1、,2.1 電荷守恒定律,自然界中最小的帶電粒子包括電子和質(zhì)子：-e、+e 一般帶電體的電荷量通常用q 表示 從微觀上看，電荷是以離散的方式出現(xiàn)在空間中的 從宏觀電磁學(xué)的觀點上看，大量帶電粒子密集出現(xiàn)在某空間范圍內(nèi)時，可假定電荷是以連續(xù)的形式分布在這個范圍中 電荷的幾種分布方式：空間中體積電荷體密度 面上電荷面密度s 線上電荷線密度l,一、電荷與電荷密度,體電荷：電荷連續(xù)分布在一定體積內(nèi)形成的電荷體,體電荷密度 的定義,在電荷空間V內(nèi)，任取體積元 ，其中電荷量為,則,體電荷密度,面電荷：當(dāng)電荷只存在于一個薄層上時，稱電荷為面電荷,面電荷密度 的定義,在面電荷上，任取面積元 ，其中電荷量為,則,面

2、電荷密度,線電荷：當(dāng)電荷只分布在一條細(xì)線上時，稱電荷為線電荷,線電荷密度 的定義,在線電荷上，任取線元 ，其中電荷量為,則,線電荷密度,當(dāng)電荷體體積非常小，可忽略其體積時，稱為點電荷。點電荷可看作是電量q無限集中于一個幾何點上。,點電荷,電流由定向流動的電荷形成，通常用 i 表示，定義為,二、 電流與電流密度,電流的物理意義：單位時間內(nèi)流過曲面S的電荷量,當(dāng)電荷速度不隨時間變化時，電流也不隨時間變化，稱為 恒定（穩(wěn)恒）電流I 空間各點電荷的流動除快慢不同外，方向可能不同，僅用穿過某截面的電荷量無法描述電流的分布情況 引入電流密度 來描述電流的分布情況 電荷的幾種分布方式：空間中 體積電流體密度

3、 面上 電流面密度Js 線上 線電流I,體電流密度,電荷在一定體積空間內(nèi)流動所形成的電流成為體電流,如圖，設(shè)P為空間中的任意點，過P 取面積元dS。,體電流密度 定義,方向：正電荷運動的方向 物理意義： 單位時間內(nèi)通過垂直電流傳播方向單位面積的電荷量 反映空間各點電流流動的物理量，形成一個空間矢量場 一般是時間t的函數(shù)，即 。恒定電流是特殊情況 如有N 種帶電粒子，則,面電流密度 定義：,面電流密度,為薄導(dǎo)體層的法向單位矢量。,當(dāng)電流集中在一個厚度趨于零的薄層（如導(dǎo)體表面）中流動 時，電流被認(rèn)為是表面電流或面電流，其分布情況用面電流密 度矢量 來表示,由電荷守恒,即,在等式的左端應(yīng)用高斯散度定

4、理，將閉合面上的面積分變?yōu)轶w積分，得,2、當(dāng)體積V為整個空間時，閉合面S為無窮大界面，將沒有電流經(jīng)其流出，電流連續(xù)性方程可寫成,對電流連續(xù)性方程的進(jìn)一步討論,即整個空間的總電荷是守恒的。,1、積分形式反映的是電荷變化與電流流動的宏觀關(guān)系，而微分形式則描述空間各點電荷變化與電流流動的局部關(guān)系,3、對于恒定電流，當(dāng)電流不隨時間變化，空間中電荷分布也不改變，即：,則恒定電流的電流連續(xù)性方程為,4、對于面電流，電流連續(xù)性方程為：,意義：流入閉合面S的電流等于流出閉合面S的電流基爾霍夫電流方程,時變面電流,恒定面電流,例 在球面坐標(biāo)系中，傳導(dǎo)電流密度為J=er10r-1.5(A/m)，求：1）通過半徑r

5、1mm的球面的電流值；2）在半徑r=1mm的球面上電荷密度的增加率；3）在半徑r=1mm的球體內(nèi)總電荷的增加率。,解： （1）,（2）在球面坐標(biāo)系中,（3）由電荷守恒定律得,2.2 真空中靜電場基本規(guī)律,一、庫侖定律,庫侖定律描述了真空中兩個點電荷間相互作用力的規(guī)律,庫侖定律內(nèi)容：如圖，電荷q1對電荷q2的作用力為：,式中：,為真空中介電常數(shù)。,對庫侖定律的進(jìn)一步討論,大小與電量成正比、與距離的平方成反比，方向在連線上,多個電荷對一個電荷的靜電力是各電荷力的矢量疊加，即,連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電力須通過矢量積分進(jìn)行求解,二、電場強度矢量,電場的定義,電場強度矢量,用電場強度矢量 表示電場的大小和

6、方向,電場是電荷周圍形成的物質(zhì)，當(dāng)另外的電荷處于這個物質(zhì)中時，會受到電場力的作用 靜止電荷產(chǎn)生的電場稱為靜電場 隨時間發(fā)生變化的電荷產(chǎn)生的電場稱為時變電場,實驗證明：電場中電荷q0所受的電場力大小與自身所帶電量成正比，與電荷所在位置電場強度大小成正比，即,對電場強度的進(jìn)一步討論,電場強度是單位點電荷受到的電場力，只與產(chǎn)生電場的電荷有關(guān) 對靜電場和時變電場上式均成立,點電荷產(chǎn)生的電場 單個點電荷q在空間任意點激發(fā)的電場為,特殊地，當(dāng)點電荷q位于坐標(biāo)原點時，,多個點電荷組成的電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的電場,由矢量疊加原理，N個點電荷組成的電荷系統(tǒng)在空間任意點激發(fā)的電場為,式中:,連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的電場

7、連續(xù)分布于體積V中的電荷在空間任意點r產(chǎn)生的電場,處理思路： 1) 無限細(xì)分區(qū)域 2）考查每個區(qū)域 3）矢量疊加原理,設(shè)體電荷密度為 ，圖中dV在P點產(chǎn)生的電場為：,則整個體積V內(nèi)電荷在P點處產(chǎn)生的電場為：,面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場只需在上式中將電荷體密度、體積元和積分區(qū)域作相應(yīng)替換即可，如, 線電荷, 面電荷,例1 圖中所示為一個半徑為r的帶電細(xì)圓環(huán)，圓環(huán)上單位長度帶電l，總電量為q 。求圓環(huán)軸線上任意點的電場。,解：將圓環(huán)分解成無數(shù)個線元，每個線元可看成點電荷l(r)dl，則線元在軸線任意點產(chǎn)生的電場為,由對稱性和電場的疊加性，合電場只有z分量，則,結(jié)果分析,（1）當(dāng)z0，此時P點移到圓心

8、，圓環(huán)上各點產(chǎn)生的電場抵消，E=0 （2）當(dāng)z，R與z平行且相等，rz，帶電圓環(huán)相當(dāng)于一個點電荷，有,例2 求真空中半徑為a，帶電量為Q的導(dǎo)體球在球外空間中產(chǎn)生E。,由球體的對稱性分析可知： 電場方向沿半徑方向： 電場大小只與場點距離球心的距離相關(guān)。,解：在球面上取面元dS，該面元在P點處產(chǎn)生的電場徑向分量為：,式中：,導(dǎo)體球上電荷均勻分布在導(dǎo)體表面，其在球外空間中產(chǎn)生的電場分布與位于球心的相同電量點電荷產(chǎn)生的電場等效。,結(jié)果分析,亥姆霍茲定理告訴我們：矢量場的散度和旋度決定其性質(zhì)，因此，靜電場的基本方程即為電場的散度、旋度計算式。,三、真空中靜電場的散度 高斯定理,可以證明：真空中靜電場的散

9、度為,靜電場高斯定理微分形式,說明：1)電場散度僅與電荷分布相關(guān)，其大小,2）對于真空中點電荷，有,或,真空中靜電場的散度,二、真空中靜電場的旋度 環(huán)路定律,物理意義：在靜電場中將單位電荷沿任一閉合路徑移動一周，靜電力做功為零。 靜電場旋度處處為零，靜電場中不存在旋渦源，電力線不構(gòu)成閉合回路,斯托克斯公式,對環(huán)路定理的討論,靜電場環(huán)路定律積分形式,真空中靜電場性質(zhì)小結(jié)：,微分形式,積分形式,靜電場性質(zhì)：是一種有源無旋場，是保守場。 靜電場的源：電荷,討論：對靜電場，恒有：,為標(biāo)量函數(shù),靜電場可以由一標(biāo)量函數(shù)的梯度表示。,求解的關(guān)鍵：高斯面的選擇。,高斯面的選擇原則：,只有當(dāng)電荷呈某種對稱分布時

10、才可能滿足以上原則，因此用高斯定理求解電場的方法只能適用于一些呈對稱分布的電荷系統(tǒng)。,1）場點位于高斯面上； 2）高斯面為閉合面； 3）在整個或分段高斯面上， 或 為恒定值。,補充內(nèi)容：利用高斯定理求解靜電場,求無限長線電荷在真空中產(chǎn)生的電場。,解：取如圖所示高斯面。,由高斯定律，有,分析：電場方向垂直圓柱面。 電場大小只與r有關(guān)。,例1,解： 取如圖所示高斯面。 在球外區(qū)域：ra,分析：電場方向垂直于球面。 電場大小只與r有關(guān)。,半徑為a的球形帶電體，電荷總量Q均勻分布在球體內(nèi)。,求：,在球內(nèi)區(qū)域：ra,例2,2.3 真空中恒定磁場的基本規(guī)律,兩個電流環(huán)的相互作用力 在回路C1上式積分，得到

11、回路C1作用在電流元I2dl2上的力,磁場強度矢量,處于磁場中的電流元Idl所受的磁場力dF與該點磁場B、電流元強度和方向有關(guān)，即,安培力公式,畢奧薩伐爾定律,若 由電流元 產(chǎn)生，則由安培力定律,可知，電流元 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：,畢奧薩伐爾定律,說明： 、 、 三者滿足右手螺旋關(guān)系。,體電流產(chǎn)生的磁場 體電流可以分解成許多細(xì)電流管，近似地看成線電流，此時有 I = J dS，則電流元為 ，得,對畢奧薩伐爾定律的討論,真空中任意電流回路產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度,面電流產(chǎn)生的磁場,運動電荷的磁場(補充) 定向流動的電荷形成電流。設(shè)某區(qū)域電荷密度為，速度v，將形成電流密度 ，則電流元為 ，得,例1 求有限

12、長直線電流的磁感應(yīng)強度。(圓柱坐標(biāo)系),解：在導(dǎo)線上任取電流元 Idz，其方向沿著電流流動的方向，即 z 方向。由比奧薩伐爾定律，電流元在導(dǎo)線外一點P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為,例2 求半徑為a的電流環(huán)在其軸線上產(chǎn)生的磁場。,解：建立如圖柱面坐標(biāo)系。,在電流環(huán)上任取電流元 ，令其坐標(biāo)位置矢量為 。,易知：,磁感應(yīng)強度穿過閉合曲面S的磁通量為：,二 恒定磁場的散度與旋度,2、真空中恒定磁場的旋度 安培環(huán)路定律,若電流分布為體電流分布，有 代入安培環(huán)路定律，得,恒定磁場的旋度,利用斯托克斯公式，得,定義磁場強度,對恒定磁場旋度的討論,恒定磁場是有旋場，電流為磁場的漩渦源。 空間任意點磁場的旋度只與當(dāng)?shù)氐?/p>

13、電流密度有關(guān) 安培環(huán)路定律中，電流為回路C所圍電流的代數(shù)和，H為空間中的磁場分布，由回路C內(nèi)外的電流共同產(chǎn)生。,無源場。磁力線無頭無尾且不相交 有旋場。電流是磁場的旋渦源，磁力線構(gòu)成閉合回路,小結(jié)：恒定磁場的性質(zhì),解：根據(jù)安培環(huán)路定律,當(dāng)ra時,當(dāng)ra時,例題1 半徑為a的無限長直導(dǎo)體內(nèi)通有電流I，計算空間磁場強度 分布,分析：電流均勻分布在導(dǎo)體截面上，呈軸對稱分布。,解：根據(jù)安培環(huán)路定律,1)在ra區(qū)域：,2)在arb區(qū)域：,所以，空間中的 分布為：,3)在rb區(qū)域：,2.4 媒質(zhì)的電磁特性,媒質(zhì)的電磁特性：物質(zhì)對電磁場的響應(yīng),傳導(dǎo)：導(dǎo)體中，外電場的作用,極化：電介質(zhì)中，外電場的作用 磁化：

14、磁介質(zhì)中，外磁場的作用,2.4.1電介質(zhì)的極化 電位移矢量,1.介質(zhì)極化有關(guān)概念,介質(zhì)：內(nèi)部存在不規(guī)則而迅速變化的微觀電磁場的帶電系統(tǒng) 電偶極子和電偶極矩：,在熱平衡時，分子無規(guī)則運動，取向各方向均等，介質(zhì)在宏觀上不顯出電特性 介質(zhì)分子的分類：無極分子和有極分子。 介質(zhì)的極化：在外場影響下，無極分子變?yōu)橛袠O分子，有極分子的取向一致，宏觀上出現(xiàn)電偶極矩,電偶極子：由兩個相距很近的帶等量異號電量的點電荷所組成的電荷系統(tǒng)。,電偶極矩 ：表示電偶極子。,用極化強度矢量 表示電介質(zhì)被極化的程度。,式中：,表示i個分子極矩。,N表示分子密度,物理意義：等于單位體積內(nèi)電偶極矩矢量和。,說明：對于線性媒質(zhì)，介

15、質(zhì)的極化強度和外加電場成正比關(guān)系，即,2. 極化強度矢量,3.極化電荷（束縛電荷）,媒質(zhì)被極化后，在媒質(zhì)體內(nèi)和分界面上會出現(xiàn)電荷分布，這種電荷被稱為極化電荷。由于相對于自由電子而言，極化電荷不能自由運動，故也稱束縛電荷。 體內(nèi)出現(xiàn)的極化電荷成為體極化電荷，表面上出現(xiàn)的極化電荷稱為面極化電荷。,介質(zhì)被極化后，分子可視作一個電偶極子。設(shè)分子的電偶極矩p =ql。取如圖所示體積元，其高度l 等于分子極矩長度。,4. 體極化電荷,則負(fù)電荷處于體積中的電偶極子的正電荷必定穿過面元dS,在空間中任取體積dV，其邊界為dS，則經(jīng)dS穿出dV 的正電荷量為,穿出整個S面的電荷量為：,由電荷守恒和電中性性質(zhì)，S

16、面所圍電荷量為,5. 面極化電荷,在介質(zhì)表面上，極化電荷面密度為,式中： 為媒質(zhì)極化強度 為媒質(zhì)表面外法向單位矢量,討論：若分界面兩邊均為媒質(zhì)，則,極化電流密度Jp(補充),當(dāng)極化強度P改變時，極化電荷分布將發(fā)生改變，這個過程中極化電荷將在一定范圍內(nèi)運動，從而形成極化電流,說明：極化電荷與極化電流之間仍滿足電流連續(xù)性方程，即有,對介質(zhì)極化問題的討論,極化電荷不能自由運動，也稱為束縛電荷 由電荷守恒定律，極化電荷總量為零； P=常矢量 時稱媒質(zhì)被均勻極化，此時介質(zhì)內(nèi)部無極化電荷，極化電荷只會出現(xiàn)在介質(zhì)表面上 均勻介質(zhì)內(nèi)部一般不存在極化電荷 位于媒質(zhì)內(nèi)的自由電荷所在位置一定有極化電荷出現(xiàn),電位移矢

17、量,介質(zhì)空間中電場：,真空的相對介電常數(shù)等于1，真空中電場的本構(gòu)關(guān)系為,真空中點電荷產(chǎn)生的電位移矢量為：,引入電位移矢量后，真空中靜電場的基本方程可寫為,對電位移矢量的討論,解：在駐極體內(nèi)：,駐極體在表面上：,半徑為a的球形電介質(zhì)體，其相對介電常數(shù) , 若在球心處存在一點電荷Q，求極化電荷分布。,體極化電荷分布:,面極化電荷分布:,在球心點電荷處：,例,解：由定義，知：,介質(zhì)的磁化,2. 磁化強度矢量 描述介質(zhì)磁化程度，等于單位體積內(nèi)的分子磁矩，即,在介質(zhì)內(nèi)部取曲面S，邊界為C，穿過S的總電流IM 。顯然，只有被回路C穿過的分子電流對IM 才有貢獻(xiàn)。,若媒質(zhì)的磁化強度為 ，則其體磁化電流密度為

18、：,由等效問題，利用真空中磁場基本方程可得：,設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電率為 ，在其中選取一體積元 , 方向與外加電場方向一致，如圖所示。,電場做功功率為：,整個體積內(nèi)V功率損耗為：,2.5法拉第電磁感應(yīng)定律,一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象與楞次定律,實驗表明：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中會出現(xiàn)感應(yīng)電流。電磁感應(yīng)現(xiàn)象,楞次定律：回路總是企圖以感應(yīng)電流產(chǎn)生的穿過回路自身的磁通，去反抗引起感應(yīng)電流的磁通量的改變。,二、法拉第電磁感應(yīng)定律,法拉第電磁感應(yīng)定律：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生改變時，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與回路磁通量的時間變化率成正比關(guān)系。數(shù)學(xué)表示：,說明：“-”號表示回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的作用總是

19、要阻止回路磁通量的改變。,三、法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式,感應(yīng)電動勢感應(yīng)電場。令感應(yīng)電場為,在空間內(nèi)，可能還存在著靜電場或者恒定電場 ，此導(dǎo)體內(nèi)總電場為 。,由前面討論可知： 為保守場，即 則,法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式,物理意義：隨時間變化的磁場將產(chǎn)生電場。,對法拉弟電磁感應(yīng)定律的討論,式中等式右邊為B對t的偏導(dǎo)數(shù)，該式用于分析時變場 式中的E是磁場隨時間變化而激發(fā)的，稱為感應(yīng)電場 感應(yīng)電場是有旋場，磁場隨時間變化處會激發(fā)旋渦狀的電場 對任意回路（不一定有導(dǎo)體存在）成立 磁場不隨時間變化時，有，與靜電場的形式相同，可見靜電場是時變場的特殊情況,一、安培環(huán)路定律的局限性,如圖：以閉合路徑 為邊

20、界的曲面有無限多個，取如圖所示的兩個曲面S1,S2。,結(jié)論：恒定磁場中推導(dǎo)得到的安培環(huán)路定律不適用于時變場問題,對S2面：,則對S1面：,矛盾,位移電流,二、位移電流假說,在電容器極板間，不存在自由電流，但存在隨時間變化的電場。,為了克服安培環(huán)路定律的局限性，麥克斯韋提出了位移電流假說。他認(rèn)為：在電容器之間，存在著因變化的電場而形成的的電流，其性質(zhì)與傳導(dǎo)電流完全不同，量值與回路中自由電流相等。,由電流連續(xù)性方程，知在極板間，有,式中： 為傳導(dǎo)電流，即自由電荷運動形成的電流。,定義： 為位移電流, 為全電流,則,若用全電流 代替安培環(huán)路定律中的自由電流 ,則安培環(huán)路定律在時變場中仍然適用。,三、

21、安培環(huán)路定律廣義形式,一般情況下，時變場空間同時存在真實電流(傳導(dǎo)電流)和位移電流，則,全電流遵循電流守恒定律,廣義安培環(huán)路定律微分形式,物理意義：隨時間變化的電場能產(chǎn)生磁場。,對安培環(huán)路定理和位移電流的討論,時變場情況下，磁場仍是有旋場，但旋渦源除傳導(dǎo)電流外，還有位移電流 位移電流代表電場隨時間的變化率，當(dāng)電場發(fā)生變化時，會形成磁場的旋渦源(位移電流)，從而激發(fā)起磁場 推廣的安培環(huán)路定律物理意義：隨時間變化的電場會激發(fā)磁場 位移電流是一種假想電流，由麥克斯韋用數(shù)學(xué)方法引入，但在此假說的基礎(chǔ)上，麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在，而赫茲通過試驗證明了電磁波確實存在，從而反過來證明了位移電流理論的正確性

22、。,2.6 麥克斯韋方程組,麥克斯韋方程組由四個微分方程方程組成,一、麥克斯韋方程組的微分形式,麥克斯韋方程組是揭示了時變電磁場基本性質(zhì)的基本方程組,時變電磁場中，電場和磁場相互激勵，形成統(tǒng)一不可分的整體,（推廣的安培環(huán)路定理）,（法拉第電磁感應(yīng)定理）,（磁場散度定理）,（電場散度定理）,注意：時變電磁場的源： 1、真實源（變化的電流和電荷）； 2、變化的電場和變化的磁場。,二、麥克斯韋方程組的積分形式,在媒質(zhì)中，場量之間必須滿足媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系。在線性、各向同性媒質(zhì)中：,將本構(gòu)關(guān)系代入麥克斯韋方程組，則得,三、麥克斯韋方程組的限定形式,麥克斯韋方程組限定形式,麥克斯韋方程組限定形式與媒質(zhì)特性相關(guān)。,麥克斯韋方程組揭示的物理涵義,時變電場的激發(fā)源除電荷以外，還有變化的磁場；時變磁場的激發(fā)源除傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場 電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā) 電場和磁場不再相互獨立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個整體電磁場，電場和磁場分別為電磁場的兩個物理量 麥克斯韋方程組預(yù)言了電磁波的存在，且已被事實所證明,說明：靜場只是時變場的一種特殊情況。,2.7 電磁場的邊界條件,的邊界條件,結(jié)論：在邊界面兩邊， 法向的法向分量連續(xù)。,在兩種介質(zhì)界面上，介質(zhì)性質(zhì)有突變，磁場