1、若要計(jì)算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域 時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為 的形式，其中 在 內(nèi)這個 稱為所求量U的元素，記為 ，所求量的積分表達(dá)式為,重積分的應(yīng)用,把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.,1。平面圖形的面積,由二重積分的性質(zhì)，當(dāng) f( x, y ) =1 時(shí),區(qū)域D的面積,2?？臻g立體的體積,設(shè)曲面的方程為,對三重積分而言,則曲頂柱體的體積為,由三重積分的物理意義知空間閉區(qū)域 的體積為,計(jì)算由曲面,解一,用二重積分,與 xoy 面所圍成的立體的體積,由

2、對稱性得,例1,解二,用三重積分,所圍成的立體的體積,解一,（用極坐標(biāo)）,解二,是柱形區(qū)域，用柱坐標(biāo),例2,設(shè)曲面的方程為：,如圖，,3。曲面的面積,曲面S的面積元素,設(shè)曲面的方程為：,曲面面積公式為：,設(shè)曲面的方程為：,曲面面積公式為：,同理可得,解,曲面的方程為,求半徑為R的球面的表面積,解,曲面方程為,（由對稱性）,例4,計(jì)算圓柱面,被圓柱面 所截的部分的面積,解,由對稱性可知A=8A1,A1 的方程,例5,面密度為 f(x,y) 的平面薄片的質(zhì)量,體密度為 f(x,y,z) 的空間體的質(zhì)量,4。質(zhì)量,5。平面薄片的重心,由元素法知,若薄片是均勻的，重心稱為形心.,解,6。平面薄片的轉(zhuǎn)動

3、慣量,薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量,薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量,解,解,薄片對 軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力,為引力常數(shù),7。平面薄片對質(zhì)點(diǎn)的引力,由積分區(qū)域的對稱性知,所求引力為,解,幾何應(yīng)用：曲面的面積,物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、,對質(zhì)點(diǎn)的引力,（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識）,以上我們以二重積分為例詳細(xì)介紹了二重積分的應(yīng)用，其實(shí)對三重積分也有實(shí)際應(yīng)用問題，如體積、重心坐標(biāo)、轉(zhuǎn)動慣量、空間物體對質(zhì)點(diǎn)的引力等，所有這些概念都可以從二重積分的概念中類比而得出相關(guān)的概念，建議大家類比地寫出，以加深理解。,小結(jié)：,1。平面圖形的面積,2。空間立體的體積,3。曲面的面積,曲面 z=f(x,y)在 xoy 面的投影區(qū)域?yàn)镈,關(guān)于重積分應(yīng)用,4。質(zhì)量,積分域的元素,靜力矩=質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)軸（面）距離的乘積,對各坐標(biāo)軸（面）靜力矩分別平衡點(diǎn)的坐標(biāo),平面薄片,5。重心,重心,空間立體,慣性矩=質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)到某個軸的距離平方的乘積,平面薄片,空間立體,6。轉(zhuǎn)動慣量,7。引力,方向與,o,x,y,z,。,。,在 xoy