1、詳解示例：平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念一.兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直。二.平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意:數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）ABC中，則_（答：9）；（2）已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；（3）已知，則等于_（答：）；（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_（答：）三.向量在向量上的投影:為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_（答：）四.的幾何意義：數(shù)量積等于的

2、模與在上的投影的積。五.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：(1)；(2)當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，為銳角可以推出,但不一定可以推出為銳角；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，為鈍角可以推出,但不一定可以推出為鈍角; (3)非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。如已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_（答：）；已知與之間有關(guān)系式，用表示；求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大小（答：；最小值為，）六.兩個(gè)向量的數(shù)量積與兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積有什么區(qū)別？(1)在實(shí)數(shù)中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出.(2)已知實(shí)數(shù)，且，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有.(3)在實(shí)數(shù)中有，但是在向量的數(shù)量積中，這是因?yàn)樽筮吺桥c共線的向量，而右邊是與共線的向量.七.向量平行(共線)的充要條件：0。如(1)若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，且，則x_（答：4）；（3）設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線（答：2或11）.八、向量垂直的充要條件： .特別地。如(1)已知，若，則 （答：）；（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B