1、5 等參單元與數(shù)值積分,第2節(jié) 四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元,Institute of Mechanical Engineering and Automation,第1節(jié) 概述,第3節(jié) 數(shù)值積分,第4節(jié) 小結(jié),前面介紹的三角形單元和四面體單元，其邊界都是直線和平面，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的曲邊和曲面外形，只能通過減小單元尺寸，增加單元數(shù)量進(jìn)行逐漸逼近。這樣，自由度的數(shù)目隨之增加，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，工作量大。另外，這些單元的位移模式是線性模式，是實(shí)際位移模式的最低級(jí)逼近形式，問題的求解精度受到限制。,為了克服以上缺點(diǎn)，人們?cè)噲D找出這樣一種單元：一方面，單元能很好地適應(yīng)曲線邊界和曲面邊界，準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)形狀；另一方面，

2、這種單元要具有較高次的位移模式，能更好地反映結(jié)構(gòu)的復(fù)雜應(yīng)力分布情況，即使單元網(wǎng)格劃分比較稀疏，也可得到較好的計(jì)算精度。等參數(shù)單元（等參元）就具備了以上兩條優(yōu)點(diǎn)，因此，得到廣泛應(yīng)用。,第1節(jié) 概 述,概 述,第1節(jié) 概 述,用直邊單元離散曲邊的求解域勢(shì)必要用更多的單元數(shù)才能較準(zhǔn)確地描述實(shí)際邊界。本章將要介紹的等參元(Isoparametric Element ) 是目前應(yīng)用最廣的一類單元，可用這類單元更精確的描述不規(guī)則的邊界。等參數(shù)單元在構(gòu)造形函數(shù)時(shí)首先定義一個(gè)規(guī)則的母體單元(參考單元/標(biāo)準(zhǔn)單元)，在母體單元上構(gòu)造形函數(shù)，再通過等參數(shù)變換將實(shí)際單元與母體單元聯(lián)系起來(lái)。變換涉及兩個(gè)方面：幾何圖形的

3、變換(坐標(biāo)變換)和位移場(chǎng)函數(shù)的變換(母單元的位移模式)，由于兩種變換均采用了相同的函數(shù)關(guān)系(形函數(shù))和同一組結(jié)點(diǎn)參數(shù)，故稱其為等參變換。,概 述,Institute of Mechanical Engineering and Automation,采用等參數(shù)單元的意義,1. 找到結(jié)構(gòu)物實(shí)際變形的模式，然后取與實(shí)際變形模式一致的單元離散結(jié)構(gòu)物。 2. 從三角形單元到矩形單元，隨著單元位移函數(shù)中變量?jī)绱蔚脑黾觿t單元內(nèi)應(yīng)力位移的計(jì)算精度提高，所以就需要找一些高階的多項(xiàng)式作為單元的位移模式建立新的單元。常用的多項(xiàng)式是根據(jù)楊輝三角形的次序建立的。 3. 由于項(xiàng)數(shù)取得多就必須增加單元的自由度，即增加單元節(jié)

4、點(diǎn)，于是就出現(xiàn)了等參數(shù)單元。,等參元的基本思想：首先導(dǎo)出關(guān)于局部坐標(biāo)系的規(guī)整形狀的單元（母單元）的高階位移模式的形函數(shù)，然后利用形函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到關(guān)于整體坐標(biāo)系的復(fù)雜形狀的單元（子單元），這種子單元的位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式都用相同的形函數(shù)與結(jié)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行插值，稱其為等參元。,每一種等參數(shù)單元有二種形式：一種形式在局部座標(biāo) 或 中，是以邊長(zhǎng)為2的正方形單元或邊長(zhǎng)為2的立方體單元用作計(jì)算稱為母單元；另一種形式在整體座標(biāo) x y或x y z中，通過母單元映射到整體座標(biāo)上的單元用于離散結(jié)構(gòu)物稱為子單元。由于母單元上的位移函數(shù)與座標(biāo)變換的函數(shù)具有相同的參數(shù)。這就是等參數(shù)單元名稱的來(lái)由。,母

5、單元的位移函數(shù): 座標(biāo)變換的映射關(guān)系:,等參數(shù)單元,5-2-1 四邊形四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元,其中,母單元,第2節(jié) 四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元,若以母單元上12邊為例，通過映射可得在平面內(nèi)任一直線，12邊的方程為= -1，代入,通過局部座標(biāo)與整體座標(biāo)的映射關(guān)系把母單元變換到整體座標(biāo)上成為一個(gè)任意四邊形用于離散結(jié)構(gòu)物，它能適合于任意曲邊的形狀。,四邊形四節(jié)點(diǎn)單元位移模式:,同理可得,把以參數(shù) 代表的 x方程和 y方程消去 ，則得 x , y 所組成的直線方程 y=kx+b 所以母單元上的四個(gè)邊都可以通過映射在x, y座標(biāo)面上得出一個(gè)任意四邊形，用該四邊形離散結(jié)構(gòu)物。,四邊形四節(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)變,i = 1,2

6、,3,4,其中,其中,第八章 等參數(shù)單元,由于形函數(shù) N 是 x, y的函數(shù)，現(xiàn)對(duì), 求導(dǎo)，這是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),把上二式寫成矩陣形式,其中,稱為雅可比(Jacobian)矩陣 為了把 Bi矩陣中的Ni,x和 Ni,y化成 Ni,和 Ni, ，則代入下式,其中雅可比矩陣的逆陣由下式給出,也可把形函數(shù)Ni對(duì)的, 偏導(dǎo)數(shù)寫成通式: i= 1,2,3,4,四邊形四節(jié)點(diǎn)單元的應(yīng)力,對(duì)于平面應(yīng)力情況,四邊形四節(jié)點(diǎn)單元的剛度矩陣Ke:,Ke可劃分成四行四列的子矩陣 :,i, j = 1,2,3,4,對(duì)于平面應(yīng)力情況:,等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算: 1. 集中力的等效節(jié)點(diǎn)力: 由于計(jì)算復(fù)雜，把有集中力處設(shè)置為節(jié)點(diǎn)。 2.

7、體枳力的等效節(jié)點(diǎn)力:,展開后,i= 1,2,3,4,單元上某一點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力,由于表面力的運(yùn)算是曲線積分，所以常把 qx ,qy化成切線,展開后,單元上某一點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力,i=1,2,3,4,3. 表面力的等效節(jié)點(diǎn)力:,第八章 等參數(shù)單元,把用 , 表示 qx , qy的代入,i=1 ,2 3. 4,若以母單元上的34邊為例，則 =1,i= 3,4,求解是否收斂還需看位移函數(shù)是否滿足三個(gè)條件: 位移函數(shù)中包含有剛體位移 位移函數(shù)中包含有常應(yīng)變 位移函數(shù)內(nèi)部連續(xù)和邊界協(xié)調(diào) 由于剛體位移和常應(yīng)變狀態(tài)可寫成下列形式:,第八章 等參數(shù)單元,5-2-2 等參數(shù)單元的收斂性,但上二式可化成下式:,根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)

8、: Ni=1,第八章 等參數(shù)單元,所以構(gòu)成的位移函數(shù)包含剛體位移和常應(yīng)變 多項(xiàng)式在單元內(nèi)部無(wú)奇異點(diǎn)，所以連續(xù)。相鄰單元的邊界上可由線上節(jié)點(diǎn)座標(biāo)唯一確定，而母單元相鄰邊界都是直線，且形函數(shù)相同，所以交界線上的位移由節(jié)點(diǎn)位移唯一確定，相鄰單元連續(xù)。,則上二式都化成,第3節(jié) 數(shù)值積分,問題的提出,Institute of Mechanical Engineering and Automation,第3節(jié) 數(shù)值積分,數(shù)值積分方法,Institute of Mechanical Engineering and Automation,第3節(jié) 數(shù)值積分,數(shù)值積分方法,Institute of Mechani

9、cal Engineering and Automation,現(xiàn)將常見的高斯點(diǎn)坐標(biāo)和權(quán)系數(shù)列成下表：,第3節(jié) 數(shù)值積分,數(shù)值積分方法,第3節(jié) 數(shù)值積分,有限元解的誤差,Institute of Mechanical Engineering and Automation,第3節(jié) 數(shù)值積分,有限元解的誤差,Institute of Mechanical Engineering and Automation,等參數(shù)單元,等參元具有以下優(yōu)點(diǎn)：,1）可以模擬曲線和曲面邊界，適用于處理各種復(fù)雜邊界條件。 2）這種單元具有較高次的位移模式，能更好地反映結(jié)構(gòu)的 復(fù)雜應(yīng)力分布情況，計(jì)算精度較好。 3）推導(dǎo)過程具有通用性。一維、二維和三維的推導(dǎo)方法基本 相同。 4）應(yīng)用范圍廣。在平面和空間連續(xù)體、桿系結(jié)構(gòu)和板殼問題中都可應(yīng)用。 5）可以靈活的增減結(jié)點(diǎn)，容易構(gòu)造各種過渡單元。,第4節(jié) 小 結(jié),小結(jié),Institute of Mechanical Engineering and Automation,等參數(shù)單元是目前應(yīng)用最廣的一類單元，它的邊可直可曲，精度可高可低。由于采用數(shù)值積分，處理材料非線性問題不會(huì)遇到新的困難。鑒于這些優(yōu)點(diǎn)，在一些通用分析程序中，