1、3.5 離散狀態(tài)方程,線性離散控制系統(tǒng)最一般的狀態(tài)方程和輸出方程可表示為 （3.56） （3.57）,其中 為 維狀態(tài)向量； 為 維狀態(tài)矩陣； 為 維輸入矩陣； 為 維輸出矩陣； 為 維直接傳遞矩陣。對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)， 為 維輸入向量； 為 維輸出向量。對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng)， 和 都是標(biāo)量即 。,（3.56）式和（3.57）式所描述的線性離散控制系統(tǒng)的方塊圖，如圖3.17所示。,圖3.17 線性離散控制系統(tǒng),如果線性離散系統(tǒng)是定常的，這樣方程式（3.56）和(3.57)可改寫(xiě)為 （3.58） （3.59） 其中 均為常系矩陣。,1單輸入單輸出線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程表達(dá)式,單輸入單輸出線性離散系

2、統(tǒng)可用下述差分方程表示 （3.60） 上式中某幾個(gè)系數(shù) 和 可以為零。,方程式（3.60）可以寫(xiě)成脈沖傳遞函數(shù)形式，例如 （3.61） （3.62）,由（3.60）式所示的差分方程和（3.61）式、（3.62）式所示的脈沖傳遞函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為離散狀態(tài)方程，常用的有3種方法，即直接程序法，嵌套程序法和部分分式展開(kāi)程序法。分別介紹如下。,（1）直接程序法,有關(guān)直接程序法狀態(tài)方程式推導(dǎo)，在講義中有詳細(xì)的說(shuō)明，為了便于記憶，現(xiàn)在從另一角度來(lái)描述直接程序法狀態(tài)方程式。,并由導(dǎo)推得， (3.72） (3.73） 其中， 就是Z傳遞函數(shù)表示式中的系數(shù)。,從上述方程式，可直接寫(xiě)出狀態(tài)方程式為,由（3.74）和（

3、3.75）式表示的狀態(tài)方程表達(dá)式，通常稱為可控規(guī)范型。,2嵌套程序法,嵌套程序法狀態(tài)方程式，在講義上也有詳細(xì)的推導(dǎo)，現(xiàn)在利用可控性與可觀性的對(duì)偶關(guān)系，直接寫(xiě)出可觀型狀態(tài)方程式。其變換原則為： 1)將輸入矩陣H與輸出矩陣C交換，并將矩陣轉(zhuǎn)置； 2)將狀態(tài)矩陣G轉(zhuǎn)置。,根據(jù)上述原則，可以從可控規(guī)范型狀態(tài)方程直接寫(xiě)出可觀規(guī)范型狀態(tài)方程表達(dá)式。,由（3.82）和（3.83）表示的狀態(tài)方程表達(dá)式，稱為可觀規(guī)范型。,（3.82）,（3.83）,（3）部分分式展開(kāi)程序法,當(dāng)脈沖傳遞函數(shù)的分母可以因式分解時(shí)，可采用部分分式展開(kāi)程序法。將（3.62）式改寫(xiě)為 （3.84） 首先考慮所有的極點(diǎn) p 沒(méi)有重極點(diǎn)的條

4、件下，然后再考慮有重極點(diǎn)的條件下。,將方程式（3.85）改寫(xiě)為 (3.86),（a） 中不包含重極點(diǎn),當(dāng) 中不包含重極點(diǎn)時(shí)，方程式（3.84）可展開(kāi)為下述部分分式 （3.85） 其中,取下述狀態(tài)變量,將（3.87）式代入（3.86）式，得 (3.89),將方程式（3.90）和(3.91)寫(xiě)成規(guī)范形式，得,方程式（3.92）中的 維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣。各對(duì)角線上的元素是 的極點(diǎn)。,（b） 中包含多重極點(diǎn),假定 中包含m個(gè)多重極點(diǎn) ，其余極點(diǎn)為單極點(diǎn)，這時(shí)方程式（3.43）可寫(xiě)為,(3.95),再取下述 個(gè)狀態(tài)變量,（3.97）,將方程式（3.98）和(3.97)以及方程式（3.96）中的

5、最后一個(gè)方程寫(xiě)成差分方程形式，得,將（3.96）式和（3.97）式代入(3.95)式，得,將上式寫(xiě)成差分方程式形式，得 (3.100),3.6 連續(xù)狀態(tài)方程的離散化,1線性定常連續(xù)狀態(tài)方程的離散化 設(shè)線性定常連續(xù)狀態(tài)方程和輸出方程為 (3.110) （3.111）,在進(jìn)行離散化處理時(shí)，可以假想輸入變量 是經(jīng)過(guò)采樣開(kāi)關(guān)和零階保持電路。這樣輸入變量 只在采樣瞬時(shí)， 時(shí)變化，而在兩個(gè)采樣瞬時(shí)之間保持常值，即 （3.109） 下面將導(dǎo)出在 時(shí)，離散狀態(tài)方程和輸出方程。,方程式（3-110）的離散表達(dá)式可取下述形式 （3.112） 其中 矩陣和 與采樣周期有關(guān)，一旦采樣周期 選定后， 和 就成為常系數(shù)矩

6、陣。,為了求取 和 ，可以利用方程式（3.110）的解，即 （3.113） 根據(jù)（3.109）式的關(guān)系，并令 和 ，得 （3.114） 和 （3.115）,從方程式（3.114）中減去乘上 的方程式（3.115），可得 （3.116）,將(3.109)式代入（3.116）式中，并考慮到在一個(gè)采樣周期內(nèi) 是保持不變的，故對(duì)（3.116）式中的積分上下限可作如下的改變。 （3.117）,其中 。比較（3.117）式與（3.112）式，得 （3.118） (3.119),參照（3.111）式，輸出方程式為 (3.120) 其中矩陣 C 和 D 為常系數(shù)矩陣。,如果矩陣 A 是非奇異的，（3.119）

7、式可簡(jiǎn)化為 （3.121）,方程式（3.118）和（3.121）中的矩陣指數(shù) 在分析線性狀態(tài)方程中有很重要的作用。下面對(duì)它的求解方法以及某些性質(zhì)作必要的說(shuō)明。,當(dāng)矩陣 A 為常系數(shù)矩陣時(shí)， 可表示為 （3.122）,稱 為矩陣指數(shù)。矩陣指數(shù)對(duì)所有有限時(shí)間 t是絕對(duì)收斂的。因此（3.122）式所示的級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)進(jìn)行微分，這樣可得 （3.123）,矩陣指數(shù)還有以下幾個(gè)性質(zhì)，即 (3.124) （當(dāng)AB=BA時(shí)） （3.125） （當(dāng)AB BA時(shí)） （3.126） 可以根據(jù)實(shí)際需要，選取（3.122）式的前面有限項(xiàng)，就可求得矩陣指數(shù) 。,例3.12 求下述連續(xù)狀態(tài)方程的離散狀態(tài)方程,解：利用（3.12

8、2）式和(3.119)式，得,因此，可得離散狀態(tài)方程和輸出方程為,求解矩陣指數(shù)的另一種方法是拉普拉斯變換法。,因?yàn)?所以 (3.127),所以 ,將 代入上式，得,3.7 離散狀態(tài)方程的求解,1、線性定常離散狀態(tài)方程的求解 （1）遞推求解方法 考慮下述離散狀態(tài)方程和輸出方程 （3.135） （3.136） 對(duì)任意 ，方程式（3.136）的解可直接用遞推法求得,重復(fù)上述的計(jì)算，可得 （3.137）,即,顯然 ，有兩部分組成，一部分表示初始狀態(tài)的組合，另一部分表示輸入 的組合，將方程式（3.137）代入(3.136)式中，可得輸出方程為 (3.138),（2) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 由方程式(3.137)

9、可以看出， 表示方程式(3.135)所描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，因此 （3.139） 稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。它是滿足 （3.140） 的唯一的矩陣。,利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ，可將方程式（3.137）寫(xiě)成 （3.141）,將（3.141）式代入（3.136）式，可得輸出方程為 （3.142）,（3）Z變換求解方法 對(duì)方程（3.135）等號(hào)兩邊進(jìn)行Z變換，得 那么 上式的等號(hào)兩邊乘上 可得 （3.143）,對(duì)方程式（3.137）的等號(hào)兩邊進(jìn)行z反變換，得 （3.144）,比較方程式（3.144）和（3.137），可得 （3.145） 以及 （3.146） 其中,在用Z變換方法求解離散狀態(tài)方程時(shí)，需要對(duì)矩陣

10、 求逆, 的求逆可以用分析方法，也可用計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行計(jì)算。,（4） 的計(jì)算方法 下述方法是基于伴隨矩陣 的展開(kāi)。因?yàn)?的逆陣可以寫(xiě)成伴隨矩陣 除以 的行列式，即 （3.147）,因?yàn)?行列式可寫(xiě)成為 （3.148）,可以證明，伴隨矩陣 可寫(xiě)成 （3.149）,方程式（3.148）中的系數(shù) 可以利用下述矩陣的跡來(lái)計(jì)算，即 （矩陣的跡是該 矩陣的對(duì)角元素之和）。,對(duì)高階的行列式 展開(kāi)式（3.148）式所示的形式是十分麻煩的。但是方程式（3.150）提供了方便的計(jì)算方法。因?yàn)?，交替地有次序的計(jì)算，非常適合用計(jì)算機(jī)程序來(lái)求解。,（3.151）,例 3.9 求解下述離散系統(tǒng) 其中,假設(shè) 時(shí)，求狀態(tài) 和輸出 以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 。已知初始條件為,解： 由方程式（3.139）和（3.145）可知，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 先求 ，即,所以，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為,由方程式（3.143）可得