1、第一講,Mathematica數(shù)學(xué)軟件簡(jiǎn)介,Mathematica是美國(guó)workfran Rearch 公司開(kāi)發(fā)的數(shù)學(xué)軟件，它可用于解決各領(lǐng)域所涉及的復(fù)雜的符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算的問(wèn)題。 Mathematica是一個(gè)做數(shù)學(xué)的軟件系統(tǒng)：它能完成計(jì)算器上能做的任何工作，能做中小學(xué)數(shù)學(xué)的計(jì)算題目，能做高等數(shù)學(xué)中的大部分題目，能根據(jù)所給數(shù)據(jù)或曲線，用一條命令就能給出函數(shù)的圖形。,我們所開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這門課程就是借助數(shù)學(xué)軟件，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一門實(shí)踐課，以計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用為平臺(tái)，模擬實(shí)驗(yàn)環(huán)境，結(jié)合數(shù)學(xué)模型進(jìn)行教學(xué)的新型授課方式。 學(xué)生通過(guò)特定的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，借助于數(shù)學(xué)軟件可以直觀的了解非常抽

2、象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，繪制重要的多元函數(shù)圖像，描述函數(shù)泰勒公式近似，數(shù)列極限的性態(tài)，可完成求函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)，定積分等數(shù)值計(jì)算，也可用于求解方程近似解，導(dǎo)彈跟蹤問(wèn)題等。,假設(shè)在Windows環(huán)境下已安Mathematica5.0，啟動(dòng)Windows后，在“開(kāi)始”菜單的“程序”中單擊，就啟動(dòng)了Mathematica5.0，在屏幕上顯示如下圖的Notebook窗口，系統(tǒng)暫時(shí)取名Untitled-1，直到用戶保存時(shí)重新命名為止。,例如輸入1+1，然后按下Shif+Enter鍵，這時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始計(jì)算并輸出計(jì)算結(jié)果，并給輸入和輸出附上次序標(biāo)識(shí)In1和Out1，注意In1是計(jì)算后才出現(xiàn)的；再輸入第二個(gè)表達(dá)式，要求系統(tǒng)將一

3、個(gè)二項(xiàng)式x5 + y5展開(kāi)，按Shift+Enter輸出計(jì)算結(jié)果后，系統(tǒng)分別將其標(biāo)識(shí)為In2和Out2 。,在Mathematica的Notebook界面下，可以用這種交互方式完成各種運(yùn)算，如函數(shù)作圖，求極限、解方程等，也可以用它編寫像C那樣的結(jié)構(gòu)化程序。 在Mathematica系統(tǒng)中定義了許多功能強(qiáng)大的函數(shù)，我們稱之為內(nèi)建函數(shù)(built-in function), 直接調(diào)用這些函數(shù)可以取到事半功倍的效果。 這些函數(shù)分為兩類，一類是數(shù)學(xué)意義上的函數(shù)，如：絕對(duì)值函數(shù)Absx，正弦函數(shù)Sinx，余弦函數(shù)Cosx，以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)Logx，以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù)Loga,x等；第二類是命令意義上的

4、函數(shù)，如作函數(shù)圖形的函數(shù)Plotfx,x,xmin,xmax，解方程函數(shù)Solveeqn,x，求導(dǎo)函數(shù)Dfx,x等。,必須注意的是: Mathematica 嚴(yán)格區(qū)分大小寫，一般地，內(nèi)建函數(shù)的首寫字母必須大寫，有時(shí)一個(gè)函數(shù)名是由幾個(gè)單詞構(gòu)成，則每個(gè)單詞的首寫字母也必須大寫，如：求局部極小值函數(shù)FindMinimumfx,x,x0等。 第二點(diǎn)要注意的是，在Mathematica中，函數(shù)名和自變量之間的分隔符是用方括號(hào)“ ”，而不是一般數(shù)學(xué)書上用的圓括號(hào)“( )”，初學(xué)者很容易犯這類錯(cuò)誤。,第二講,用Mathematica軟件繪制空間圖形,多元函數(shù)的微積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，與這部分教學(xué)密切

5、相關(guān)的是由函數(shù)、方程確定的空間圖形.。有些圖形難以直觀感知，特征不易觀察，利用Mathematica 數(shù)學(xué)軟件可很方便地繪制各種空間圖形。 Mathematica 軟件中繪制空間曲面的基本函數(shù)為Plot3D , 其基本格式為: Plot3D f , x , xmin ，xmax , y , ymin , ymax . 此外還可采用參數(shù)方程繪圖函數(shù) ParametricPlot3D x ( u , v) , y ( u , v) , z( u , v) , u , umin , umax , v , vmin , vmax . 在包含圓柱面、球面和圓錐面問(wèn)題中,使用柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系更方便.

6、 基本格式如下: CylindricalPlot3D f ( r ,) , r , rmin , rmax ,min ,max SphericalPlot3D f (,) , ,min ,max , ,min ,max 旋轉(zhuǎn)曲面指繞定直線旋轉(zhuǎn)一曲線得到的曲面.Mathematica 內(nèi)含大量的旋轉(zhuǎn)曲面函數(shù),不過(guò),在用之前,要先加載SurfaceOfRevolution程序包.使用格式如下: SurfaceOfRevolution f , x , xmin , xmax ,min ,max , 其圖形為繞z 軸旋轉(zhuǎn)曲線f ( x) 構(gòu)成的部分曲面, x 在xmin和xmax之間,在min和max

7、之間.,（1）馬鞍面 Plot3Dx*y,x,-10,10,y,-10,10,（2）橢圓拋物面 m=ParametricPlot3D3*u*Sinv, 9*u*Cosv ,u2,u,0,11,v,0,2*Pi; Showm,（3）拋物面 a=ParametricPlot3Du*Sinv,u*Cosv,u2,u,0,1.5,v,0,2*Pi; Showa,（4）旋轉(zhuǎn)曲面 GraphicsSurfaceOfRevolution SurfaceOfRevolutionx2,x,0,3,（5）球體 和圓柱體 相交 r=4;h=6; ParametricPlot3Dr*Cosu*Sinv, r*Sinu

8、*Sinv,r*Cosv,r/2*Cosu-r/2,r/2*Sinu,v,u,0,2Pi,v,-3/2Pi,3/2Pi,PlotPoints-20,PlotRange-h,h,-h,h,-h,h,ViewPoint-1,2,2,第三講,Mathematica平臺(tái)上多元函數(shù)極值的判定,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的宗旨是以學(xué)生在計(jì)算機(jī)上動(dòng)手、動(dòng)眼、動(dòng)腦為主，在教師的指導(dǎo)下，利用數(shù)學(xué)軟件做實(shí)驗(yàn)，學(xué)習(xí)解決實(shí)際問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法，分析解決經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的實(shí)際問(wèn)題， 提高學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣、意識(shí)和能力，為了達(dá)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的，我們探討在Mathematica平臺(tái)下實(shí)現(xiàn)多元函數(shù)極值判定的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。 通過(guò)實(shí)例說(shuō)明在Mathemat

9、ica平臺(tái)下實(shí)現(xiàn)多元函數(shù)極值的判定的可視化方法。,在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中會(huì)用到用戶自定義的函數(shù)，定義一個(gè)單變量函數(shù)f，以x，y為變量，可以書寫為fx_=，或者fx_：=，等號(hào)左邊的定義告訴Mathematica當(dāng)給定x的值時(shí)，如何計(jì)算f的值。 注意在定義的左邊緊接在x右面的下劃線，這個(gè)符號(hào)相當(dāng)重要，它告訴Mathematica這個(gè)變量為啞元的唯一方法，所謂啞元就是可以用任何（數(shù)值的或符號(hào)的）表達(dá)式替換的變量。 還用到求導(dǎo)函數(shù)Dfx,x，解方程函數(shù)Solveeqn,x。,例求出函數(shù) 的極值。 fx_,y_=x4-4*y*x+y4 pdx=Dfx,y,x pdy=Dfx,y,y Solvepdx=0,pdy

10、=0,x,y pdxx=Dpdx,x pdyy=Dpdy,y pdxy=Dpdx,y dx_,y_=pdxx*pdyy-pdxy2 d0,0 d1,1 f1,1 d-1,-1 f-1,-1 Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2,作業(yè)：,第四講,等量線，梯度線的作圖問(wèn)題,等量線和梯度線有極其廣泛的實(shí)際應(yīng)用，例如在地理學(xué)中繪制地形地貌圖，在氣象學(xué)中繪制氣象圖等等。 二元函數(shù) 表示空間一張曲面，這個(gè)曲面與平面 的交線在xoy上的投影曲線 稱為函數(shù) 的一條等量線，我們可以用Mathematica作出等量線的圖形，即使用命令“ContourPlot”。,（1）.作出 的等量線 fx_,y_:

11、=Ifx=0,1,Sinx/x*Ify=0,1,Siny/y Plot3Dfx,y,x,-3Pi,3Pi,y,-3Pi,3Pi,PlotPoints-40,ViewPoint-2.239,2.204,1.258,PlotRange-All,ContourPlotfx,y,x,-3Pi,3Pi,y,-3Pi,3Pi ContourPlotfx,y,x,-3Pi,3Pi,y,-3Pi,3Pi,PlotPoints-50,ContourShading-False ContourPlotfx,y,x,-3Pi,3Pi,y,-3Pi,3Pi,PlotRange-0.025,0.1,Contours-4,

12、 PlotPoints-50,ContourShading-False,（2）.作出 的等量線 c1=ContourPlotx2+y3-10Sinx,x,-2,2,y,-2,2,ContourShading-True,Contours-8,PlotPoints-60,現(xiàn)在來(lái)討論如何作出 的梯度線L（即曲線L上任一點(diǎn)處的切向量方向?yàn)楹瘮?shù) 的梯度方向），我們以等步長(zhǎng)的折線段來(lái)近似模擬函數(shù)的梯度線。設(shè)步長(zhǎng)為 ，從點(diǎn) 出發(fā)，沿梯度方向前進(jìn) 得到點(diǎn) ，即 , 。 再?gòu)?出發(fā)沿梯度方向前進(jìn) 得點(diǎn) ，依次得到一列點(diǎn)，利用“ListPlot”作出此點(diǎn)集的圖形，即得梯度線的圖形。,（3）作出函數(shù) 的等量線和梯度

13、線 fx_,y_:=x2-y2 fxx_,y_=Dfx,y,x; fyx_,y_=Dfx,y,y; c0=1.0;d0=1.0; lamda=0.01 a=c0;b=d0; Dou=a+lamda*fxa,b/Sqrt(fxa,b)2+(fya,b)2; v=b+lamda*fya,b/Sqrt(fxa,b)2+(fya,b)2; cn=u;dn=v;a=u;b=v,n,500 data=Tablecn,dn,n,500 t1=ListPlotdata,PlotJoined-True,PlotStyle-RGBColor1,0,0,t2=ContourPlotfx,y,x,-6,6,y,-6,

14、6,Contours-20,PlotPoints-50,ContourShading-False Showt1,t2,AspectRatio-Automatic,作業(yè)：,第五講,Fourier級(jí)數(shù)的幾何解釋,Fourier級(jí)數(shù)在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，是 重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。說(shuō)它是重點(diǎn)，是因?yàn)樗谕ㄓ崳娮蛹夹g(shù)中有很大的作用，是后繼課程積分變換中的核心內(nèi)容；說(shuō)它是難點(diǎn)，是因?yàn)樗艹橄?，學(xué)生往往搞不清一個(gè)周期函數(shù)如何可以用一系列三角函數(shù)去逼近它？為了讓抽象的數(shù)學(xué)理念變成看得見(jiàn)的富于直觀形象且能啟迪人們思想的“可視”數(shù)學(xué)，我們用Mathematica數(shù)學(xué)軟件編制了幾段程序，形象的演示了三角級(jí)數(shù)逼近一個(gè)復(fù)雜的

15、周期函數(shù)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。,設(shè)周期為 的周期函數(shù) ，在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 試生成 的Fourier級(jí)數(shù)，并從圖上觀察該級(jí)數(shù)的部分和逼近 的情況。 n:=1; an_:=IntegrateCosn*t,t,0,Pi/Pi; a0:=Integrate1,t,0,Pi/Pi; bn_:=IntegrateSinn*t,t,0,Pi/Pi; sx_:=a0/2+Sumak*Cosk*x+bk*Sink*x,k,1,n; PlotEvaluatesx,x,-Pi,3Pi,n:=3; an_:=IntegrateCosn*t,t,0,Pi/Pi; a0:=Integrate1,t,0,Pi/Pi; bn_:

16、=IntegrateSinn*t,t,0,Pi/Pi; sx_:=a0/2+Sumak*Cosk*x+bk*Sink*x,k,1,n; PlotEvaluatesx,x,-Pi,3Pi,n:=5; an_:=IntegrateCosn*t,t,0,Pi/Pi; a0:=Integrate1,t,0,Pi/Pi; bn_:=IntegrateSinn*t,t,0,Pi/Pi; sx_:=a0/2+Sumak*Cosk*x+bk*Sink*x,k,1,n; PlotEvaluatesx,x,-Pi,3Pi,n:=7; an_:=IntegrateCosn*t,t,0,Pi/Pi; a0:=Inte

17、grate1,t,0,Pi/Pi; bn_:=IntegrateSinn*t,t,0,Pi/Pi; sx_:=a0/2+Sumak*Cosk*x+bk*Sink*x,k,1,n; PlotEvaluatesx,x,-Pi,3Pi,n:=9; an_:=IntegrateCosn*t,t,0,Pi/Pi; a0:=Integrate1,t,0,Pi/Pi; bn_:=IntegrateSinn*t,t,0,Pi/Pi; sx_:=a0/2+Sumak*Cosk*x+bk*Sink*x,k,1,n; PlotEvaluatesx,x,-Pi,3Pi,an_:=IntegrateCosn*t,t,0,Pi/Pi a0=Integrate1,t,0,Pi/Pi bn_:=IntegrateSinn*t,t,0,Pi/Pi sx_:=a0/2+Sumak*Cosk*x+bk*Sink*x,k,1,n DoPlotEvaluatesx,x,-Pi,3Pi,n,1,10,2 t=Tablesx,n,1,10,2; PlotEvaluatet,x,-Pi,3Pi,從圖中我們可以清楚的看出：每條分項(xiàng)曲線都是一個(gè)正弦函數(shù)，隨著項(xiàng)數(shù)的增大，其振幅越來(lái)越小，角頻率卻越來(lái)越大。每一條這樣的正弦曲線表示一種頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其中紅色曲線是由若干條藍(lán)色的正弦曲線疊加而成，隨著項(xiàng)