1、線段的垂直平分線(1),望埠中學 張承凱,我們曾經(jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分 線上的點到這條線段兩個端點距離相等.你能證明 這一結(jié)論嗎? 定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個 端點的距離相等,已知:如圖,直線MNAB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一點. 求證:PA=PB.,分析：要想證明PA=PB,可以考慮去證明這條線段所在的三角形是否全等.也就是想辦法證明APCBPC.而APCBPC的條件由已知AC=BC,且MNAB,可推知其能滿足三角形全等公理（SAS).故結(jié)論可證. 你能寫出它的證明過程嗎？,證明：MNAB PCA=PCB=90 AC=BC,PC=PC APCBPC(

2、SAS) PA=PB(全等三角形的對應邊相等),如果點P與點C重合，那么結(jié)論顯然成立.,幾何語言描述,老師提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條 線段相等的根據(jù)之一.,A,C,B,P,M,N,如圖, AC=BC,MNAB,P是MN上任意一點(已知), PA=PB(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等).,深入思考：你能寫出“定理 線段垂直平分線上的點到這條 線段兩個端點距離相等”的逆 命題嗎?,逆命題 到一條線段兩個端點距離相等的點, 在這條線段的垂直平分線上.,它是真命題嗎?如果是,請你證明它.,已知:如圖,PA=PB. 求證:點P在AB的垂直平分線上.,分析:要想證明點P在線段AB的垂

3、直平分線上,可以先作出過點P的AB的垂線(或是AB的中點,),然后證明另一個結(jié)論正確. 試一試：你能自己寫出這兩個證明過程嗎？,方法一： 過點P作PCAB,垂足為C PCAB APC和BPC都是Rt PC=PC,PA=PB RtAPCRtBPC(HL) AC=BC(全等三角形的對應邊相等) P在AB的垂直平分線上,A,C,B,P,方法二： 把線段AB的中點記為C,連接PC C為AB的中點 AC=BC PA=PB,PC=PC APCBPC(SSS) PCA=PCB=90 PCAB 即P在AB的垂直平分線上,A,C,B,P,.,逆定理 到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.,幾

4、何語言描述： 如圖, PA=PB(已知), 點P在AB的垂直平分線上(到一條線段 兩個端點距離相等的點,在這條線段的 垂直平分線上).,老師提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一.,A,B,P,練一練,已知：如圖，在 ABC 中，AB = AC，O 是ABC 內(nèi)一點，且 OB = OC. 求證：直線 AO 垂直平分線段BC 證明： AB = AC， 點 A 在線段 BC 的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）. 同理，點 O 在線段 BC 的垂直平分線上. 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線（兩點確定一條直線）.,你還有其他

5、證明方法嗎？,加強練習： 1，如圖,已知AB是線段CD的 垂直平分線,E是AB上的一 點,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果ECD=600,那 么EDC= 0.,老師期望:你能說出填空結(jié)果的根據(jù).,7,60,2.如圖,在ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,BCE的周長等于50,求BC的長.,分析提示：這是一道計算題，題目中出現(xiàn)了線段垂直平分線，你首先應該想到我們剛剛學習的有關線段垂直平分線的性質(zhì)，得出相關的結(jié)論，再結(jié)合已知的三角形的周長，將兩個條件有機結(jié)合，進行轉(zhuǎn)化，得出最后的結(jié)果. 試一試：你能獨立完成這道題目嗎？,解：DE為AB的垂直平分線 AE=B

6、E BCE的周長等于50 BE+EC+BC=50 即：AE+EC+BC=50 AC+BC=50 AC=27 BC=23 比一比：你的寫作過程完整嗎？,3.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上 一點.,求證：PB=PC,解：AB=AC A在線段BC的垂直平分線上 BD=CD D在線段BC的垂直平分線上 AD是線段BC的垂直平分線 P是AD上一點 PB=PC,3.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上 一點.,求證：PB=PC,深入探索：你還有其他的證明方法嗎？,拓廣探索：已知：如圖，點P是線段AB垂直平分線MN上的一點，MN交AB于O，OB=4cm，APB+3ABP=210，求點B到AP的距離.,M,A,B,P,N,0,今天你收獲了什么？,1、線段垂直平分