1、10.4 第二型曲面積分10.4.1 曲面?zhèn)鹊母拍?在光滑上任取一，過作的法向量，它有兩個方向，選定其中一個方向。如果當在上不越過邊界而任意連續(xù)變動又回到原來位置時，法向量，則稱這種曲面為雙側(cè)曲面，否則稱為單側(cè)曲面。 例如，將長方形紙條的一端扭轉(zhuǎn)，再與另一端粘合起來，就是單側(cè)曲面。 對于雙側(cè)曲面，可以通過曲面上法向量的指向來確定曲面的側(cè)。這種取定了法向量的指向亦即確定了曲面的側(cè)，稱為有向曲面。對于：，則取定了曲面的上側(cè)。角，則取定了曲面的下側(cè)。 一般封閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分； 曲面：有上側(cè)與下側(cè)之分； 曲面：有前側(cè)與后側(cè)之分； 曲面：有左側(cè)與右側(cè)之分。下側(cè)上側(cè) 10.4.2 第二型曲面積分的概

2、念一、引例：求穩(wěn)定流動的不可壓縮流體流向有向指定側(cè)的（假定密度為1）。設流體的速度場為， 有向曲面指定側(cè)的單位法向量。若平面上面積為區(qū)域，而流速是常向量，則在單位時間內(nèi)流過流體組成一個底面積，斜高為的斜柱體，其體積為 ，即 。 若為曲面，流速不是常向量，則用下面的方法計算流量。（1）分割 將意分成小塊， 同時代表其面積。（2）近似 ，在是光滑的連續(xù)的前提下，以點處的流速和單位法向量分別代替上其他各點處的流速和單位法向量，得到流過指定側(cè)的流量的近似值： 。（3）求和 。（4）取極限 設，則。二、第二型曲面積分的定義 設向量場所在空間中的一個有向光滑曲面。將任意分成小塊，其面積亦記為，設。 ，處的

3、單位法向量，作和式 ，如果，上述和式恒有同一極限，則稱此極限值為的第二型曲面積分，記為，即 。注：（1）當在有向曲面連續(xù)時，其第二型曲面積分存在。 （2）流體流向有向曲面指定側(cè)的流量 。三、第二型曲面積分的性質(zhì) 設，（1）(為常數(shù))；（2） ()；（3）（與是同一曲面的兩側(cè)）。四、第二型曲面積分的數(shù)量表達式 設， ，則 ， 其中為曲面的面積元素。 記， 稱為曲面的面積元向量。 則， 從而。 ；。 它們的取值可正、可負、也可為零。如當時，取正號；當時，取負號。特殊形式：稱為對坐標的曲面積分； 稱為對坐標的曲面積分； 稱為對坐標的曲面積分。10.4.3 第二型曲面積分的計算 以為例說明第二型曲面積

4、分的計算方法。 ：，。 在面上的投影區(qū)域為， 在上連續(xù)，則 。 ，又取上側(cè)，表示平面上的投影區(qū)域的面積（仍記為）的近似值， 即 ； 令，當時， 。 若取下側(cè)，則， 。定理：設函數(shù)在有向光滑曲面：，上連續(xù)，則有 （上側(cè)取正，下側(cè)取負。） 若曲面為：，則有 （前側(cè)取正，后側(cè)取負。） 若曲面為：，則有 （右側(cè)取正，左側(cè)取負。） 將第二型曲面積分化為二重積分的方法 一代：將曲面代入被積函數(shù)； 二投：將曲面到坐標平面。（例如：積分中含，則應向面投影。） 三定號：由曲面所給定的方向即其側(cè)來決定取正號還是取負號； 四換域：改變積分域，曲面。例1計算，（1）為錐面在部分的下側(cè)；（2）為錐面與平面所圍曲面的內(nèi)側(cè)。解：（1）：，下側(cè)， ：， 。（2）， ：，上側(cè)； ：，下側(cè)；：。 。例2計算，其中是正六面體的外側(cè)（如圖所示）。解：，o ：的前側(cè)； ：的后側(cè)； ：的右側(cè)； ：的左側(cè)； ：的上側(cè)； ：的下側(cè)； 除、外，其余四片曲面在面上的投影為零， 同理； ， 。例3計算，其中球面的外側(cè)。解：由輪換對稱性，得 。 ， ：，上側(cè)； ：，下側(cè)。 ：。 。例4計算， 是球面的外側(cè)。解：令，：。 而 （：） 同理，。由二重積分的幾何意義得10.4.4 兩類曲面積分的關系 設指向側(cè)的單位法向量，則有 即向量值函數(shù)在有向上的第二型曲面積分等于數(shù)量值函數(shù)在上的第一型曲面積分。例5計算