1、第二講 一階/謂詞邏輯,在Ls中，把命題分解到原子命題為止，認(rèn)為原子命題是不能再分解的，僅僅研究以原子命題為基本單位的復(fù)合命題之間的邏輯關(guān)系和推理。這樣，有些推理用命題邏輯就難以確切地表示出來。例如，著名的亞里士多德三段論蘇格拉底推理：,退出,所有的人都是要死的， 蘇格拉底是人， 所以蘇格拉底是要死的。 根據(jù)常識，認(rèn)為這個(gè)推理是正確的。但是，若用Ls來表示，設(shè)P、Q和R分別表示這三個(gè)原子命題，則有 P，QR,然而，(PQ)R并不是永真式，故上述推理形式又是錯(cuò)誤的。一個(gè)推理，得出矛盾的結(jié)論，問題在哪里呢? 問題就在于這類推理中，各命題之間的邏輯關(guān)系不是體現(xiàn)在原子命題之間，而是體現(xiàn)在構(gòu)成原子命題的

2、內(nèi)部成分之間，即體現(xiàn)在命題結(jié)構(gòu)的更深層次上。對此，Ls是無能為力的。所以，在研究某些推理時(shí)，有必要對原子命題作進(jìn)一步分析，分析出其中的個(gè)體詞，謂詞和量詞，研究它們的形式結(jié)構(gòu)的邏輯關(guān)系、正確的推理形式和規(guī)則，這些正是謂詞邏輯（簡稱為Lp）的基本內(nèi)容。,2.1 個(gè)體、謂詞和量詞 2.2 謂詞公式與翻譯 2.3 約束變元與自由變元 2.4 公式解釋與類型 2.5 等價(jià)式與蘊(yùn)涵式 2.6 謂詞公式范式 2.7 謂詞邏輯的推理理論,2.1 個(gè)體、謂詞和量詞,在Lp中，命題是具有真假意義的陳述句。從語法上分析，一個(gè)陳述句由主語和謂語兩部分組成。在Lp中，為揭示命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其不同命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系，就按照

3、這兩部分對命題進(jìn)行分析，并且把主語稱為個(gè)體或客體，把謂語稱為謂詞。,.個(gè)體、謂詞和命題的謂詞形式 定義2.1.1 在原子命題中，所描述的對象稱為個(gè)體；用以描述個(gè)體的性質(zhì)或個(gè)體間關(guān)系的部分，稱為謂詞。 個(gè)體，是指可以獨(dú)立存在的事物，它可以是具體的，也可以是抽象的，如張明，計(jì)算機(jī)，精神等。表示特定的個(gè)體，稱為個(gè)體常元，以a，b，c或帶下標(biāo)的ai，bi，ci表示；表示不確定的個(gè)體，稱為個(gè)體變元，以x，y，z或xi，yi，zi表示。,謂詞，當(dāng)與一個(gè)個(gè)體相聯(lián)系時(shí)，它刻劃了個(gè)體性質(zhì)；當(dāng)與兩個(gè)或兩個(gè)以上個(gè)體相聯(lián)系時(shí)，它刻劃了個(gè)體之間的關(guān)系。表示特定謂詞，稱為謂詞常元，表示不確定的謂詞，稱為謂詞變元，都用大寫

4、英文字母，如P，Q，R，或其帶上、下標(biāo)來表示。,例如，在命題“張明是位大學(xué)生”中，“張明”是個(gè)體，“是位大學(xué)生”是謂詞，它刻劃了“張明”的性質(zhì)。設(shè)S：是位大學(xué)生，c：張明，則“張明是位大學(xué)生”可表示為S(c)，或者寫成S(c)：張明是位大學(xué)生。 又如，在命題“武漢位于北京和廣州之間”中，武漢、北京和廣州是三個(gè)個(gè)體，而“位于和之間”是謂詞，它刻劃了武漢、北京和廣州之間的關(guān)系。設(shè)P：位于和之間，a：武漢，b：北京，c：廣州，則P(a，b，c)：武漢位于北京和廣州之間。,定義2.1.2 一個(gè)原子命題用一個(gè)謂詞(如P)和n個(gè)有次序的個(gè)體常元(如a1，a2，an)表示成P(a1，a2，an)，稱它為該原

5、子命題的謂詞形式或命題的謂詞形式。 應(yīng)注意的是，命題的謂詞形式中的個(gè)體出現(xiàn)的次序影響命題的真值，不是隨意變動(dòng)，否則真值會有變化。如上述例子中，P(b,a,c)是假。,.原子謂詞公式 原子命題的謂詞形式還可以進(jìn)一步加以抽象，比如在謂詞右側(cè)的圓括號內(nèi)的n個(gè)個(gè)體常元被替換成個(gè)體變元，如x1,x2,xn，這樣便得了一種關(guān)于命題結(jié)構(gòu)的新表達(dá)形式，稱之為n元原子謂詞。 定義2.1.3 由一個(gè)謂詞(如P)和n個(gè)體變元(如x1，x2，xn)組成的P(x1，x2，xn)，稱它為n元原子謂詞或n元命題函數(shù)，簡稱n元謂詞。而個(gè)體變元的論述范圍，稱為個(gè)體域或論域。,當(dāng)n=1時(shí)，稱一元謂詞；當(dāng)n=2時(shí)，稱為二元謂詞，。

6、特別地，當(dāng)n=0，稱為零元謂詞。零元謂詞是命題，這樣命題與謂詞就得到了統(tǒng)一。,n元謂詞不是命題，只有其中的個(gè)體變元用特定個(gè)體或個(gè)體常元替代時(shí)，才能成為一個(gè)命題。但個(gè)體變元在哪些論域取特定的值，對命題的真值極有影響。 例如，令S(x)：x是大學(xué)生。若x的論域?yàn)槟炒髮W(xué)的計(jì)算機(jī)系中的全體同學(xué)，則S(x)是真的；若x的論域是某中學(xué)的全體學(xué)生，則S(x)是假的；若x的論域是某劇場中的觀眾，且觀眾中有大學(xué)生也有非大學(xué)生的其它觀眾，則S(x)是真值是不確定的。,通常，把一個(gè)n元謂詞中的每個(gè)個(gè)體的論域綜合在一起作為它的論域，稱為n元謂詞的全總論域。定義了全總論域，為深入研究命題提供了方便。當(dāng)一個(gè)命題沒有指明論

7、域時(shí)，一般都從全總論域作為其論域。而這時(shí)又常常要采用一個(gè)謂詞如P(x)來限制個(gè)體變元x的取值范圍，并把P(x)稱為特性謂詞。,.量詞 利用n元謂詞和它的論域概念，有時(shí)還是不能用符號來很準(zhǔn)確地表達(dá)某些命題，例如S(x)表示x是大學(xué)生，而x的個(gè)體域?yàn)槟硢挝坏穆毠?，那么S(x)可表示某單位職工都是大學(xué)生，也可表示某單位有一些職工是大學(xué)生，為了避免理解上的歧義，在Lp中，需要引入用以刻劃“所有的”、“存在一些”等表示不同數(shù)量的詞，即量詞，其定義如下：,定義2.1.4 符號稱為全稱量詞符，用來表達(dá)“對所有的”、“每一個(gè)”、“對任何一個(gè)”、“一切”等詞語；x稱為全稱量詞，稱x為指導(dǎo)變元。 符號稱為存在量詞

8、符，用來表達(dá)“存在一些”、“至少有一個(gè)”、“對于一些”、“某個(gè)”等詞語；x稱為存在量詞，x稱為指導(dǎo)變元。,*符號!稱為存在唯一量詞符，用來表達(dá)“恰有一個(gè)”、“存在唯一”等詞語；!x稱為存在唯一量詞，稱x為指導(dǎo)變元。 全稱量詞、存在量詞、存在唯一量詞統(tǒng)稱量詞。量詞記號是由邏輯學(xué)家Fray引入的，有了量詞之后，用邏輯符號表示命題的能力大大加強(qiáng)了。,例 試用量詞、謂詞表示下列命題： 所有大學(xué)生都熱愛祖國； 每個(gè)自然數(shù)都是實(shí)數(shù)； 一些大學(xué)生有遠(yuǎn)大理想； 有的自然數(shù)是素?cái)?shù)。,解 令S(x)：x是大學(xué)生，L(x)：x熱愛祖國，N(x)：x是自然數(shù)，R(x)：x是實(shí)數(shù)，I(x)：x有遠(yuǎn)大理想，P(x)：x是

9、素?cái)?shù)。 則例中各命題分別表示為： (x)(S(x)L(x) (x)(N(x)R(x) (x)(S(x)I(x) (x)(N(x)P(x),在該例的解答中，由于命題中沒有指明個(gè)體域，這便意味著各命題是在全總論域中討論，因而都使用了特性謂詞，如S(x)、N(x)。而且還可以看出，量詞與特性謂詞的搭配還有一定規(guī)律，即全稱量詞后跟一個(gè)條件式，而特性謂詞作為其前件出現(xiàn)；存在量詞后跟一個(gè)合取式，特性謂詞作為一個(gè)合取項(xiàng)出現(xiàn)。,如果在解答時(shí)，指明了個(gè)體域，便不用特性謂詞，例如在、中令個(gè)體域?yàn)槿w大學(xué)生，和中的個(gè)體域?yàn)槿孔匀粩?shù)，則可符號化為： (x)L(x) (x)R(x) (x)I(x) (x)P(x),謂

10、詞前加上了量詞，稱為謂詞的量化。若一個(gè)謂詞中所有個(gè)體變元都量化了，則該謂詞就變成了命題。這是因?yàn)樵谥^詞被量化后，可以在整個(gè)個(gè)體域中考慮命題的真值了。這如同數(shù)學(xué)中的函數(shù)f(x)，的值是不確定的，但 可確定其值。,2.2 謂詞公式與翻譯,.謂詞公式 為了方便處理數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的邏輯問題及謂詞表示的直覺清晰性，將引進(jìn)項(xiàng)的概念。 定義2.2.1 項(xiàng)由下列規(guī)則形成： 個(gè)體常元和個(gè)體變元是項(xiàng)； 若f是n元函數(shù)，且t1，t2，tn是項(xiàng)，則f(t1，t2，tn)是項(xiàng)； 所有項(xiàng)都由和生成。,有了項(xiàng)的定義，函數(shù)的概念就可用來表示個(gè)體常元和個(gè)體變元。 例如，令f(x,y)表示x+y，謂詞N(x)表示x是自然數(shù)，那

11、么f(2,3)表示個(gè)體自然數(shù)5，而N(f(2,3)表示5是自然數(shù)。 這里函數(shù)是就廣義而言的。 例如P(x):x是教授，f(x):x的父親，c:張強(qiáng)，那么P(f(c)便是表示“張強(qiáng)的父親是教授”這一命題。,函數(shù)的使用給謂詞表示帶來很大方便。 例如，用謂詞表示命題：“對任意整數(shù)x，x2-1=(x+1)(x-1)是恒等式”。 解：令I(lǐng)(x):x是整數(shù)，f(x)=x2-1，g(x)=(x+1)(x-1)，E(x,y):x=y，則該命題可表示成：(x)(I(x)E(f(x),g(x)。,定義2.2.2 若P(x1，x2，xn)是n元謂詞，t1，t2，tn是項(xiàng)，則稱P(t1，t2，tn)為Ls中原子謂詞公

12、式，簡稱原子公式。 下面，由原子公式出發(fā)，給出Lp中的合式謂詞公式的歸納定義。,定義2.2.3 合式謂詞公式當(dāng)且僅當(dāng)由下列規(guī)則形成的符號串 原子公式是合式謂詞公式； 若A是合式謂詞公式，則(A)是合式謂詞公式； 若A，B是合式謂詞公式，則(AB)，(AB)，(AB)和(AB)都是合式謂詞公式； 若A是合式謂詞公式，x是個(gè)體變元，則(x)A、(x)A都是合式謂詞公式； 僅有有限項(xiàng)次使用、和形成的才是合式謂詞公式。,.謂詞邏輯的翻譯 把一個(gè)文字?jǐn)⑹龅拿}，用謂詞公式表示出來，稱為謂詞邏輯的翻譯或符號化；反之亦然。一般說來，符號化的步驟如下： 正確理解給定命題。必要時(shí)把命題改敘（換句話說），使其中每

13、個(gè)原子命題、原子命題之間的關(guān)系能明顯表達(dá)出來。,把每個(gè)原子命題分解成個(gè)體、謂詞和量詞；在全總論域討論時(shí)，要給出特性謂詞。 找出恰當(dāng)量詞。應(yīng)注意全稱量詞(x)后跟條件式，存在量詞(x)后跟合取式。 用恰當(dāng)?shù)穆?lián)結(jié)詞把給定命題表示出來。,例 將命題“沒有最大的自然數(shù)”符號化。 解： 命題中“沒有最大的”顯然是對所有的自然數(shù)而言，所以可理解為“對所有的x，如果x是自然數(shù)，則一定還有比x大的自然數(shù)”； 再具體點(diǎn)，即“對所有的x如果x是自然數(shù)，則一定存在y，y也是自然數(shù)，并且y比x大”。 令N(x): x是自然數(shù)，G(x,y): x大于y，則原命題表示為：(x)(N(x)(y)(N(y)G(y,x)。,例

14、 將語句“今天有雨雪，有些人會跌跤”符號化。 解： 本語句可理解為“若今天下雨又下雪，則存在x，x是人且x會跌跤”。 令R: 今天下雨，S: 今天下雪，M(x): x是人，F(xiàn)(x): x會跌跤，則本語句可表示為：RS(x)(M(x)F(x)。 由于人們對命題的文字?jǐn)⑹龊饫斫獾牟煌瑥?qiáng)調(diào)的重點(diǎn)不同，會影響到命題符號化的形式不同。,2.3 約束變元與自由變元,定義2.3.1 給定一個(gè)謂詞公式A，其中有一部分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，則稱它為A的x約束部分，稱B(x)為相應(yīng)量詞的作用域或轄域。在轄域中，x的所有出現(xiàn)稱為約束出現(xiàn)，x稱為約束變元；B中不是約束出現(xiàn)的其它個(gè)體變元的出現(xiàn)稱為

15、自由出現(xiàn)，這些個(gè)體變元稱自由變元。,對于給定的謂詞公式，能夠準(zhǔn)確地判定它的轄域、約束變元和自由變元是很重要的。 通常，一個(gè)量詞的轄域是某公式A的一部分，稱為A的子公式。因此，確定一個(gè)量詞的轄域即是找出位于該量詞之后的相鄰接的子公式，具體地講：,若量詞后有括號，則括號內(nèi)的子公式就是該量詞的轄域； 若量詞后無括號，則與量詞鄰接的子公式為該量詞的轄域。 判定給定公式A中個(gè)體變元是約束變元還是自由變元，關(guān)鍵是要看它在A中是約束出現(xiàn)，還是自由出現(xiàn)。,今后常用元語言符號A(x)表示x是其中的一個(gè)個(gè)體變元自由出現(xiàn)的任意公式，如A(x)可為P(x)Q(x)，P(x)(y)Q(x,y)等。一旦在A(x)前加上量

16、詞(x)或(x)，即得公式(x)A(x),或(x)A(x)。這時(shí)，x即是約束出現(xiàn)了。類似地，用A(x,y)表示x和y是自由出現(xiàn)的公式。,定義2.3.2 設(shè)A為任意一個(gè)公式，若A中無自由出現(xiàn)的個(gè)體變元，則稱A為封閉的合式公式，簡稱閉式。 由閉式定義可知，閉式中所有個(gè)體變元均為約束出現(xiàn)。 例如，(x)(P(x)Q(x)和(x)(y)(P(x)Q(x,y)是閉式，而(x)(P(x)Q(x,y)和(y)(z)L(x,y,z)不是閉式。,從下面討論可以看出，在一公式中，有的個(gè)體變元既可以是約束出現(xiàn)，又可以是自由出現(xiàn)，這就容易產(chǎn)生混淆。為了避免混淆，采用下面兩個(gè)規(guī)則： 約束變元換名規(guī)則，將量詞轄域中某個(gè)約

17、束出現(xiàn)的個(gè)體變元及相應(yīng)指導(dǎo)變元，改成本轄域中未曾出現(xiàn)過的個(gè)體變元，其余不變。 自由變元代替規(guī)則，對某自由出現(xiàn)的個(gè)體變元可用個(gè)體常元或與原子公式中所有個(gè)體變元不同的個(gè)體變元去代替，且處處代替。,換名規(guī)則與代替規(guī)則的共同點(diǎn)都是不能改變約束關(guān)系，而不同點(diǎn)是： 施行的對象不同。換名是對約束變元施行，代替是對自由變元施行。 施行的范圍不同。換名可以只對公式中一個(gè)量詞及其轄域內(nèi)施行，即只對公式的一個(gè)子公式施行；而代替必須對整個(gè)公式同一個(gè)自由變元的所有自由出現(xiàn)同時(shí)施行，即必須對整個(gè)公式施行。 例： x y ( R(x,y) L(y,z) ) xH(x,y) 換名和代替為： x y ( R(x,y) L(y,

18、z) ) tH(t,w), 施行后的結(jié)果不同。換名后，公式含義不變，因?yàn)榧s束變元只改名為另一個(gè)個(gè)體變元，約束關(guān)系不改變。約束變元不能改名為個(gè)體常元；代替，不僅可用另一個(gè)個(gè)體變元進(jìn)行代替，并且也可用個(gè)體常元去代替，從而使公式由具有普遍意義變?yōu)閮H對該個(gè)體常元有意義，即公式的含義改變了。,2.4 公式解釋與類型,1公式解釋 一般情況下，Lp中的公式含有：個(gè)體常元、個(gè)體變元（約束變元或自由變元）、函數(shù)變元、為謂詞變元等，對各種變元用指定的特殊常元去代替，就構(gòu)成了一個(gè)公式的解釋。當(dāng)然在給定的解釋下，可以對多個(gè)公式進(jìn)行解釋。下面給出解釋的一般定義。,定義2.4.1 一個(gè)解釋I由下面4部分組成： 非空個(gè)體域

19、DI。 DI中部分特定元素a，b，。 DI上的特定一些函數(shù)f，g，。 DI上特定謂詞：P，Q，。 在一個(gè)具體解釋中，個(gè)體常元、函數(shù)符號、謂詞符號的數(shù)量一般是有限的，并且其解釋一旦確定下來就不再改變，只是個(gè)體變元的值在個(gè)體域DI內(nèi)變化，量詞符或僅作用于DI中的元素。,2公式類型 定義2.4.2 若一公式在任何解釋下都是真的，稱該公式為邏輯有效的，或永真的。 若一公式在任何解釋下都是假的，稱該公式為矛盾式，或永假式。 若一公式至少存在一個(gè)解釋使其為真，稱該公式為可滿足式。,從定義可知，邏輯有效式為可滿足式，反之未必成立。 與命題公式中分類一樣，謂詞公式也分為三種類型，即邏輯有效式（或重言式）、矛盾

20、式（或永假式）和可滿足式。,由于謂詞公式的復(fù)雜性和解釋的多樣性，至今還沒有一個(gè)可行的算法判定任何公式的類型。早在1936年，Churen和Turing各自獨(dú)立地證明了：對于Lp，其判定問題是不可解的。但是，Lp是個(gè)半個(gè)可判定的，即若Lp中公式是重言式，則存在算法在有限步驟內(nèi)能驗(yàn)證它。當(dāng)然，對于一些較為簡單的公式，或某些特殊公式，還是可以判定其類型的。 例如，如果一個(gè)謂詞公式是命題公式中的重言式的代換實(shí)例，則這個(gè)謂詞公式是邏輯有效式（或重言式）。 見教材P44 例2.9,2.5 等價(jià)式與蘊(yùn)涵式,1等價(jià)式 定義2.5.1 設(shè)A、B為任意兩個(gè)公式，若AB為邏輯有效的，則稱A與B是等價(jià)的，記為AB，稱

21、AB為等價(jià)式。 由于重言式(永真式)都是邏輯有效的，可見1.3節(jié)中的命題定律（基本等價(jià)式）都是Lp 等價(jià)式。,此外，還有一置換規(guī)則： 設(shè)(A)是含有A出現(xiàn)的公式，(B)是用公式B替換若干個(gè)公式A的結(jié)果。若AB，則(A) (B)。 顯然，若(A)為重言式，則(B)也是重言式。,下面給出涉及量詞的一些等值式。 (1) 量詞否定等值式（量詞可互相轉(zhuǎn)化）： (a)(x)A(x)A (b)(x)A(x)A,這兩個(gè)等值式，可用量詞的定義給予說明。 由于“并非對一切x，A為真”等價(jià)于“存在一些x，A為真”，故(a)成立。 由于“不存在一些x，A為真”等價(jià)于“對一切x，A為真”，所以(b)成立。 這兩個(gè)等值式

22、的意義是：否定聯(lián)結(jié)詞可通過量詞深入到轄域中。對比這兩個(gè)式子，容易看出，將(x)與(x)兩者互換，可從一個(gè)式子得到另一個(gè)式子，這表明(x)與(x)具有對偶性。另外，由于這兩個(gè)公式成立也表明了，兩個(gè)量詞是不獨(dú)立的，可以互相表示，所以只有一個(gè)量詞就夠了。,對于多重量詞前置“”，可反復(fù)應(yīng)用上面結(jié)果，逐次右移。例如， (x)(y)(z)P(x,y,z)(x)(y)(z)P(x,y,z) （2） 量詞轄域縮小或擴(kuò)大等值式 設(shè)B是不含x自由出現(xiàn)，A(x)為有x自由出現(xiàn)的任意公式，則有：,(a) (x)(A(x)B)(x)A(x)B (b) (x)(A(x)B)(x)A(x)B (c) (x)(A(x)B)(

23、x)A(x)B (d) (x)(BA(x)B(x)A(x) (e) (x)(A(x)B)(x)A(x)B (f) (x)(A(x)B)(x)A(x)B (g) (x)(A(x)B)(x)A(x)B (h) (x)(BA(x)B(x)A(x)。 運(yùn)用(c) 、 (g)時(shí)要小心！,(3) 量詞分配律等值式： (a) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) (b) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) 其中，A(x)，B(x)為有x自由出現(xiàn)的任何公式。 (4) 多重量詞等值式 (a) (x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y) (b) (x)(y)A(x,y)(y

24、)(x)A(x,y) 其中A(x,y)為含有x， y自由出現(xiàn)的任意公式。,2. 蘊(yùn)涵式 由于Ls中蘊(yùn)涵式（或永真條件式）在Lp中都是邏輯有效的，而且使用代入規(guī)則得到蘊(yùn)涵式也都是Lp中邏輯有效的。 例如：(x)P(x)(x)P(x)(y)Q(y) 附加 (x)P(x)Q(x,y)(x)P(x) Q(x,y) 假言推理,下面將給出Lp中的一些蘊(yùn)涵式。 (1) (a)(x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x) (b) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) (c) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) (d) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x

25、) 其中，A(x)和B(x)為含有x自由出現(xiàn)的任意公式。,2.6 謂詞公式范式,.前束范式 定義2.9.1 一個(gè)合式公式稱為前束范式，如果它有如下形式： (Q1x1)(Q2x2)(Qkxk)B 其中Qi(1ik)為或，B為不含有量詞的公式。稱Q1x1Q2x2Qkxk為公式的首標(biāo)。 特別地，若中無量詞，則也看作是前束范式。,可見，前束范式的特點(diǎn)是，所有量詞均非否定地出現(xiàn)在公式最前面，且它的轄域一直延伸到公式之末。 例如，(x)(y)(P(x,y)Q(y,z), R(x,y)等都是前束范式，而(x)P(x)(y)Q(y)，(x)(P(x)(y)Q(x,y)不是前束范式。 定理2.6.1 (前束范式

26、存在定理) Lp中任意公式A都有與之等價(jià)的前束范式。 本教材轉(zhuǎn)化前束范式原則：能不換名就不換！ 見教材P47 例2.11,求公式的前束范式,（1）x(F(x)G(x) x H (x, y) （2） ( x F(x, y) y G(y) ) x H (x, y) (例2.20, 例2.11(5),2.7 謂詞邏輯的推理理論,Lp是Ls的進(jìn)一步深化和發(fā)展，因此Ls的推理理論在Lp中幾乎可以完全照搬，只不過這時(shí)涉及的公式是Lp的公式罷了。在Lp中，某些前提和結(jié)論可能受到量詞的約束，為確立前提和結(jié)論之間的內(nèi)部聯(lián)系，有必要消去量詞和添加量詞，因此正確理解和運(yùn)用有關(guān)量詞消去和添加規(guī)則是Lp推理理論中十分重

27、要的關(guān)鍵所在。,在一階邏輯中，推理的形式結(jié)構(gòu)仍為： 若(H1H2Hn)C是邏輯有效式，則稱C是H1，H2，Hn的邏輯結(jié)論，記為 (H1H2Hn)C 除命題邏輯的11條規(guī)則外，加上前面證明的： (a)(x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x) (b) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) (c) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x) (d) (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x),.有關(guān)量詞消去和產(chǎn)生規(guī)則 還要用到以下4條推理規(guī)則 注意：其中A B不一定表示A B是邏輯有效式，而只表示在一定條件下，當(dāng)A為真時(shí)，B也為真的推理關(guān)系。,全稱量詞

28、消去規(guī)則 (簡稱UI或US規(guī)則， -) 有兩種形式：(x)A(x)A(c) (x)A(x)A(y) 成立充分條件是： c為論域中任意個(gè)體常項(xiàng)， y為論域中任一個(gè)體 ； x 在A(x)中是自由出現(xiàn)的； y為任意的不在A(x)中約束出現(xiàn)的個(gè)體變項(xiàng)。,(2) 存在量詞消去規(guī)則 (簡稱EI或ES規(guī)則， -) (x)A(x)A(c) 成立充分條件是：c是使A為真的特定個(gè)體常項(xiàng)； c不曾在A(x)中出現(xiàn)過； 若A(x)中有其它自由變項(xiàng)時(shí)，不能應(yīng)用本規(guī)則。,(3) 全稱量詞產(chǎn)生規(guī)則 (簡稱UG規(guī)則， +) A(y)(x)A(x) 成立條件： y在A(y)中自由出現(xiàn)，且y取任何值時(shí)A均為真；取代y的x不能在A

29、(y)中約束出現(xiàn)； A(y)中含有個(gè)體常項(xiàng)時(shí)，要小心使用。,(4) 存在量詞產(chǎn)生規(guī)則 (簡稱EG規(guī)則， +) A(c)(x)A(x) 成立充分條件： c是特定的個(gè)體常項(xiàng)； 取代c的個(gè)體變元x不能已在A(c)中出現(xiàn)過。,錯(cuò)在哪里（P53 例2.18）？,（1） x(F(x)G(x) P （2） F(y)G(y) （1）UI （3） x F(x) P （4） F(y) （3）EI （5） G(y) （2）（4）假言推理 （6） x G(x) （5）UG,錯(cuò)在哪里（P53 例2.18） ？,（1） x y F(x, y) P （2） y F(z, y) （1）UI （3） F(z, c) （2）EI

30、 （4） x F(x, c) （3）UG （5） y x F(x, y) （4）EG,錯(cuò)在哪里（P57 習(xí)題2.16） ？,（1） x F(x)G(x) 前提引入 F(y)G(y) UI （2） x ( F(x) G(x) ) 前提引入 F(a) G(b) UI （3） F(x)G(x) 前提引入 y (F(y)G(y) EG （4） F(x)G(c) 前提引入 x (F(x)G(x) EG （5） F(a)G(b) 前提引入 x (F(x)G(x) EG,錯(cuò)在哪里（P57 習(xí)題2.16） ？,(6) x (F(x) G(x) 前提引入 y (H(y) R(y) 前提引入 F(c) G(c) EI F(c) 化簡 H(c) R(c