1、,探究型問題之“折疊問題” 的解題策略,操作:如圖，將矩形ABCD沿PE折疊，使點D落在邊BC上的F處，當(dāng)點F在BC邊上移動時，折痕兩端點也隨之移動，若限定點P,E分別在AD,CD邊上移動，且AB=3,AD=5，則F點可移動的最大距離為_,探究型問題之“折疊問題”,（P）,3,3,3,5,5,4,1,2,透過現(xiàn)象看本質(zhì):,折疊,軸對稱,實質(zhì),軸對稱性質(zhì)：,A,D,E,F,1.圖形的全等性：折疊前后的圖形是全等形.,2.點的對稱性：對稱點連線被對稱軸（折痕）垂直平分.,由折疊可得： 1.AFEADE,2.AE是DF的中垂線,探究型問題之“折疊問題”,例1:已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=

2、3分別以O(shè)B,OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系F是邊BC上的一個動點（不與B,C重合），過F點的反比例函數(shù) 的圖象與AC邊交于點E 請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點 F，使得將CEF沿EF對折 后，C點恰好落在OB上？ 若存在，求出點F的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由,N,M,(4, ),（ ,3）,探究型問題之“折疊問題”,把條件集中到一Rt中，根據(jù)勾股定理得方程。,尋找相似三角形，根據(jù)相似比得方程。,探究型問題之“折疊問題”,例2：如圖1，在長方形紙片ABCD中， ，其中 1，將它沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD

3、相交于點P，連接EP.設(shè) ，其中0n1 如圖2，當(dāng) （即M點與D點重合）， =2時，則 = ； 如圖3，當(dāng) （即M為AD的中點）， 的值發(fā)生變化時，求證：EP=AE+DP； (3)如圖1，當(dāng) （AB=2AD）， 的值發(fā)生變化時， 的值是否發(fā)生變化？說明理由,延長PM交EA延長線于G，則PDMGAM，EMPEMG.EP=EG=EA+AG=EA+DP.,連接BM交EF于Q,過F作FHAB于H,EFBM , ABM=EFH,EFHMBA 的值不發(fā)生變化.,H,G,Q,例3：如圖，已知直線l：y=kx+2，k0 ，與y軸交于點A，與x軸交于點B，以O(shè)A為直徑的P交AB于另一點D，把弧AD沿直線AB翻轉(zhuǎn)

4、后與OA交于點E。 （1）當(dāng)k=2時，求OE的長 （2）是否存在實數(shù)k，k0 ，使沿直線AB把弧AD翻轉(zhuǎn)后所得的弧與OA相切？若存在，請求出此時k的值，若不存在，請說明理由。,探究型問題之“折疊問題”,H,例4：已知扇形 AOB 的半徑為 6，圓心角為 90， E 是半徑 OA 上一點，F(xiàn) 是AB 上一點將扇形 AOB 沿 EF 對折，使得折疊后的圖形恰好與半徑 OB 相切于點 G 求：點 E 可移動的最大距離是多少？,變式1：若沿EF向上翻折，折疊后的弧恰好過點O，則E點移動的最大距離是多少?,3,探究型問題之“折疊問題”,變式2：已知扇形 AOB 的半徑為 6，圓心角為 90， E 是半徑

5、 OA 上一點，F(xiàn) 是AB 上一點將扇形 AOB 沿 EF 對折，使得折疊后的圖形恰好與半徑 OB 相切于點 G若 OE4，求折痕 EF 的長；,探究型問題之“折疊問題”,變式3：已知扇形 AOB 的半徑為 6，圓心角為 90，E 是半徑 OA 上一點，F(xiàn) 是AB 上一點將扇形 AOB 沿 EF 對折，使得折疊后的圖形恰好與半徑 OB 相切于點 G 若 G 是 OB 中點，求 OE 和折痕 EF 的長；,探究型問題之“折疊問題”,變式3：已知扇形 AOB 的半徑為 6，圓心角為 90，E 是半徑 OA 上一點，F(xiàn) 是AB 上一點將扇形 AOB 沿 EF 對折，使得折疊后的圖形恰好與半徑 OB

6、相切于點 G （3）若 G 是 OB 中點，求 OE 和折痕 EF 的長；,探究型問題之“折疊問題”,將邊長為2a的正方形ABCD折疊，使頂點C與AB邊上的點P重合，折痕交BC于E，交AD于F，邊CD折疊后與AD邊交于點H （1）如果P為AB邊的中點，探究 PBE的三邊之比. （2）如果P為AB邊的中點，還有哪些結(jié)論呢? (3)若P為AB邊上任意一點，還能求得 PBE的三邊之比嗎? (4)若P為AB邊上任意一點，四邊 形PEFQ的面積為S,PB為x,試探究 S與x的函數(shù)關(guān)系,關(guān)求S的最小值.,練一練,探究型問題之“折疊問題”,將邊長為2a的正方形ABCD折疊，使頂點C與AB邊上的點P重合，折痕

7、交BC于E，交AD于F，邊CD折疊后與AD邊交于點H （1）如果P為AB邊的中點，探究 PBE的三邊之比.,可得 PBE的三邊之比3:4:5.,練一練,探究型問題之“折疊問題”,將邊長為2a的正方形ABCD折疊，使頂點C與AB邊上的點P重合，折痕交BC于E，交AD于F，邊CD折疊后與AD邊交于點H （2）如果P為AB邊的中點，還有哪些結(jié)論呢?,PBEHAPHQF,可求出梯形DCEF的面積:,由CMECBP,由FNE CBP,練一練,探究型問題之“折疊問題”,將邊長為2a的正方形ABCD折疊，使頂點C與AB邊上的點P重合，折痕交BC于E，交AD于F，邊CD折疊后與AD邊交于點H(3)若P為AB邊上任意一點，還能求得 PBE的三邊之比嗎?,1貫徹從特殊到一般，從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想。,2在“變“過程中的“不變”。,PBEHAP,練一練,探究型問題之“折疊問題”,將邊長為2a的正方形ABCD折疊，使頂點C與AB邊上的點P重合，折痕交BC于E，交AD于F，邊CD折疊后與AD邊交于點H (4)若P為AB邊上任意一點，四邊形PEFQ的面積為S,PB為x,試探究S與x的函數(shù)關(guān)系,關(guān)求S的最小值.,由PBEHAP,?,?,由PBEHQF,?,練一練,探究型問題之“折疊問題”,心得：先標(biāo)等量，再構(gòu)造方程。 折疊問題中構(gòu)造方程的方法：,（2）尋找相似三角形