1、四 直角三角形的射影定理庖丁巧解牛知識(shí)巧學(xué)一、射影所謂射影，就是正投影.其中，從一點(diǎn)到一條直線所作垂線的垂足，叫做這點(diǎn)在這條直線上的正投影.一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線段在這條直線上的正投影.如圖1-4-2，AB在AC上的射影是線段AC；BC在AC上的射影是點(diǎn)C；AC、BC在AB上的射影分別是AD、BD，這樣，RtABC中的六條線段就都有了名稱，它們分別是:兩條直角邊(AC、BC)，斜邊(AB)，斜邊上的高(CD)，兩條直角邊在斜邊上的射影(AD、BD).圖1-4-2二、直角三角形的射影定理由于角之間的關(guān)系，圖1-4-2中三個(gè)直角三角形具有相似關(guān)系，于是RtAB

2、C的六條線段之間存在著比例關(guān)系.ACDCBD,有，轉(zhuǎn)化為等積式，即CD2=ADBD；ACDABC,有，轉(zhuǎn)化為等積式，即AC2=ABAD；BCDBAC,有，轉(zhuǎn)化為等積式,即BC2=BABD.用語言來表述，就是在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng). 聯(lián)想發(fā)散 這一結(jié)論常作為工具用于證明和求值.如圖1-4-3，在RtABC中，C90，CD是AB上的高.已知AD4，BD9，就可以求CD、AC.由射影定理，得CD2=ADBD=4936.因?yàn)檫呴L(zhǎng)為正值，所以CD6,AC2=ADAB=4(49)52.所以AC.我們還可以求出BC、

3、AB,以及ABC的面積等.問題探究問題1 在直角三角形中，我們已經(jīng)學(xué)過三邊之間的一個(gè)重要關(guān)系式，如圖1-4-3，在RtABC中，C90，那么AC2BC2=AB2，這一結(jié)論被稱作勾股定理，同樣是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么聯(lián)系？如何說明這種聯(lián)系？圖1-4-3思路:將射影定理產(chǎn)生的式子AC2=ABAD和BC2=BABD左右兩邊分別相加.探究:如圖1-4-3，在RtABC中，C90，CD是AB上的高.應(yīng)用射影定理，可以得到AC2BC2ADABBDAB=(ADBD)AB=AB2.由此可見，利用射影定理可以證明勾股定理.過去我們是用面積割補(bǔ)的方法證明勾股定理的，現(xiàn)在我們又用射影定理證明了勾股

4、定理，而且這種方法簡(jiǎn)潔明快，比面積法要方便得多.將兩者結(jié)合起來，在直角三角形的六條線段中，應(yīng)用射影定理、勾股定理，就可從任意給出的兩條線段中，求出其余四條線段的長(zhǎng)度.問題2 幾何圖形是最富于變化的，直角三角形更是如此，但不管怎樣變化，其基本圖形體現(xiàn)的規(guī)律卻是相同的，如射影定理的基本圖形.這時(shí)，從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，就成為解決問題的關(guān)鍵.那么從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形有什么竅門呢？你能舉例說明嗎？思路:從所給圖形中分離出基本圖形，利用基本圖形寫出結(jié)論.探究:在圖形的變化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速發(fā)現(xiàn)解題思路.這當(dāng)中的關(guān)鍵就是把握基本圖形，從所給圖形中分離出基本圖形.如:(1

5、)在圖1-4-4(c)中，求證:CFCA=CGCB.(2)在圖1-4-4(a)中，求證:FGBC=CEBG.(3)在圖1-4-4(d)中，求證:CD3=AFBGAB；BC2AC2=CFFA;BC3AC3=BGAE.就可以這樣來思考:圖1-4-4 在第(1)題中，觀察圖形則發(fā)現(xiàn)分別使用CD2=CFCA和CD2=CGCB即可得到證明.第(2)題可用綜合分析法探求解題的思路:欲證FGBC=CEBG，只需證，而這四條線段分別屬于BFG和BEC，能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形存在公共角EBC，可選用“兩角對(duì)應(yīng)相等”或“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等”來證明相似.或者在圖1-4-4(a)中可分解出兩個(gè)射影定理的基本圖形:“

6、RtADE中DGBE”及“RtBDC中DFBC”，在兩個(gè)三角形中分別使用射影定理中的BD2進(jìn)行代換，得到BGBE=BFBC，化成比例式后，可用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等”來證明含有公共角EBC的BFG和BEC相似.你可以嘗試著自己分析第(3)小題.典題熱題例1如圖1-4-5(a)中，CD垂直平分AB，點(diǎn)E在CD上，DFAC，DGBE，F(xiàn)、G分別為垂足.求證:AFAC=BGBE.思路分析：從圖1-4-5中分解出兩個(gè)基本圖形145(b)和(c)，再觀察結(jié)論，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，所要證的等積式的左、右兩邊分別滿足圖1-4-5(b)和(c)中的射影定理:AFAC=AD2，BGBE=DB2，通過代換線段的平方(A

7、D2=DB2)，就可以證明所要的結(jié)論.圖1-4-5證明：CD垂直平分AB，ACD和BDE均為直角三角形，并且AD=BD.又DFAC，DGBE，AFAC=AD2，BGBE=DB2，AD2=DB2,AFAC=BGBE. 深化升華 將原圖分成兩部分來看，分別在兩個(gè)三角形中運(yùn)用射影定理，實(shí)現(xiàn)了溝通兩個(gè)比例式的目的，在求解此類問題時(shí)，一定要注意對(duì)圖形的剖析.例2如圖1-4-6，在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F，求證:CEFCBA.圖1-4-6思路分析：要證明CEFCBA，題設(shè)中已具備了BCA=ECF，再找出一對(duì)角相等就不太容易了，因此，考慮證明BCA與ECF的夾邊成比例，即，即證CE

8、CA=CFCB，再從已知條件出發(fā)考慮問題，在RtADC中，DEAC，根據(jù)定理能推出CD2=CECA，同理可得CD2=CFCB,這樣，CECA=CFCB，問題就能得證.證明：ADC是直角三角形，DEAC，CD2=CECA.同理，可得CD2=CFCB.CECA=CFCB,即.又BCA=ECF，CEFCBA. 深化升華 當(dāng)題目中缺少角相等時(shí)，應(yīng)該考慮利用相等的角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，即及時(shí)轉(zhuǎn)換解題思路，而不能只想到找兩對(duì)角相等，因?yàn)槲覀冞€有其他的判定定理.例3如圖1-4-7，已知RtABC中,ACB=90，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F，求證:AEBFAB=CD3.圖1-4-7思路分析：分別在

9、三個(gè)直角三角形RtABC、RtADC、RtBDC中運(yùn)用射影定理，再將線段進(jìn)行代換，就可以實(shí)現(xiàn)等積式的證明.證明：RtABC中,ACB=90，CDAB，CD2=ADBD.CD4=AD2BD2.又RtADC中，DEAC，RtBDC中，DFBC，AD2=AEAC，BD2=BFBC.CD4=AEBFACBC.又ACBC=ABCD，CD4=AEBFABCD.AEBFAB=CD3.例4如圖1-4-8，在ABC中,D、F分別在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC.圖1-4-8思路分析：由數(shù)形結(jié)合易知ABC是直角三角形，AF為斜邊上的高線，CF是直角邊AC在斜邊上的射影，AC為所求，已知的另外兩邊都在BDC中，且BDDC1，即BDC是等腰三角形.因此，可以過D作DEBC，拓開思路.由于DE、AF都垂直于BC，又可以利用比例線段的性質(zhì)，逐步等價(jià)轉(zhuǎn)化求得AC.解：在ABC中，設(shè)AC為x，ABAC，AFBC，又FC1，根據(jù)射影定理,得AC2=FCBC，即BCx2.再由射影定理,得AF2=BFFC=(BC-FC)FC，即AF2=x2-1.AF=.在BD