1、第二章,數(shù)列,2.3等比數(shù)列 2.3.1等比數(shù)列(一),學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念并學(xué)會(huì)簡單應(yīng)用. 2.掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)應(yīng)用. 3.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式了解其推導(dǎo)過程.,1,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí),2,課堂講義 重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破,3,當(dāng)堂檢測 當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功,知識(shí)鏈接 下列判斷正確的是_. (1)從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列是等差數(shù)列； (2)從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列是等差數(shù)列； (3)等差數(shù)列的公差d可正可負(fù)，且可以為零； (4)在等差數(shù)列中，anam(nm)d(n，mN).,(1)(3)(4),預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1

2、.等比數(shù)列的概念 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的 都等于_ ，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列. 2.等比中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù)a、G、b組成等比數(shù)列，則G叫做a與b的 .根據(jù)定義得G2ab，G ，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們 這一點(diǎn)與等差數(shù)列不同.,互為相反數(shù),比,同一個(gè),常數(shù)q(q0),等比中項(xiàng),3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 ，其中a1與 均不為0.,q,ana1qn1,要點(diǎn)一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量的求解 例1在等比數(shù)列an中， (1)a42，a78，求an；,32( )n11，即26n20，n6. 方法二a3a6q(a2a5)，q . 由a1q

3、a1q418，知a132.由ana1qn11，知n6.,(2)a2a518，a3a69，an1，求n；,(3)a32，a2a4 ，求an.,規(guī)律方法a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，其他量便可迎刃而解.此類問題求解的通法是根據(jù)條件，建立關(guān)于a1和q的方程(組)，求出a1和q.,當(dāng)q 時(shí)，a116；當(dāng)q2時(shí)，a11. an16( )n1或an2n1.,(2)在等比數(shù)列an中，已知a5a115，a4a26，求an.,要點(diǎn)二等比中項(xiàng)的應(yīng)用 例2在等差數(shù)列an中，公差d0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列， 則 等于多少？ 解由題意知a3是a1和a9的等比中項(xiàng)， a a1a9，(a12d)

4、2a1(a18d)，得a1d，,規(guī)律方法由等比中項(xiàng)的定義可知： G2abG .這表明只有同號(hào)的兩項(xiàng)才有等比中項(xiàng)，并且這兩 項(xiàng)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).反之，若G2ab， 則 ，即a，G，b成等比數(shù)列.所以a，G，b成等比數(shù) 列G2ab(ab0).,要點(diǎn)三等比數(shù)列的判定 例3數(shù)列an滿足a11，且an3an12n3(n2，3，). (1)求a2，a3，并證明數(shù)列ann是等比數(shù)列； 解a23a12234，a33a223315. 下面證明ann是等比數(shù)列：,又a112，ann是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.,(2)求an. 解由(1)知ann23n1，ann23n1.,規(guī)律方法判斷一個(gè)數(shù)

5、列是否是等比數(shù)列的常用方法有： (1)定義法： q(q為常數(shù)且不為零)an為等比數(shù)列. (2)等比中項(xiàng)法：anan2(nN且an0)an為等比數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法：ana1qn1(a10且q0)an為等比數(shù)列.,跟蹤演練3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2an1，求證an是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式. 解Sn2an1，Sn12an11. an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an.an12an， 又S12a11a1，a110. 又由an12an知an0， 2，an是等比數(shù)列. an12n12n1.,要點(diǎn)四由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng) 例4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn中，b1

6、a1，bnanan1(n2)，且anSnn. (1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列； 證明anSnn， an1Sn1n1. 得an1anan11，,2an1an1，2(an11)an1， 首項(xiàng)c1a11，又a1a11.,(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.,規(guī)律方法(1)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，或前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)，常用an與Sn的關(guān)系求解. (2)由遞推關(guān)系an1AanB(A，B為常數(shù)，且A0，A1)求an時(shí)，由待定系數(shù)法設(shè)an1A(an)可得 ，這樣就構(gòu)造了等比數(shù)列an.,1.在等比數(shù)列an中，a18，a464，則a3等于() A.16 B. 16或16 C. 32 D. 32或32 解析

7、由a4a1 q3，得q38，即q2，所以a3a1q28432.,C,1,2,3,4,5,2.若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，末項(xiàng)為128，公比為2，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為() A.4 B.6 C.5 D.32 解析由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得12842n1,2n132，所以n6.,B,1,2,3,4,5,3.已知等比數(shù)列an滿足a1a23，a2a36，則a7等于() A.64 B.81 C.128 D.243 解析an為等比數(shù)列，q2.又a1a2 3，a11.故a712664.,A,1,2,3,4,5,4.45和80的等比中項(xiàng)為_. 解析設(shè)45和80的等比中項(xiàng)為G，則G24580， G60.,1,2,3,4,5

8、,60或60,5.一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng). 解設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是a1，公比是q，那么,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,課堂小結(jié) 1.等比數(shù)列定義的理解 (1)由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不能為零，因此q也不可能為零. (2) 均為同一常數(shù)，由此體現(xiàn)了公比的意義，同時(shí)應(yīng)注意分子、 分母次序不能顛倒. (3)如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列.,2.等比中項(xiàng)的理解 (1)當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，a，b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)；當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，沒有等比中項(xiàng). (2)在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng). (3)“a，G，b成等比數(shù)