1、寧波職業(yè)技術學院數學教研室,電工向量的計算1,vector calculus,知識目標 1、理解電學中向量的表示； 2、掌握電學中向量的表示方法; 3、理解向量的概念 4、掌握向量的運算方法及坐標表示。,能力目標 1、會用向量計算電學中的總電流，總電壓等量； 2、會畫向量圖，并用會坐標表示。,引例1 【總電流的計算】 根據電路圖，已知,單位為A，求總電流i,i1,i2,i,如果用三角函數求和比較麻煩，在電工學中， 通常用向量來表示正弦量并進行計算。,定義1 既有大小又有方向的量，如力、位移、速度、 加速度等.這類量稱為向量，或稱為矢量.,一、向量的概念,向量的表示方法有：黑斜體小寫字母表示如：

2、a, b ,i,、,向量 a 的大小稱為該向量的模，記作 | a |;,模為1的向量稱為單位向量，模為零的向量稱為零向量. 零向量的方向是任意的,一、向量的概念,、,如果兩個向量大小相等，方向相同，則稱兩向量相等， 記為a=b, （即經過平移后能完全重合的向量）.,向量平行：兩個非零向量a,b,如果它們的方向相同或 相反，稱向量a平行于向量b，記為a/b .,負向量：與向量a大小相等但方向相反的向量稱為a 的負向量。,定義,在電學中，大小和方向都隨時間變化的電流叫做交流電流，簡稱交流電流。,初 相 位,正弦交流電的向量表示,在電路基礎中，向量的模等于正弦量的有效值時， 叫做有效值向量，用 等表

3、示。,案例2,已知正弦交流電的電流表示,寫出正弦量向量,并分別用有效值向量和最大值向量表示，并作出 向量圖。,這就是向量加法的平行四邊形法則.,以 a 、b 為邊的平行四邊形的對角線所表示的向量,則由 a 的起點到 b 的終點的向量.,設有兩個非零向量 a 、b ，,稱為兩向量 a 與 b 的和向量，,記為 a + b，,若以向量 a 的終點作為向量 b 的起點，,這是向量加法的三角形法則.,定義,b,a,a,b,a+b,二、向量的運算,這個法則可以推廣到任意有限個向量相加的情形.,若向量 b 加向量 c 等于向量 a ，,從圖中可以看出:向量的加法滿足交換律和結合律.,即,a + b = b

4、 + a (a + b ) + c = a + (b + c).,根據向量加法的三角形法則，,則稱向量 c 為 a 與 b 之差，,記為 c = a - b .,c = a b,a,b,數與向量的乘積：設 a 是一個非零向量， 是一個非零實數，,則 a 與 的乘積仍是一個向量，,記作 a ，,( 1 ) | a | = | | | a |;,( 2 ) a 的方向,如果 = 0 或 a = 0，,規(guī)定 a = 0.,數乘向量滿足結合律與分配律，即,(a ) = ( ) a ，, ( a + b ) = a + b ，,( + ) a = a + b ，,其中 ， 是數量.,設 a 是非零向量，

5、,由數乘向量的定義可知，,且與 a 同方向，,所以有,向量 的模等于 1 ，,案例3 【總電流的計算】 根據電路圖，已知,單位為A，求總電流i,i1,i2,i,解：,按上述思想，可將電路圖中的電流用向量表示為,案例4【電壓的向量計算】 根據電路圖，已知,單位：V，求總電壓u=u1+u2,解：作向量圖如圖所示.,在OAC中，由余弦定理，得：,由正弦定理，得:,因此，總電壓,三、向量的坐標表示,平面直角坐標系內，與x軸同方向，模為1個單位的 向量叫做x軸上的單位向量，記為：i 與x軸同方向，模為1個單位的向量叫做x軸上的單 位向量，記為：j,=xi+yj=x,y,在空間直角坐標系中，與x 軸、y

6、軸、z 軸的正向同向 的單位向量分別記為 i、 j、k，稱為基本單位向量。,設a ，是以M1=(x1,y1,z1)為起點, M2=(x2,y2,z2)為 終點的向量,=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k,a=axi+ayj+azk=ax,ay,az,三、向量的坐標表示,=x2-x1,y2-y1,z2-z1,a 的起點放在坐標原點，那么它的終點坐標 A的坐標就是(ax , ay , az).,由兩點間距離公式可知,x,P,Q,y,R,z,A,O,a,b,向量的模,這三個角的余弦 cos 、cos 、cos 稱為向量a 的方向余弦.,非零向量 a 與三坐標軸正向的夾角 、 、 (

7、其中0 , 0 , 0 )，稱為向量 a 的方向角;,定義：,例 6,已知 M1 ( 1 , -2 , 3 )、M2 ( 4 , 2 , -1 )，,求 的模及方向余弦以及和向量 方向一致的單位向量.,解,由條件可得,求其合力F 的大小及方向角.,例 7,已知作用于一質點的三個力為,F1 = i2k ，,F2 = 2i 3j + 4k ，,F3 = j + k ，,解,因為 F = F1 + F2 + F3,所以，可得,合力的三個方向角為,查表可得,因此，合力大小的近似值為 4.7 個單位，,在RLC電路中，阻抗角 是電流電壓U與電路電流I的相位差， 稱為功率因數，用電容器并聯補償的方法提高功率因數，試用向量圖說明功率因數是如何提高的。,案例8：（RLC電路功率因數提高原理）,在RLC電路中，并聯電容器后，電壓U不變，但總電流I發(fā)生了改