1、25.1急性三角形比值的顯著性(1級(jí))教學(xué)目標(biāo)：1.掌握銳角的切線和余切的概念和關(guān)系。2.應(yīng)用銳角的正切和余切的概念，得到銳角的正切和余切。3.學(xué)生在探究銳角正切和余切的概念時(shí)，體驗(yàn)到“實(shí)驗(yàn)-觀察-猜想-演示”的自我體驗(yàn)過程，從而感受到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程。4.通過積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決活動(dòng)，培養(yǎng)主觀意識(shí)和評(píng)價(jià)意識(shí)，初步培養(yǎng)積極的探究態(tài)度、獨(dú)立思考習(xí)慣和團(tuán)隊(duì)合作精神。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：銳角切線和余切的意義。教學(xué)難點(diǎn)：銳角正切和余切表達(dá)式的理解和正確應(yīng)用。教學(xué)過程：首先，復(fù)習(xí)問題1.腦筋急轉(zhuǎn)彎：世界上有什么東西是永遠(yuǎn)不能放大或縮小的嗎？2.這個(gè)問題在前一階段包含什么數(shù)學(xué)知識(shí)？老師：在

2、標(biāo)度變換中，除了恒定角，還有其他不變量嗎？CAB3.眾所周知(如圖所示)，在RtABC中，C=90，A=25，B=，為什么？4.眾所周知(如圖所示)，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=4，AB=，為什么？老師：我們可以看到在直角三角形中，角和邊之間是相互聯(lián)系的，那么直角三角形的邊和角之間是否有某種聯(lián)系呢？5.眾所周知(如圖所示)，在RtABC中，C=90，BC=1，AC=，A=6.眾所周知(如圖所示)，在RtABC中，C=90，BC=1，AB=，A=老師：從以上兩個(gè)小問題的答案中你能得出什么結(jié)論？7.眾所周知，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=4，A=？老師：雖然我們暫時(shí)解決不

3、了這個(gè)問題，但是只要我們了解直角三角形中銳角和邊的關(guān)系，這個(gè)問題就很容易解決。設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)是為了了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生為學(xué)習(xí)新課程做準(zhǔn)備。通過深入的問題設(shè)計(jì)，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣，學(xué)生可以清楚地理解為什么要學(xué)習(xí)“銳角三角形比”，知道學(xué)習(xí)“銳角三角形比”的意義，并逐步引入新課程。二、銳角正切和余切概念的介紹和應(yīng)用1.介紹問題是：老師和學(xué)生展示兩個(gè)不同大小的三角形和45個(gè)角。老師：請(qǐng)拿出45度的三角尺。45直角邊與其相鄰直角邊的比值是多少？老師手里的45角三角形的直角邊與其相鄰的直角邊的比例是多少？這個(gè)比例會(huì)隨著三角形的縮放而改變嗎？同樣，探討了30直角三角形直尺的相關(guān)性質(zhì)。學(xué)

4、生們初步形成了一個(gè)概念：在直角三角形中，直角邊面對(duì)一個(gè)特殊銳角的兩條線段的長(zhǎng)度與相鄰直角邊的長(zhǎng)度之比與直角三角形的大小無關(guān)。設(shè)計(jì)意圖：使用教具模型，直觀，有效啟發(fā)學(xué)生。老師：這是一個(gè)好方法，也是我們物理中常用的方法。然而，測(cè)量會(huì)產(chǎn)生誤差，如果數(shù)據(jù)不友好，計(jì)算量將是巨大的。有沒有更有說服力的方法？學(xué)生討論：(老師的提示：平行線和線段的比例定理可以用在這里嗎？(從以上運(yùn)算中，我們可以得到：RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3，顯然有B1C1 B2C2B3C3，所以我們可以得到：老師：通過大家的共同努力，我們的猜測(cè)得到了很好的證實(shí)，那么我們能得出什么結(jié)論呢？(學(xué)生總結(jié)，教師補(bǔ)充)結(jié)論：在放

5、大和縮小時(shí)，當(dāng)銳角的大小固定時(shí)，無論RtABC的邊長(zhǎng)如何變化，兩個(gè)直角邊的比值總是不變的。(也就是說，直角三角形的兩個(gè)直角之比是由直角三角形中銳角的確定唯一確定的。(設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生體驗(yàn)“運(yùn)算-猜想-論證-歸納”的自我體驗(yàn)過程，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，激發(fā)學(xué)生的探究精神和相互合作精神。2.得到了銳角切線和余切的概念老師：正是因?yàn)橹苯侨切沃械匿J角和兩個(gè)直角邊之間有這樣的關(guān)系。為了簡(jiǎn)潔明了地表達(dá)這種關(guān)系，聰明的古人用一些符號(hào)來表達(dá)銳角和直角三角形邊之間的關(guān)系。這是我們今天要學(xué)習(xí)的“銳角三角形比率”(揭示主題)我們把銳角的對(duì)邊與它的鄰邊之比稱為銳角的切線。寫成tanA。那就是：老師：因?yàn)樵谥苯侨?/p>

6、形中，銳角的對(duì)邊與鄰邊的比率與銳角的大小有關(guān)，所以它的鄰邊與對(duì)邊的比率也與銳角的大小有關(guān)。因此，存在第二個(gè)“銳角三角形比率”。我們把銳角的鄰邊與對(duì)邊之比稱為銳角的余切。那就是：(1)同一銳角的切線和余切是互逆的，即：兩個(gè)互補(bǔ)銳角的切線是互逆的，兩個(gè)互補(bǔ)銳角的余切是互逆的。也就是說，如果AB=90，那么tanatanb=1，cotacotb=1在兩個(gè)互補(bǔ)的銳角中，一個(gè)銳角的切線等于其互補(bǔ)角的余切。也就是說，如果AB=90，那么tanA=ctgB，tanB=cotA設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生根據(jù)題目的結(jié)果找出切線和余切的關(guān)系。而不是老師的直接灌輸。同時(shí)，學(xué)生在解決問題時(shí)應(yīng)該養(yǎng)成自己畫草圖的習(xí)慣。例2:在Rt

7、ABC中，C=90，tanA=2，AC=2，求BC和AB的值。設(shè)計(jì)意圖：示例1和練習(xí)都與線段的長(zhǎng)度相切或共切。相反，使用正切值來尋找直角邊的長(zhǎng)度。讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用自己的知識(shí)，培養(yǎng)自己從別人那里推理的能力。整合練習(xí)4:1.在RtABC中，C=90，AB=10，BC=_ _ _ _ _ _，AC=_ _ _ _ _ _。2.如圖所示，在RtABC中，acb=90，CDAB，并且垂直的腳是點(diǎn)d，找出所有線段等于cotB的比率。(本課題不僅要考慮 b可以在兩個(gè)直角三角形中，還要考慮角的余切等于B。目的是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，并強(qiáng)調(diào)“當(dāng)直角三角形的銳角大小確定后，無論邊長(zhǎng)如何變化，直角之比總是確定的

8、。”三，課堂總結(jié)學(xué)生們獨(dú)立總結(jié)，在相互交流中，他們感受到了這門課的經(jīng)驗(yàn)和收獲。討論中可能有些混亂。此時(shí)，老師立即指導(dǎo)并配合完成了課堂總結(jié)。1.直角三角形的兩個(gè)直角之比是由直角三角形的銳角決定的。2.正切和余切的概念。3.切線和余切之間的關(guān)系：(1)同一銳角的切線和余切是互逆的，即：兩個(gè)互補(bǔ)銳角的切線是互逆的，兩個(gè)互補(bǔ)銳角的余切是互逆的。也就是說，如果AB=90，那么tanatanb=1，cotacotb=1在兩個(gè)互補(bǔ)的銳角中，一個(gè)銳角的切線等于其互補(bǔ)角的余切。也就是說，如果AB=90，那么tanA=cotB，tanB=cotA設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)教學(xué)的民主性，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納問題的能力和團(tuán)隊(duì)精神。教師應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，增強(qiáng)他們的