1、4-1,第四章 三鉸拱,4-1 三鉸拱的支座反力和內(nèi)力,4-0 簡(jiǎn)介,4-2 三鉸拱的壓力線,4-3 三鉸拱的合理拱軸線,4-2,按計(jì)算特點(diǎn)拱結(jié)構(gòu)分為“靜定拱”和“超靜定拱”兩種形式。 “三鉸拱”是典型的靜定拱(下圖為三鉸拱的兩種形式)。,特點(diǎn)：當(dāng)僅有豎向荷載作用時(shí)，仍具有水平支座反力，且HA=HB。 當(dāng)支座不能可靠的抵抗水平推力時(shí)，在兩支座間加拉桿，將水平支座反力轉(zhuǎn)化為拉桿的內(nèi)力(軸力)。,具有水平推力的結(jié)構(gòu)稱為“拱結(jié)構(gòu)”。,4-3,三鉸拱的幾何組成,A、B鉸拱趾；C鉸拱頂鉸；l拱跨；f拱高；,主要參數(shù)：高跨比f(wàn)/l與拱的受力狀態(tài)密切相關(guān)。 軸線形式：拋物線、圓弧線、懸鏈線。 拱分為“平拱”

2、和“斜拱”；在此主要研究“平拱”(A、B鉸在同一水平線上)。,4-4,4-1 三鉸拱的支座反力和內(nèi)力,以下的分析是將三鉸拱與同跨度的簡(jiǎn)支梁受相同荷載時(shí)的受力情況比較而進(jìn)行的。 1、支座反力的計(jì)算,特點(diǎn)：有四個(gè)支座反力VA、VB、HA、HB，求解時(shí)需要四個(gè)方程。拱的整體有三個(gè)方程，此外C鉸增加一個(gè)靜力平衡方程，即：MC=0。四個(gè)方程可解四個(gè)未知量。,為比較方便，考慮同跨度、同荷載的簡(jiǎn)支梁，豎向荷載下，簡(jiǎn)支梁沒(méi)有水平反力，只有豎向反力VA0和VB0。而VA0和VB0的求解是簡(jiǎn)單的。,4-5,考慮整體平衡： MA=0，MB=0 有下式成立：,與簡(jiǎn)支梁比較有：,即：拱的豎向反力與簡(jiǎn)支梁的豎向反力是相同

3、的。,由X=0，得： HA=HB=H,即：A、B兩點(diǎn)的水平推力方向相反，數(shù)值相等。,4-6,求水平推力H。利用MC=0，考慮C左邊所有外力，則,分析H 的表達(dá)式可知： 推力 H 與拱軸的曲線形式無(wú)關(guān)，而與拱高 f 成反比，拱愈低推力愈大。 荷載向下時(shí)，H 為正值，推力是向內(nèi)的。 當(dāng) f0時(shí)，H，此時(shí)三鉸共線，稱為幾何瞬變體系。,4-7,2、內(nèi)力計(jì)算公式,若簡(jiǎn)支梁截面D的彎矩用M0表示，剪力用Q0表示，試求拱上相應(yīng)截面D的內(nèi)力。 對(duì)D點(diǎn)取矩，有 M=M0-Hy,式中：y是拱上D截面到AB直線的垂直距離。彎矩M以使拱的內(nèi)側(cè)受拉時(shí)為正。,由上式可知，由于H的存在，拱與簡(jiǎn)支梁受同荷載時(shí)相比較，拱相應(yīng)截

4、面上的彎矩M小于簡(jiǎn)支梁相應(yīng)截面上的彎矩M0。,剪力Q和軸力N的計(jì)算公式,4-8,式中，Q0是相應(yīng)簡(jiǎn)支梁D截面的剪力；是拱上D截面處軸線的切線與水平線所成的銳角，在左半拱，取正號(hào)，在右半拱，取負(fù)號(hào)。,剪力與軸力的符號(hào)規(guī)定：Q同前；N以拉力為正。,3、受力特點(diǎn),(1)在豎向荷載作用下，梁沒(méi)有水平反力，而拱則有水平推力(三鉸拱的基礎(chǔ)比簡(jiǎn)支梁的基礎(chǔ)要堅(jiān)固) 。 (2)由于水平推力的存在，三鉸拱截面上的彎矩比簡(jiǎn)支梁的彎矩小(使拱更能充分發(fā)揮材料的作用，適用于較大的跨度和較重的荷載) 。 (3)在豎向荷載作用下，梁的截面內(nèi)沒(méi)有軸力，而拱的截面內(nèi)軸力較大，且一般為壓力(利用受壓性能好的材料) 。,4-9,解

5、：(1) 反力計(jì)算,(2) 內(nèi)力計(jì)算,為了繪制內(nèi)力圖，將拱沿跨度方向分成八等分，算出每個(gè)截面的彎矩、剪力和軸力的數(shù)值?，F(xiàn)以x=12m的截面D為例來(lái)說(shuō)明計(jì)算步驟。,4-10, 截面D的幾何參數(shù),根據(jù)拱軸線方程可得：,因此可得出：, 截面D的內(nèi)力,因?yàn)樵诩泻奢d處，Q0有突變，所以要算出左右兩邊的剪力和軸力。,4-11,具體計(jì)算時(shí)，可列出下面表格。,4-12,根據(jù)上頁(yè)表格可繪出此三鉸拱的內(nèi)力圖。,特別注意：拱的內(nèi)力圖全部都是曲線圖。 能否利用拱的反力和內(nèi)力計(jì)算公式求三鉸剛架的反力和內(nèi)力？,4-13,4-14,解：1、支反力計(jì)算(與簡(jiǎn)支梁比擬),2、求截面內(nèi)力,4-15,注意：1、在集中力偶作用的截

6、面上，求其截面兩側(cè)的彎矩。 2、在集中力作用截面上，應(yīng)分別求其截面兩側(cè)的剪力和軸力。,4-16,4-2 三鉸拱的壓力線,如果三鉸拱中某截面D左邊(或右邊)所有外力的合力RD已經(jīng)確定(如右圖a)，那么由此合力便可確定該截面的彎矩、剪力、軸力(如右圖b)如下：,這里rD是由截面形心到合力RD的垂直距離，aD是合力RD與D點(diǎn)拱軸切線間的夾角。,4-17,可以看出，確定截面內(nèi)力的問(wèn)題可歸結(jié)為確定截面一側(cè)所有外力的合力的問(wèn)題(合力的大小、方向和作用線)。,現(xiàn)在以下圖為例說(shuō)明求截面合力的圖解法。,第一步，確定各截面合力的大小和方向。 首先，用數(shù)解法求支座A、B的豎向和水平反力及其合力RA、RB。,4-18

7、,然后，按RA、P1、P2、P3、RB的順序畫(huà)出閉合力多邊形。,最后，以RA和RB的交點(diǎn)O為極點(diǎn)，畫(huà)出射線12和23(由極點(diǎn)到力多邊形頂點(diǎn)的連線叫做射線)，如上頁(yè)圖b所示。,各射線的意義：例如，在拱的AK1段中，任一截面左邊只有一個(gè)外力RA，因此，射線RA表示AK1段中任一截面左邊外力的合力。射線12表示K1K2段中任一截面左邊所有外力RA與P1的合力，同時(shí)也代表該截面右邊所有外力P2、P3、RB的合力?？傊膫€(gè)射線RA、12、23、RB分別表示AK1、K1K2、K2K3、K3B四段中任一截面所受的合力，即截面左邊(或右邊)所有外力的合力。顯然，射線只表示合力的大小和方向，并不表示合力的作用

8、線。,第二步，確定各截面合力的作用線。,4-19,由圖b已經(jīng)知道四個(gè)合力RA、12、23、RB的方向，如果再分別確定一個(gè)作用點(diǎn)，則每個(gè)合力的作用線就確定了?，F(xiàn)參照a圖說(shuō)明作法如下：,首先，RA應(yīng)通過(guò)支點(diǎn)A，故由A點(diǎn)作射線RA的平行線，即為合力RA的作用線。,4-20,其次，RA與P1的作用線相交于F點(diǎn)，它們的合力12也應(yīng)通過(guò)F點(diǎn)。因此，由F點(diǎn)作射線12的平行線FG，即為合力12的作用線。,再次，12與P2的作用線交于G點(diǎn)，因此，由G點(diǎn)作射線23的平行線GH，即為合力23的作用線。 最后，由23與P3作用線的交點(diǎn)H作射線RB的平行線，即為合力RB的作用線。顯然此線應(yīng)當(dāng)通過(guò)支座B點(diǎn)。這個(gè)性質(zhì)可作為

9、校核條件，用以檢驗(yàn)作圖的精確程度。 以上得出的四個(gè)合力的作用線組成一個(gè)多邊形AFGHB，稱作索多邊形，其中每個(gè)邊稱作索線。四個(gè)索線RA、12、23、RB分別表示AK1、K1K2、K2K3、K3B各段中任一截面左邊(或右邊)所有外力的合力作用線。因此這個(gè)索多邊形又叫做合力多邊形。在拱中，由于截面的軸力一般均為壓力，故又叫做壓力多邊形或壓力線。,4-21,利用壓力線和力多邊形這兩個(gè)圖形，即可確定拱中任一截面一邊外力的合力(大小和方向由力多邊形中的射線確定，合力的作用線由壓力線中的索線確定)。合力確定之后即可求出截面的內(nèi)力。,以上圖的截面D為例，它的合力RD由索線12和射線12共同表示。,4-22,

10、求彎矩MD時(shí)，可先在b圖中量出射線12的長(zhǎng)度得出合力RD的大?。蝗缓笤趫Da中量出截面形心D到索線12的垂直距離rD；最后根據(jù)兩者的乘積RDrD即可得出MD。,求剪力QD和軸力ND時(shí)，可在圖b中將射線12沿平行和垂直于截面D的方向投影，即得出QD和ND 。 在鉸A、B、C處，彎矩為零，相應(yīng)的距離r應(yīng)為零，即壓力線應(yīng)當(dāng)與桿軸在A、B、C處相交。這一性質(zhì)可用于壓力線的校核。 壓力線在磚石和混凝土設(shè)計(jì)中非常重要。由于這些材料的抗拉強(qiáng)度低，通常要求各個(gè)截面均不能出現(xiàn)拉應(yīng)力。因此，壓力線不應(yīng)超出截面的核心。,4-23,4-3 三鉸拱的合理拱軸線,拱的合理軸線：在固定荷載作用下，使拱處于無(wú)彎矩狀態(tài)的軸線稱為拱的合理拱軸線。 在豎向荷載作用下，三鉸拱合理拱軸線的方程可由下列公式推出：,因?yàn)?M=M0-Hy 由定義M=0，可得M0=Hy。 所以此時(shí)三鉸拱的合理拱軸線方程為：,y=M0/H,即：在豎向荷載的作用下，三鉸拱的合理軸線的縱坐標(biāo)與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁彎矩圖的縱坐標(biāo)成正比。,4-24,書(shū)中例4-2、4-3、4-4三個(gè)題目自學(xué)。,必須記住以下三個(gè)結(jié)論： 1、三鉸拱在沿水平線均勻分布的豎向荷載作用下，其合理拱軸