1、拉普拉斯變換及反變換,一、拉氏變換及其特性 1、 拉氏變換定義,如果有一個以時間,為自變量的實變函數(shù),，它的定義域是,，那么,的拉普,拉斯變換定義為,式中，s是復(fù)變數(shù)，,（ 、,均為實數(shù)），,稱為拉普拉斯積分；,是函數(shù),的拉氏變化，它是一個復(fù)變函數(shù)，,通常稱,為,的象函數(shù)，而稱,為,的原函數(shù)；L是表示進行拉氏變換的符號。,拉氏變換是這樣一種變換，即在一定的條件下，它能把一實數(shù)域中的實變函數(shù),變換為一個在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價的,復(fù)變函數(shù) 。,1）、 典型函數(shù)的拉氏變換,（k =const）,單位階躍函數(shù)，記作1( t ),（1）階躍函數(shù)（位置函數(shù)）,（2）斜坡函數(shù)（又稱速度函數(shù)）,（k =const

2、）,單位斜坡函數(shù),（3）拋物函數(shù)（又稱加速度函數(shù)）,（k =const）,單位拋物函數(shù),（4）單位脈沖函數(shù),重要性質(zhì),（5）指數(shù)函數(shù),指數(shù)增長函數(shù),指數(shù)衰減函數(shù),指數(shù)增長函數(shù),指數(shù)衰減函數(shù),（6）正弦函數(shù),（7）余弦函數(shù),2、拉氏變換的運算法則,（1）線性定理,（2）延遲定理,（3）位移定理,（4）相似定理,（5）微分定理,微分定理推論,特別在零初始條件下,（6）積分定理,當初始條件為零時，則,（7）初值定理,（8）終值定理,（10）象函數(shù)的積分性質(zhì),（9）象函數(shù)的微分性質(zhì),的拉氏變換,的拉氏變換,（11）卷積定理,二、 拉氏反變換及其計算方法,式中,表示拉普拉斯反變換的符號,1、拉氏反變換,

3、由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：,方法二：查拉氏變換表求解,方法三：部分分式法,不常用解,對簡單的象函數(shù)適用,象函數(shù)為有理分式函數(shù)時適用,2、拉氏反變換的計算方法,應(yīng)用部分分式展開式計算拉氏逆變換的一般步驟 ：,（1）計算有理分式函數(shù)F（s）的極點； （2）根據(jù)極點把F（s）的分母多項式進行因式分解、并進一步把F（s）展開成部分分式； （3）對F（s）的部分分式展開式兩邊同時進行拉氏逆變換。,1）當解出 為單根時，對 F(s) 作因式分解：,其中,例,解：,（1）F（s）的極點,（2）對F（s）的分母多項式進行因式分解、并把F（s）展開成部分分式,（3）進行拉氏反變換,2）當解出s有重根時，對F(s)

4、作因式分解：,其中 ,例,解：,3）當解出 s 有共軛復(fù)根時，對 F(s) 作因式分解：,例,解：,兩邊同乘以,得,乘共軛 (-1-j2),其中,用MATLAB展開部分分式, p=1 -12 0 25 126 p = 1 -12 0 25 126,設(shè)：,在MATLAB中，多項式通過系數(shù)行向量表示，系數(shù)按降序排列。,如要輸入多項式：x4-12x3+25x+126,用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 an,MATLAB提供函數(shù)residue用于實現(xiàn)部分分式展開，其句法為：,r, p, k = residue(num, den

5、),其中，r, p分別為展開后的留數(shù)及極點構(gòu)成的列向量、k為余項多項式行向量。,若無重極點，MATLAB展開后的一般形式為：,若存在q重極點p(j)，展開式將包括下列各項：,展開式為：,展開式為：,應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程,求解步驟,將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方 程；,解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表 達式；,應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。,解：對微分方程左邊進行拉氏變換：,即：,對方程右邊進行拉氏變換：,從而：,應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始 條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式 中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù) 的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏 變換可以簡單地用sn