1、第2章 質(zhì)點動力學,質(zhì)點動力學(4),2.4 勢能 機械能守恒定律,（1）重力的功,2.4.1 保守力的功,在a、b上任取位移元 ,重力 在 上的元功,總功,質(zhì)點在重力作用下, 沿曲線從a到b , 計算重力的功。,重力做功與路徑無關(guān),（2）彈性力的功,質(zhì)點在彈力作用下, 從a 到 b , 計算彈力的功。,在a、b上(x處)任取位移元,上作用于質(zhì)點的力,從a到b, 彈力的總功,彈力做功也與路徑無關(guān),在 上的元功,（3）萬有引力的功,設M 不動, 質(zhì)點m在M 的引力作用下, 沿曲線從a 到 b , 計算萬有引力的功。,在 上的元功,從a到b, 的總功,在a、b上任取位移元 ， 上作用于m的引力,保

2、守力：,做功與路徑無關(guān)的力。,不具備這種性質(zhì)的力稱為非保守力,萬有引力的功也與路徑無關(guān)。,重力、彈力、萬有引力有一共同特點-做功的值與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)。稱這些力為保守力。,保守力的數(shù)學判據(jù),2.4.2 勢 能,重力、彈力、萬有引力做功的結(jié)果,以上三式左邊都是保守力的功，右邊都是兩個與物體位置有關(guān)的函數(shù)的差的負值。功總與能量的變化相聯(lián)系。,這種由相互作用的物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量稱為勢能,保守力的功與勢能的關(guān)系,保守力的功數(shù)值上等于系統(tǒng)勢能增量的負值。,注意,引力勢能：,若取無限遠處為勢能零點，則質(zhì)點在r處的引力勢能為,若取 b點為勢能零點 ，則質(zhì)點在a 點的勢能為：,即，質(zhì)點在

3、某一點的勢能，數(shù)值上等于質(zhì)點從該點經(jīng)任意路徑到勢能零點保守力所做的功。,重力勢能：,彈性勢能：,若取h = 0處為重力勢能零點，則質(zhì)點在h高處的重力勢能為,若取彈簧自由端x = 0處為彈性勢能零點，則質(zhì)點在x處的彈性勢能為,（1）質(zhì)點系動能定理,2.4.3 機械能守恒定律,動能定理運用于系統(tǒng)內(nèi)第 i 個質(zhì)點,若系統(tǒng)內(nèi)有n個質(zhì)點，對所有質(zhì)點求和，有,或簡寫為,即：所有外力對質(zhì)點系做的功和內(nèi)力對質(zhì)點系做的功之和等于質(zhì)點系總動能的增量。質(zhì)點系動能定理。,內(nèi)力可以改變系統(tǒng)的總動能。,質(zhì)點系相互作用的內(nèi)力可能是保守內(nèi)力，也可能是非保守內(nèi)力。,質(zhì)點系動能定理重寫為,（2）質(zhì)點系功能原理,代入并整理得：,稱

4、為機械能, 質(zhì)點系功能原理,則,（3）機械能守恒定律,即：如果一個系統(tǒng)只有保守內(nèi)力做功，非保守內(nèi)力和一切外力都不做功，那么系統(tǒng)的總機械能保持不變。, 機械能守恒定律,系統(tǒng)機械能守恒的條件：,注意,解：,(1) 質(zhì)點的速度由牛頓第二定律求得,例3. 質(zhì)量為m的質(zhì)點在指向圓心的平方反比力 的作用下,作半徑為 r 的圓周運動,(1)求質(zhì)點的速度v; (2)若取距圓心無限遠處為勢能的零點,計算該質(zhì)點的機械能E。,(2) 質(zhì)點的機械能,例4.如圖,設小車與斜面的摩擦系數(shù)為 ,問小車應以多大的初速度 才能在關(guān)閉發(fā)動機后沖上長為L ,傾角為 的斜坡。,視小車為質(zhì)點, 它受三個力作用, 如圖.,取沿斜面向上的方向為正, 由牛頓第二定律,取小車+地球為系統(tǒng), 重