1、,第二節(jié) 二重積分的計算,一 直角坐標(biāo)系中的計算方法,二 極坐標(biāo)系中的計算方法,一 直角坐標(biāo)系中的計算方法,計算二重積分的基本思想：化為兩次定積分,分別用平行于x軸和y軸的直線對區(qū)域進行分割，如圖。,x,y,可見，除邊緣外，其余均為矩形，其面積為,可以證明：,其中dxdy稱為面積元素。,利用二重積分的幾何意義化二重積分為二次積分,（1）當(dāng)積分區(qū)域為,以下均設(shè)函數(shù) 且在D上連續(xù)。,如圖所示：,相應(yīng)的曲頂柱體如右圖。,在區(qū)間a，b內(nèi)任取一點x，過此點作與yoz面平行的平面，它與曲頂柱體相交得到一個一個曲邊梯形：,底為,高為,其面積為,所以根據(jù)平行截面面積為已知的立體的立體公式，得,于是，得二重積分

2、的計算公式：,類似地，若積分區(qū)域為,如右圖所示，,則二重積分的計算,公式為,總結(jié)：二重積分的計算就是轉(zhuǎn)化為二次定積 分，顯然，確定積分次序和積分上、下限是關(guān) 鍵。這主要由積分區(qū)域D所確定。所謂,先積線，后積點,以第一種情況為例加以說明：,如圖：,x,區(qū)間a,b是x的取值范圍。,在此區(qū)間內(nèi)任取一點x，過該點自下而上作一條平行于y軸的射線，,后穿過的邊界 是y的積分上限。,第二種情形可同理討論。,對于其他情形，都可化為這兩種情況加以轉(zhuǎn)化。,如下圖：,不妨用兩種情形分別進行計算，加以比較。,法一 先y后x。,1,將積分區(qū)域投影到x軸上，得到x的范圍0，1.,x,所以,法二,將積分區(qū)域投影到y(tǒng)軸上，得

3、到y(tǒng)的范圍0，1.,1,y,于是,所以,小結(jié)：在二重積分的計算中，有時積分次 序的選擇顯得相當(dāng)重要，因而具體計算時，應(yīng)注 意觀察積分區(qū)域的特征和被積函數(shù)的特點，選擇 恰當(dāng)?shù)姆e分次序，以便使計算盡可能簡單。,解：解方程組,得這條直線和拋物線的交點為 (8,4),(2,-2)，如右圖。,1）先對y后對x積分：,8,得,所以,-2,4,所以,小結(jié)：顯然1）較2）麻煩。,解：此三條直線的交點分別為(1,1)，(0,1)，(0,0)，所圍區(qū)域如右。,先對x后對y積分：,注意：若先對y后對x積分：,的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示出來，因而此二重積分不能計算出來。,例4 交換下列二重積分的積分次序：,解：這是先

4、對y后對x的積分，積分區(qū)域為,故改變積分次序后得,二、極坐標(biāo)系中的計算方法,1 直角坐標(biāo)系中的二重積分化為極坐標(biāo)系中的二重積分,如圖所示的極坐標(biāo)系中 的積分區(qū)域D，,過極點O引 射線和以極點為圓心的同心 圓，,它們將區(qū)域D分成許多,在圓周 上任取一點 ，,其中,設(shè)其直角坐標(biāo)為 ，,它們的關(guān)系為,所以,因此,此公式可將直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系 下的二重積分，,其中 為極坐標(biāo)系中的面積元素。,2 化為二次積分,一般均是先對r積分再對積分，因而主要是 確定r、 的積分上下限，分情況討論：,（1）極點在區(qū)域D外，如圖：,則,（2）極點在區(qū)域D的邊界上，如圖。,則,（1）極點在區(qū)域D內(nèi)，如圖：,則,解：積分區(qū)域是如圖所示的環(huán)域，用極坐標(biāo)計算方便。,因而,例6 計算 ，其中,解：積分區(qū)域是如圖所示的圓域。,則,一般地，當(dāng)積分區(qū)域為圓域、