1、1,通信原理,第3章 隨機過程,2,第3章 隨機過程,3.1 隨機過程的基本概念 什么是隨機過程？ 隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述。可從兩種不同角度看： 角度1：對應(yīng)不同隨機試驗結(jié)果的時間過程的集合。,3,第3章 隨機過程,【例】n臺示波器同時觀測并記錄這n臺接收機的輸出噪聲波形 樣本函數(shù)i (t)：隨機過程的一次實現(xiàn)，是確定的時間函數(shù)。 隨機過程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部樣本函數(shù)的集合。,4,第3章 隨機過程,角度2：隨機過程是隨機變量概念的延伸。 在任一給定時刻t1上，每一個樣本函數(shù)i (t)都是一個確定的數(shù)值i (t

2、1)，但是每個i (t1)都是不可預(yù)知的。 在一個固定時刻t1上，不同樣本的取值i (t1), i = 1, 2, , n是一個隨機變量，記為 (t1)。 換句話說，隨機過程在任意時刻的值是一個隨機變量。 因此，我們又可以把隨機過程看作是在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機變量的集合。 這個角度更適合對隨機過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。,5,第3章 隨機過程,3.1.1隨機過程的分布函數(shù) 設(shè) (t)表示一個隨機過程，則它在任意時刻t1的值 (t1)是一個隨機變量，其統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。 隨機過程 (t)的一維分布函數(shù)： 隨機過程 (t)的一維概率密度函數(shù)： 若上式中的偏導(dǎo)存在的

3、話。,6,第3章 隨機過程,隨機過程 (t) 的二維分布函數(shù)： 隨機過程 (t)的二維概率密度函數(shù)： 若上式中的偏導(dǎo)存在的話。 隨機過程 (t) 的n維分布函數(shù)： 隨機過程 (t) 的n維概率密度函數(shù)：,7,第3章 隨機過程,3.1.2 隨機過程的數(shù)字特征 均值（數(shù)學(xué)期望）： 在任意給定時刻t1的取值 (t1)是一個隨機變量，其均值 式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函數(shù) 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接寫為t， x1改為x，這樣上式就變?yōu)?8,第3章 隨機過程, (t)的均值是時間的確定函數(shù)，常記作a ( t )，它表示隨機過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心 :,a (t

4、),9,第3章 隨機過程,方差 方差常記為 2( t )。這里也把任意時刻t1直接寫成了t 。 因為 所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機過程在時刻 t 對于均值a ( t )的偏離程度。,均方值,均值平方,10,第3章 隨機過程,相關(guān)函數(shù) 式中， (t1)和 (t2)分別是在t1和t2時刻觀測得到的隨機變量?？梢钥闯?，R(t1, t2)是兩個變量t1和t2的確定函數(shù)。 協(xié)方差函數(shù) 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在t1和t2時刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率密度函數(shù)。,11,第3章 隨機過程,相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系

5、若a(t1) = a(t2)，則B(t1, t2) = R(t1, t2) 互相關(guān)函數(shù) 式中(t)和(t)分別表示兩個隨機過程。 因此，R(t1, t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。,12,第3章 隨機過程,3.2 平穩(wěn)隨機過程 3.2.1 平穩(wěn)隨機過程的定義 定義： 若一個隨機過程(t)的任意有限維分布函數(shù)與時間起點無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)n和所有實數(shù)，有 則稱該隨機過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機過程，簡稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程。,13,第3章 隨機過程,性質(zhì)： 該定義表明，平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時間t無關(guān)： 而二維分布函數(shù)只與時間間隔 = t2 t1有關(guān)： 數(shù)

6、字特征： 可見，（1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)。,14,第3章 隨機過程,數(shù)字特征： 可見，（1）其均值與t 無關(guān)，為常數(shù)a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔 有關(guān)。 把同時滿足（1）和（2）的過程定義為廣義平穩(wěn)隨機過程。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。因此，研究平穩(wěn)隨機過程有著很大的實際意義。,15,第3章 隨機過程,3.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性 問題的提出：我們知道，隨機過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本，這樣

7、，我們自然會提出這樣一個問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢? 回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計平均）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。 下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。,16,第3章 隨機過程,各態(tài)歷經(jīng)性條件 設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程(t)的任意一次實現(xiàn)（樣本）， 則其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別定義為： 如果平穩(wěn)過程使下式成立 則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。,17,第3章 隨機過程,“各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機過程中的任一次

8、實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實現(xiàn)的“時間平均”值代替過程的“統(tǒng)計平均”值即可，從而使測量和計算的問題大為簡化。 具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。,18,第3章 隨機過程,例3-1 設(shè)一個隨機相位的正弦波為 其中，A和c均為常數(shù)；是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。 【解】(1)先求(t)的統(tǒng)計平均值： 數(shù)學(xué)期望,19,第3章 隨機過程,自相關(guān)函數(shù) 令t2 t1 = ，得到 可

9、見， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無關(guān)，只與時間間隔 有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。,20,第3章 隨機過程,(2) 求(t)的時間平均值 比較統(tǒng)計平均與時間平均，有 因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。,21,第3章 隨機過程,3.2.3 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù) 平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前 平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) (t)的平均功率 的偶函數(shù) R()的上界 即自相關(guān)函數(shù)R()在 = 0有最大值。 (t)的直流功率 表示平穩(wěn)過程(t)的交流功率。當(dāng)均值為0時，有 R(0) = 2 。,22,第3章 隨機過程,3.2.4 平穩(wěn)過程的功率譜密度 定義： 對于任意的確定功率信號f (

10、t)，它的功率譜密度定義為 式中，F(xiàn)T ( f )是f (t)的截短函數(shù)fT (t) 所對應(yīng)的頻譜函數(shù),23,第3章 隨機過程,對于平穩(wěn)隨機過程 (t) ，可以把f (t)當(dāng)作是(t)的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，故 (t)的功率譜密度可以定義為,24,第3章 隨機過程,功率譜密度的計算 維納-辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有 簡記為 以上關(guān)系稱為維納-辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時域兩

11、種分析方法的基本關(guān)系式。,25,第3章 隨機過程,在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論： 對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率： 上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計算法。 各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性。 【證】因為各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換： 即 式中,26,第3章 隨機過程,功率譜密度P ( f )具有非負(fù)性和實偶性，即有 和 這與R()的實偶性相對應(yīng)。,27,第3章 隨機過程,例3-2 求隨機相位余弦波(t) = Acos(ct +

12、)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 【解】在例3-1中，我們已經(jīng)考察隨機相位余弦波是一個平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為 因為平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有 以及由于有 所以，功率譜密度為 平均功率為,28,第3章 隨機過程,3.3 高斯隨機過程（正態(tài)隨機過程） 3.3.1 定義 如果隨機過程 (t)的任意n維（n =1,2,.）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。 n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為： 式中,29,第3章 隨機過程,式中 |B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk 行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子 bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即,30,第3章

13、 隨機過程,3.3.2 重要性質(zhì) 由高斯過程的定義式可以看出,高斯過程的n維分布只依賴各個隨機變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。 廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因為，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，則它的n維分布也與時間起點無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。,31,第3章 隨機過程,如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的， 即對所有j k，有bjk =0，則其概率密度可以簡化為 這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的。 高

14、斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。,32,第3章 隨機過程,3.3.3 高斯隨機變量 定義：高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，其一維概率密度函數(shù)為 式中 a 均值 2 方差 曲線如右圖：,33,第3章 隨機過程,性質(zhì) f (x)對稱于直線 x = a，即 a表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)a = 0和 = 1時，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：,34,第3章 隨機過程,正態(tài)分布函數(shù) 這個積分的值無法用閉合形式計算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出

15、： 用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：令 則有 及 式中 誤差函數(shù)，可以查表求出其值。,35,第3章 隨機過程,用互補誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)： 式中 當(dāng)x 2時，,36,第3章 隨機過程,用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)： Q函數(shù)定義： Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系： Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系： Q函數(shù)值也可以從查表得到。,37,第3章 隨機過程,3.4 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng) 確知信號通過線性系統(tǒng)（復(fù)習(xí)） ： 式中 vi 輸入信號， vo 輸出信號 對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系： 隨機信號通過線性系統(tǒng)： 假設(shè)：i(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機過程， a 均值， Ri() 自相關(guān)函數(shù)， Pi() 功

16、率譜密度； 求輸出過程o(t)的統(tǒng)計特性，即它的均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。,38,第3章 隨機過程,輸出過程o(t)的均值 對下式兩邊取統(tǒng)計平均： 得到 設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有 式中，H(0)是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)，因此輸出過程的均值是一個常數(shù)。,39,第3章 隨機過程,輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義 根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有 于是 上式表明,輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時間間隔 的函數(shù)。 由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。,40,第3章 隨機過程,輸出過程o(t)的功率譜密度 對下式進(jìn)行傅里葉變換： 得出 令 = + -

17、，代入上式，得到 即 結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。 應(yīng)用：由Po( f )的反傅里葉變換求Ro(),41,第3章 隨機過程,輸出過程o(t)的概率分布 如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。 因為從積分原理看， 可以表示為： 由于已假設(shè)i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項在任一時刻上都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻上得到的隨機變量就是無限多個高斯隨機變量之和。由概率論理論得知，這個“和” 也是高斯隨機變量，因而輸出過程也為高斯過程。 注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。,42,第3章

18、 隨機過程,3.5 窄帶隨機過程 什么是窄帶隨機過程？ 若隨機過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍f 內(nèi)，即滿足f fc的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機過程。,43,第3章 隨機過程,典型的窄帶隨機過程的譜密度和樣本函數(shù),44,第3章 隨機過程,窄帶隨機過程的表示式 式中，a (t) 隨機包絡(luò)， (t) 隨機相位 c 中心角頻率 顯然， a (t)和 (t)的變化相對于載波cos ct的變化要緩慢得多。,45,第3章 隨機過程,窄帶隨機過程表示式展開 可以展開為 式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量 可以看出： (t)的統(tǒng)計特性由a (t)和 (t)

19、或c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性確定。 若(t)的統(tǒng)計特性已知，則a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性也隨之確定。,46,第3章 隨機過程,3.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計特性 數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望： 得到 因為(t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間t，都有E(t) = 0 ，所以,47,第3章 隨機過程,(t)的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式 式中 因為(t)是平穩(wěn)的，故有 這就要求上式的右端與時間t無關(guān)，而僅與有關(guān)。 因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)?48,第3章 隨機過程,因與時間t無關(guān)，以下二式自然成立 所以，上式變?yōu)?再令 t = /2c，同理可以

20、求得 由以上分析可知，若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。,49,第3章 隨機過程,進(jìn)一步分析，下兩式 應(yīng)同時成立，故有 上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。 根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有 代入上式，得到 上式表明Rsc()是 的奇函數(shù)，所以 同理可證,50,第3章 隨機過程,將 代入下兩式 得到 即 上式表明(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。,51,第3章 隨機過程,根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式 得到 因為(t)是高斯過程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯隨機變量，從而c(t) 、 s(t)

21、也是高斯過程。 根據(jù) 可知， c(t) 與s(t)在 = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此c(t) 與s(t)也是統(tǒng)計獨立的。,52,第3章 隨機過程,結(jié)論：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。,53,第3章 隨機過程,3.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計特性 聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a , ) 根據(jù)概率論知識有 由 可以求得,54,第3章 隨機過程,于是有 式中 a 0, = (0 2),55,第3章 隨機過程,a的一維概率密度函數(shù) 可見， a

22、服從瑞利(Rayleigh)分布。,56,第3章 隨機過程,的一維概率密度函數(shù) 可見， 服從均勻分布。,57,第3章 隨機過程,結(jié)論 一個均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言， a(t)與(t)是統(tǒng)計獨立的 ，即有,58,第3章 隨機過程,3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲 正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式 式中 窄帶高斯噪聲 正弦波的隨機相位，均勻分布在0 2間 A和c 確知振幅和角頻率 于是有 式中,59,第3章 隨機過程,正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式 包絡(luò)： 相位：,60,第3章 隨機過程,正弦

23、波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計特性 包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z) 利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨立的高斯隨機變量，且有 所以，在給定相位 的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,61,第3章 隨機過程,利用與上一節(jié)分析a和相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，之間的隨機變量關(guān)系 可以求得在給定相位 的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數(shù) 然后求給定條件下的邊際分布， 即,62,第3章 隨機過程,由于 故有 式中 I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù) 因此 由上式可見，f (, z)與無關(guān)，故的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為 稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。,63,第3章 隨機過程,討論 當(dāng)信號很小時，即A 0時，上式中(Az/n2)很小， I0 (Az/n2) 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。 當(dāng)(Az/n2)很大時，有 這時上式近似為高斯分布，即,64,第3章 隨機過程,包絡(luò)概率密度函數(shù) f (z)曲線,65,第3章 隨機過程,正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計特性,66,