1、1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第7講,本講義可在網(wǎng)址 或 ftp:/ 下載,2,例4 某人進(jìn)行射擊, 設(shè)每次射擊的命中率為0.02, 獨(dú)立射擊400次, 試求至少擊中兩次的概率.解 將一次射擊看成是一次試驗(yàn). 設(shè)擊中的次數(shù)為X, 則Xb(400, 0.02). X的分布律為,于是所求概率為 PX2=1-PX=0-PX=1 =1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399 =0.9972,3,注: 有時(shí)利用對(duì)立事件求概率比直接求更簡(jiǎn)便.,4,例5 設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備, 各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的, 發(fā)生故障的概率都是0.01, 且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理. 考慮兩種配備工人的方法, 其一是由

2、4人維護(hù), 每人負(fù)責(zé)20臺(tái); 其二是3人共同維護(hù)80臺(tái). 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.,5,解 按第一種方法. 以X記第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù), 以Ai(i=1,2,3,4)表示第i人維護(hù)20臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修, 則知80臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為P(A1A2A3A4)P(A1)=PX2.而Xb(20,0.01), 故有,6,P(A1A2A3A4)0.0169按第二種辦法. 以Y記80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù). 此時(shí), Yb(80,0.01), 故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為,結(jié)果表明, 在后一種情況盡管任務(wù)重了(每人平均

3、維護(hù)約27臺(tái)), 但工作效率不僅沒(méi)有降低, 反而提高了.,7,5. 幾何分布在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件A發(fā)生的概率為p, 設(shè)X為直到A發(fā)生為止所進(jìn)行的次數(shù), 顯然X的可能取值是全體自然數(shù), 且由伯努利定理知其分布為PX=k=(1-p)k-1p, 0p1, k1 (2.3)定義6 若一隨機(jī)變量X的概率分布由(2.3)給出, 則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布.,8,PX=k=(1-p)k-1p, 0p1, k1 (2.3)定義6 若一隨機(jī)變量X的概率分布由(2.3)給出, 則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布.令q=1-p易見(jiàn),9,幾何分布具有下列無(wú)記憶性:PXm+n|Xm=PXn,m,nN (2.4)事實(shí)上,

4、 因?yàn)?而,同理, PXm+n=qm+n, PXn=qn 代入即證得(2.4)式.,10,PXm+n|Xm=PXn,m,nN (2.4)注: 所謂無(wú)記憶性, 意指幾何分布對(duì)過(guò)去的m次失敗的信息在后面的計(jì)算中被遺忘了.進(jìn)一步還可以證明: 一個(gè)取自然數(shù)值的隨機(jī)變量, 如果具有(2.4)式表達(dá)的無(wú)記憶性, 則X一定服從幾何分布, 故無(wú)記憶是幾何分布的一個(gè)特性.,11,例6 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊, 直到命中為止, 已知他每發(fā)命中的概率是p, 求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率分布.,12,13,6. 超幾何分布引例 一個(gè)袋子中裝有N個(gè)球, 其中N1個(gè)白球, N2個(gè)黑球(N=N1+N2), 從中不放回地抽取n(1

5、nN)個(gè)球, 設(shè)X表示取到白球的數(shù)目, 則根據(jù)古典概型易算得X的分布,這里規(guī)定, 當(dāng)ab時(shí),14,定義7 若一隨機(jī)變量X的概率分布由(2.5)給出, 則稱X服從超幾何分布.,15,16,在實(shí)際應(yīng)用中, 如果是放回抽樣, 則服從二項(xiàng)分布. 而不放回抽樣服從超幾何分布. 但是當(dāng)N, N1和N2都很大的時(shí)候, 超幾何分布近似服從二項(xiàng)分布.,17,7. 泊松分布定義8 若一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布為,則稱X服從參數(shù)為l的泊松分布, 記為XP(l)(或Xp(l).,18,易見(jiàn), (1) PX=k0, k=0,1,2,(2),泊松分布的概率值可查附表.,19,l=12,泊松分布的圖形,20,注: 歷史上,

6、泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似, 于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的. 泊松分布是概率論中最重要的分布之一. 實(shí)際問(wèn)題中許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從泊松分布. 泊松分布概率值可查附表.,21,泊松分布產(chǎn)生的一般條件:在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中, 常遇到在隨機(jī)時(shí)刻出現(xiàn)的某種事件. 把在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列稱為隨機(jī)事件流. 若隨機(jī)事件流具有平穩(wěn)性, 無(wú)后效性, 普通性, 則稱該事件為泊松事件流(泊松流).,22,這里, 平穩(wěn)性在任意時(shí)間區(qū)間內(nèi), 事件發(fā)生k次(k0)的概率只依賴于區(qū)間長(zhǎng)度而與區(qū)間端點(diǎn)無(wú)關(guān);無(wú)后效性在不相重疊的時(shí)間段內(nèi), 事件的發(fā)生相互獨(dú)立;普通性如果時(shí)間區(qū)間充分小, 事件出現(xiàn)

7、兩次或兩次以上的概率可以忽略不計(jì).對(duì)泊松流, 在任意時(shí)間間隔(0,t)內(nèi), 事件發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為lt的泊松分布. l稱為泊松流的強(qiáng)度.,23,例如, 下列事件都可視為泊松流:某電話交換臺(tái)一定時(shí)間內(nèi)收到的用戶的呼叫數(shù);到某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù);某售票窗口接待的顧客數(shù);一紡綻在某一時(shí)段內(nèi)發(fā)生斷頭的次數(shù);一段時(shí)間間隔內(nèi)某放射物放射的粒子數(shù);一段時(shí)間間隔內(nèi)某容器內(nèi)的細(xì)菌數(shù), 等等.,24,例7 某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)l=0.8的泊松分布, 求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.解 由概率的性質(zhì)及(2.5)式, 得,25,8. 二項(xiàng)分布的泊松近似給出另一個(gè)近似公式, 如果有兩個(gè)正數(shù)a

8、與b, a特別小, b特別大, ab則適中, 則有近似公式(1-a)be-ab這是因?yàn)?26,假設(shè)Xb(n,p), 而n特別大, p特別小, np適中, 則由前面的近似公式,在實(shí)際計(jì)算中, n100, np10時(shí)近似效果就很好.,27,定理1(泊松定理) 在n重伯努利試驗(yàn)中, 事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn(注意這與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)), 如果n時(shí), npnl(l0為常數(shù)). 則對(duì)于任意給定的k, 有,28,把每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件, 此類事件如: 地震, 火山爆發(fā), 特大洪水, 意外事故等等. 則由泊松定理知, n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.,29,

9、例8 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品300件. 根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為0.01. 問(wèn)現(xiàn)在這300件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)廢品數(shù)大于5的概率是多少?解 把每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)看作一次伯努利試驗(yàn), 它有兩個(gè)結(jié)果:,檢驗(yàn)產(chǎn)品300件就是作300次獨(dú)立的伯努利試驗(yàn). 用X表示檢驗(yàn)出的廢品數(shù), 則Xb(300,0.01), 我們要計(jì)算PX5.,30,Xb(300,0.01), 我們要計(jì)算PX5.對(duì)n=300, p=0.01, 有l(wèi)=np=3應(yīng)用(2.7)式得,查附表1, 知 PX51-0.916082=0.083918,31,例9 一家商店采用科學(xué)管理, 由該商店過(guò)去的銷售記錄知道, 某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)l=5的泊松分

10、布來(lái)描述, 為了以95%以上的把握保證不脫銷, 問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件?,32,解 設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X, 已知X服從參數(shù)l=5的泊松分布. 設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件, 求滿足PXm0.95的最小的m. 即,查泊松分布表得,于是得m=9件.,33,例10 自1875年至1955年中的某63年間, 上海市夏季(5-9月)共發(fā)生大暴雨180次, 試建立上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型.解 每年夏季共有n=153(=31+30+31+31+31+30)天, 每次暴雨發(fā)生以1天計(jì)算, 則夏季每天發(fā)生暴雨的概率p=180/(63153).將暴雨發(fā)生看做稀有事件, 利用泊松分布來(lái)建

11、立上海市一個(gè)夏季暴雨發(fā)生k(k=0,1,2,)次的概率分布模型.,34,夏季每天發(fā)生暴雨的概率p=180/(63153).設(shè)X表示夏季發(fā)生暴雨的次數(shù), 由于,故得上海市暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型為,35,由上述X的概率分布計(jì)算63年中上海市夏季發(fā)生k次暴雨的理論年數(shù)63PX=k, 并將它與資料記載的實(shí)際年數(shù)作對(duì)照, 這些值及PX=k的值均列入下表:,36,由上表可見(jiàn), 按建立的概率分布模型計(jì)算的理論年數(shù)與實(shí)際年數(shù)總的來(lái)看符合得較好, 這表明所建立的模型是能夠近似描述上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布.,37,課堂練習(xí)1. 某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2, 求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最