1、15.4因式分解（2）完全平方公式 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點(diǎn) 1完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用 2完全平方公式的幾何解釋 （二）能力訓(xùn)練要求 1經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展符號感和推理能力 2重視學(xué)生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的思維條理性和表達(dá)能力 （三）情感與價值觀要求 在靈活應(yīng)用公式的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神 教學(xué)重點(diǎn) 完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋，靈活應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn) 理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進(jìn)行計算 教學(xué)方法 自主探索法 有了平方差公式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生可以在教師引導(dǎo)下自主探索完全平方公式，最后達(dá)到靈活、準(zhǔn)確應(yīng)用公式的

2、目的 教具準(zhǔn)備 投影片 教學(xué)過程提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 師請同學(xué)們探究下列問題： （出示投影片） 一位老人非常喜歡孩子每當(dāng)有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊塘， （1）第一天有a個男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （2）第二天有b個女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （3）第三天這（a+b）個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （4）這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？ 生（1）第一天老人一共給了這些孩子a2糖 （2）第二天老人一共給了這些孩

3、子b2糖 （3）第三天老人一共給了這些孩子（a+b）2糖 （4）孩子們第三天得到的糖塊總數(shù)與前兩天他們得到的糖塊總數(shù)比較，應(yīng)用減法即： （a+b）2（a2+b2） 我們上一節(jié)學(xué)了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，現(xiàn)在遇到了兩個數(shù)的和的平方，這倒是個新問題 師老師很欣賞你的觀察力，這正是我們這節(jié)課要研究的問題導(dǎo)入新課 師能不能將（a+b）2轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的知識去解決呢？ 生可以我們知道a2=aa，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），這樣就轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積了 師像研究平方差公式一樣，我們探究一下（a+b）2的運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律 （出示投影片） 計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)

4、律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_； （2）（m+2）2=_； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_； （4）（m-2）2=_； （5）（a+b）2=_； （6）（a-b）2=_ 生甲（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1 （2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m2+22=m2+4m+4 （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p（-1）+（-1）p+（-1）（-1）=p2-2p+1 （4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m（-2）+（-2）m+（-2）（-2）=m2-4m+4 （5）（a+b）2=（

5、a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 生乙我還發(fā)現(xiàn)（1）結(jié)果中的2p=2p1，（2）結(jié)果中4m=2m2，（3）、（4）與（1）、（2）比較只有一次項(xiàng)有符號之差，（5）、（6）更具有一般性，我認(rèn)為它可以做公式用 師大家分析得很好可以用語言敘述嗎？ 生兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和再加（或減）它們的積的2倍 生它是一個完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？ 師很有道理它和平方差公式一樣，使整式運(yùn)算簡便易行于是我們得到完全平方公式： 文字?jǐn)⑹觯簝蓴?shù)和（或差）的平方，等于它們的平方

6、和，加（或減）它們的積的2倍 符號敘述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2 其實(shí)我們還可以從幾何角度去解釋完全平方差公式 （出示投影片）你能根據(jù)圖（1）和圖（2）中的面積說明完全平方公式嗎？ 生甲先看圖（1），可以看出大正方形的邊長是a+b 生乙還可以看出大正方形是由兩個小正方形和兩個矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和 生丙陰影部分的正方形邊長是a，所以它的面積是a2；另一個小正方形的邊長是b，所以它的面積是b2；另外兩個矩形的長都是a，寬都是b，所以每個矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是a+b，其面積是（a+b）2于是就可以得出：（a+b）

7、2=a2+ab+b2這正好符合完全平方公式 生丁那么，我們可以用完全相同的方法來研究圖（2）的幾何意義了 如圖（2）中，大正方形的邊長是a，它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a，寬都是b，所以它們的面積都是ab；正方形HCGM的邊長是b，其面積就是b2；正方形AFME的邊長是（a-b），所以它的面積是（a-b）2從圖中可以看出正方形AEMF的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2這也正好符合完全平方公式 師數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，于是我們可以進(jìn)一步理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征

8、現(xiàn)在，大家可以輕松解開課時提出的老人用糖招待孩子的問題了 （a+b）2-（a2+b2） =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab于是得孩子們第三天得到的糖果總數(shù)比前兩天他們得到的糖果總數(shù)多2ab塊 應(yīng)用舉例： 出示投影片： 例1應(yīng)用完全平方公式計算： （1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 例2運(yùn)用完全平方公式計算： （1）1022 （2）992 分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇公式；第二步準(zhǔn)確代入公式；第三步化簡 例1解： （1）（4m+n）2=（4m）2+24mn+n2 （a+b）2=a2+2ab+b2 =16m2+8mn+n2 （2）方法

9、一： （y-）2=y2-2y+（）2 （a-b）2=a2-2ab+b2 =y2-y+ 方法二：（y-）2 =y+（-）2=y2+2y（-）+（-）2 （a+b）2=a2+2ab+b2 =y2-y+ （3）（-a-b）2=（-a）2-2（-a）b+b2=a2+2ab+b2 （4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 從（3）、（4）的計算可以發(fā)現(xiàn)： （a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2 例2解：（1）1022=（100+2）2 =1002+21002+22 =10000+400+4 =10404 （2）992=（100-1）2 =1002-21001+12 =

10、10000-200+1 =9801 師請同學(xué)們總結(jié)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征 生公式的左邊是一個二項(xiàng)式的完全平方；右邊是三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方而另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍 師說得很好，我們還要正確理解公式中字母的廣泛含義：它可以是數(shù)字、字母或其他代數(shù)式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運(yùn)用這一公式隨堂練習(xí) 課本練習(xí)1、2課堂小結(jié)（略）課后作業(yè) 課本習(xí)題1542、4、7題三級訓(xùn)練 板書設(shè)計 15421 完全平方公式（一） 一、1提出問題：（a+b）2-a2+b2=？ 2探究公式：（ab）2=a22ab+b2 3完全平方公式的幾何意義： 二、應(yīng)用舉例：利用完全平方公式計算：

11、例1（1）（4m+n）2 （2）（y-）2 例2（1）1022 （2）992 三、鞏固練習(xí) 四、小結(jié) 完全平方公式（二） 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點(diǎn) 1添括號法則 2利用添括號法則靈活應(yīng)用完全平方公式 （二）能力訓(xùn)練目標(biāo) 1利用去括號法則得到添括號法則，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力 2進(jìn)一步熟悉乘法公式，體會公式中字母的含義 （三）情感與價值觀要求 鼓勵學(xué)生算法多樣化，培養(yǎng)學(xué)生多方位思考問題的習(xí)慣，提高學(xué)生的合作交流意識和創(chuàng)新精神 教學(xué)重點(diǎn) 理解添括號法則，進(jìn)一步熟悉乘法公式的合理利用 教學(xué)難點(diǎn) 在多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法中適當(dāng)添括號達(dá)到應(yīng)用公式的目的 教學(xué)方法 引導(dǎo)探究相結(jié)合 教師由去括號法則引入添括

12、號法則，并引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)添括號變形，從而達(dá)到熟悉乘法公式應(yīng)用的目的 教具準(zhǔn)備 投影片（或多媒體課件） 教學(xué)過程提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 師請同學(xué)們完成下列運(yùn)算并回憶去括號法則 （1）4+（5+2） （2）4-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c） 生解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11 （2）4-（5+2）=4-5-2=-3 或：4-（5+2）=4-7=-3 （3）a+（b+c）=a+b+c （4）a-（b-c）=a-b+c 去括號法則： 去括號時，如果括號前是正號，去掉括號后，括號里的每一項(xiàng)都不改變符合；如果括號前是負(fù)號，去掉括號后，括號里的各項(xiàng)都改變符合 也就是說，遇“加”不

13、變，遇“減”都變 師4+5+2與4+（5+2）的值相等；4-5-2與4-（5+2）的值相等所以可以寫出下列兩個等式： （1）4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2） 左邊沒括號，右邊有括號，也就是添了括號，同學(xué)們可不可以總結(jié)出添括號法則來呢？ （學(xué)生分組討論，最后總結(jié)） 生添括號其實(shí)就是把去括號反過來，所以添括號法則是： 添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號 也是：遇“加”不變，遇“減”都變 師能舉例說明嗎？ 生例如a+b-c，要對+b-c項(xiàng)添括號，可以讓a先休息，括號前添加號，括號里的每項(xiàng)都不改變符號，也

14、就是+（+b-c），括號里的第一項(xiàng)若系數(shù)為正數(shù)可省略正號即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括號前添減號，括號里的每一項(xiàng)都改變符號，+b改為-b，-c改為+c也就是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）添加括號后，無論括號前是正還是負(fù)，都不改變代數(shù)式的值 師你說得很有條理，也很準(zhǔn)確 請同學(xué)們利用添括號法則完成下列練習(xí)： （出示投影片） 1在等號右邊的括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)： （1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ） 2判斷下列運(yùn)算是否正確 （1）2a-b-=2a-（b-） （2）m-3n+2

15、a-b=m+（3n+2a-b） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5） （學(xué)生嘗試或獨(dú)立完成，然后與同伴交流解題心得教師遁視學(xué)生完成情況，及時發(fā)現(xiàn)問題，并幫助個別有困難的同學(xué)） 總結(jié)：添括號法則是去括號法則反過來得到的，無論是添括號，還是去括號，運(yùn)算前后代數(shù)式的值都保持不變，所以我們可以用去括號法則驗(yàn)證所添括號后的代數(shù)式是否正確 導(dǎo)入新課 師有些整式相乘需要先作適當(dāng)?shù)淖冃?，然后再用公式，這就需要同學(xué)們理解乘法公式的結(jié)構(gòu)特征和真正內(nèi)涵請同學(xué)們分組討論，完成下列計算 （出示投影片） 例：運(yùn)用乘法公式計算 （1）（x+2y-3）（x-2y+3

16、） （2）（a+b+c）2 （3）（x+3）2-x2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3） （讓學(xué)生充分討論，鼓勵學(xué)生用多種方法運(yùn)算，從而達(dá)到靈活應(yīng)用公式的目的） 分析：（1）是每個因式都是三項(xiàng)和的整式乘法，我們可以用添括號法則將每個因式變?yōu)閮身?xiàng)的和，再觀察到2y-3與-2y+3是相反數(shù)，所以應(yīng)在2y-3和-2y+3項(xiàng)添括號，以便利用乘法公式，達(dá)到簡化運(yùn)算的目的 （2）是一個完全平方的形式，只須將a+b+c中任意兩項(xiàng)結(jié)合添加括號變?yōu)閮身?xiàng)和，便可應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算 （3）是完全平方公式計算，也可以逆用平方差公式計算 （4）完全平方公式計算與多項(xiàng)式乘法計算，但要注意運(yùn)算順序，減號后面的積算出來一定先放在括號里，然后再用去括號法則進(jìn)行計算，這樣就可以避免符號上出現(xiàn)錯誤隨堂練習(xí)課時小結(jié) 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有何收獲和體會？ 生我們學(xué)會了去括號法則和添括號法則，利用添括號法則可以將整式變形，從而靈活利用乘法公式進(jìn)行計算 生我體會到了轉(zhuǎn)化思想的重要作用，學(xué)數(shù)學(xué)其實(shí)是不斷地利用轉(zhuǎn)化得到新知識，比如由繁到簡的轉(zhuǎn)化，由難到易的轉(zhuǎn)化，由已知解決未知的轉(zhuǎn)化等等 師同學(xué)們總結(jié)得很好在今后的學(xué)習(xí)中