(2)選B.方法一：在角的終邊上任取一點(diǎn)P（a,2a）(a0). 則r2=|OP|2=

5、a2+(2a)2=5a2.所以cos2= cos 2=2cos2-1= -1=- . 方法二：由方法一知tan = =2, cos 2=cos2-sin2=,【互動(dòng)探究】若將本例（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?則結(jié)果如何？ 【解析】選D.由三角函數(shù)定義知： 所以是第四象限角，的最小正值為,【規(guī)律方法】運(yùn)用定義可求解的兩類問題 1.求三角函數(shù)值（或角） 當(dāng)已知角的終邊所經(jīng)過的點(diǎn)或角的終邊所在的直線時(shí)，一般先 根據(jù)三角函數(shù)的定義求這個(gè)角的三角函數(shù)值，再求其他.但當(dāng) 角經(jīng)過的點(diǎn)不固定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論. 2.建模 由于三角函數(shù)的定義與單位圓、弧長(zhǎng)公式等存在一定的聯(lián)系， 因此在命題思路上可以把圓的有關(guān)知識(shí)同三

6、角函數(shù)間建立聯(lián)系.,【變式訓(xùn)練】1.（2014廣州模擬）如 圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角 的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo) 為 ，則cos =_. 【解析】易知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為- ,所以cos =- . 答案：-,2.角速度為 的質(zhì)點(diǎn)P，從點(diǎn)(1,0)出發(fā)，逆時(shí)針沿單位圓 x2y21運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過17個(gè)時(shí)間單位后，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_. 【解析】經(jīng)過17個(gè)單位時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧度是 ，此時(shí) 質(zhì)點(diǎn)P在角 的終邊上，即在 的終邊上，根 據(jù)三角函數(shù)的定義，此時(shí)該點(diǎn)的坐標(biāo)是 答案：,【加固訓(xùn)練】1.（2014紹興模擬）已知角 的終邊上有一點(diǎn)P（1，a）,則a的值是（ ） 【解析】選D.由三角函數(shù)的定義

7、可知,2.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一單位圓的圓心的初始 位置在(0,1),此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正 向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí), 的坐標(biāo)為.,【解析】設(shè)A（2，0），B（2，1）， 由題意知劣弧 長(zhǎng)為2，ABP= =2. 設(shè)P（x,y），則x=2-1cos(2- )= 2-sin 2,y=1+1sin(2- )=1-cos 2, 所以 的坐標(biāo)為（2-sin 2,1-cos 2）. 答案：(2-sin 2,1-cos 2),熱點(diǎn)考向二 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及誘導(dǎo)關(guān)系 【考情快報(bào)】,【典題2】（1）（2014湖州模擬）若sin(-)= 且(, )

8、,則sin( )=( ) (2)(2014安慶模擬)已知 =-1,求下列各式的值： cos2( +)-sin(-)cos(+)+2.,【信息聯(lián)想】（1）看到sin(-)，sin( ),想到 _. （2）看到 ,想到_; 看到 +,-,+,想到_.,誘導(dǎo)公式及二倍角公式,商數(shù)關(guān)系,誘導(dǎo)公式,【規(guī)范解答】（1）選B.sin(-)=sin =- , 又,【規(guī)律方法】 1.利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)求值的三種常用方法 （1）切弦互換法：利用tan 進(jìn)行轉(zhuǎn)化. （2）和積轉(zhuǎn)化法：利用(sin cos )2=12sin cos 進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化. （3）常值代換法：其中之一就是把1代換為sin2cos2.

9、 同角三角函數(shù)關(guān)系sin2cos21和tan 聯(lián)合 使用，可以根據(jù)角的一個(gè)三角函數(shù)值求出另外兩個(gè)三角函 數(shù)值.根據(jù)tan 可以把含有sin ，cos 的齊次式化為tan 的關(guān)系式.,2.利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)求值的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) （1）函數(shù)名稱和符號(hào)：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角的三角函數(shù)，其步驟是：去負(fù)脫周化銳求值.特別注意解題過程中函數(shù)名稱和符號(hào)的確定. （2）開方：在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方特別注意根據(jù)條件進(jìn)行討論取舍. （3）結(jié)果整式化：解題時(shí)注意求值與化簡(jiǎn)的最后結(jié)果一般要盡可能整式化.,【變式訓(xùn)練】1.（2014北京模擬）若sin(3+)=

10、 (- ,0),則tan =_. 【解析】由sin(3+)= (- ,0)得sin =- cos = ,故tan =- . 答案：-,2.直線2x-y+1=0的傾斜角為,則 的值為_. 【解析】由題意可知，tan =2,則 答案：,【加固訓(xùn)練】1.已知2sin( +)-sin(-)=0，則 sin2+sin cos -2cos2=( ) 【解析】選D.因?yàn)?sin( +)-sin(-)=0,所以tan =2. sin2+sin cos -2cos2=,2.計(jì)算：tan 300=_. 【解析】tan 300=tan(360-60)=-tan 60=- . 答案：-,3.已知為第二象限角，sin

11、+cos = ，則cos 2 =_. 【解析】因?yàn)閟in +cos = ,所以兩邊平方得 1+2sin cos = ，所以2sin cos = 0，因?yàn)?已知為第二象限角，所以sin 0,cos 0，sin cos = 所以cos 2 =cos2sin2=(cos sin )(cos +sin )= 答案：,熱點(diǎn)考向三 三角恒等變換 【考情快報(bào)】,高頻考向 多維探究,命題角度一 利用三角恒等變換求值(求角) 【典題3】（1）（2014天津模擬）已知 則cos +sin 等于（ ） （2）已知銳角，滿足sin = ,cos = 則+=_.,【信息聯(lián)想】（1）看到 想到_ _. （2）看到求+，想

12、到_.,利用誘導(dǎo),公式、差角公式、倍角公式化簡(jiǎn),先求出+的某一三角函數(shù)值,【規(guī)范解答】（1）選D.,命題角度二 利用三角恒等變換化簡(jiǎn) 【典題4】（1）（2014金華模擬）已知函數(shù)f(x)= 2sin x( cos x-sin x)+1,若f(x-)為偶函數(shù)，則 可以為（ ） (2)(2014西安模擬)已知函數(shù)f(x)=(2cos2x-1) sin 2x+ cos 4x. 求f(x)的最小正周期及最大值； 若( ,)，且f()= ，求的值.,【信息聯(lián)想】(1)看到f(x)的表達(dá)式，想到_ _. (2)看到f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x，求最小正周 期及最大值，想到_.

13、,利用三角恒等,變換將f(x)化為y=Asin(x+)的形式,將f(x)化為f(x)=Asin(x+)的形式,【規(guī)范解答】(1)選B.f(x)=2 sin xcos x-2sin2x+1= sin 2x+cos 2x=2sin(2x+ ).因?yàn)閒(x-)為偶函數(shù)， 所以-2+ =k+ =- - (kZ),當(dāng)k=-1時(shí)， =,(2)因?yàn)閒(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x =cos 2xsin 2x+ cos 4x = (sin 4x+cos 4x)= sin(4x+ ). 即f(x)= sin(4x+ ). 所以f(x)的最小正周期為 ，最大值為 . 因?yàn)閒()= ,所以

14、sin(4+ )=1.因?yàn)? ,), 所以4+ ，所以4+,【規(guī)律方法】三角恒等變換的思路與方法 1.思路： （1）和式：降次、消項(xiàng)、逆用公式. (2)三角分式：分子與分母約分或逆用公式. （3）二次根式：切化弦、變量代換、角度歸一.,2.方法： (1)弦切互化：一般是切化弦. (2)常值代換：特別是“1”的代換，如1=sin2+cos2= tan 45等. (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式（降冪公式）降次.,（4）公式的變形應(yīng)用：如sin =cos tan ,sin2= tan +tan =tan(+) (1-tan tan ),1sin =(sin cos )2等. （

15、5）角的合成及三角函數(shù)名的統(tǒng)一： asin +bcos = sin(+)(tan = ). (6)角的拆分與角的配湊：如=(-)+，= 可視為( 2)的半角等.,【變式訓(xùn)練】 1.若 則 =_. 【解析】因?yàn)?則 所以 答案：-,2.已知函數(shù)f(x)= sin 2x+ cos 2x,xR. （1）求f(x)的最大值和最小正周期. （2）若 是第二象限的角，求sin 2.,【解析】(1)因?yàn)閒(x)=2( sin 2x+ cos 2x) =2(cos sin 2x+sin cos 2x)=2sin(2x+ ). 所以f(x)的最大值為2，最小正周期為T= =. （2）由（1）知，f(x)=2si

16、n(2x+ ), 所以f( )=2sin = ，即sin = .又是第二象 限的角，所以cos = 所以sin 2=2sin cos =,【加固訓(xùn)練】1.求值： =_. 【解析】由題意得: 答案：,2.已知 的值 為_. 【解析】由 答案：,3.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+cos 2x(xR). （1）當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，并求其最大值. （2）若為銳角，且f(+ )= ，求tan 的值.,【解析】（1）f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x 所以當(dāng)2x+ =2k+ (kZ)，即x=k+ (kZ)時(shí)， 函數(shù)f(x)取得最大值，

17、其最大值為,（2）因?yàn)?所以cos 2= .因?yàn)闉殇J角，即0 ,所以02, 所以sin 2= 所以tan 2= 所以 所以( tan -1)(tan + )=0, 所以tan = 或tan =- （不合題意，舍去）,所以 tan = .,【備選考向】三角恒等變換與平面向量、解三角形的交匯問題 【典題】已知銳角三角形ABC中,向量m=(2-2sinB,cosB-sinB), n=(1+sinB,cosB+sinB),且mn. (1)求角B的大小. (2)當(dāng)函數(shù)y=2sin2A+cos 取最大值時(shí),判斷三角形ABC的 形狀.,【解析】（1）因?yàn)閙n，所以mn=0. 即（2-2sin B）(1+si

18、n B)+(cos B-sin B)(cos B+sin B)=0, 即3-4sin2B=0,sin B= 又因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以B= （2）由（1）知B= ，所以y=2sin2A+cos =2sin2A+cos = sin 2A- cos 2A+1=sin（2A- ）+1. 當(dāng)2A- = 時(shí)，即A= 時(shí)y有最大值. 此時(shí)A=B=C= ，所以三角形ABC是正三角形.,【規(guī)律方法】與三角恒等變換交匯問題的解題思路 （1）與平面向量交匯：利用平面向量坐標(biāo)表示、數(shù)量積、向量的模、向量的夾角等進(jìn)行運(yùn)算，將平面向量問題轉(zhuǎn)化為三角恒等變換問題. （2）與三角形交匯：利用三角形內(nèi)角和為180度，確定

19、角的范圍，有時(shí)結(jié)合正余弦定理解答.,【加固訓(xùn)練】已知a=(1,cos x),b=( ,sin x),x(0,). （1）若ab，求 的值. （2）若ab，求sin x-cos x的值.,【解析】（1）因?yàn)閍b，所以sin x= cos x，所以tan x= 所以 (2)因?yàn)閍b，所以 +sin xcos x=0，所以sin xcos x=- 所以（sin x-cos x）2=1-2sin xcos x= 又因?yàn)閤（0，）且sin xcos x0，所以x( ，)， 所以sin x-cos x0，所以sin x-cos x=,轉(zhuǎn)化與化歸思想 解決三角恒等變換問題 【思想詮釋】 三角恒等變換中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型 1.求值(求角):三角中的給值求值或給值求角問題,常需根據(jù)三角函數(shù)式中角或名或結(jié)構(gòu)的差異,進(jìn)行弦切間名稱的轉(zhuǎn)化;和差角、倍角、半角與單角的轉(zhuǎn)化;三角函數(shù)分式與整式,降次與升冪的結(jié)構(gòu)的