1、6.3 等比數(shù)列,高考數(shù)學(xué),考點一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運算 1.如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與其前一項的比等于 同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示,定義的表達式為=q(nN*). 2.如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項,且G= . 3.等比數(shù)列的通項公式為an=a1qn-1和an=amqn-m. 4.等比數(shù)列的公比公式為qn-1=和qn-m=.,知識清單,5.等比數(shù)列的前n項和公式 Sn=,考點二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 1.m,n,p,qN*,若m+n=p+q,則am,an,ap,aq的關(guān)系為aman=apaq,特別地,a1a

2、n=a2an-1=. 2.若an和bn均是等比數(shù)列,則manbn仍為等比數(shù)列. 3.若公比q-1,則等比數(shù)列中依次k項的和成等比數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等比數(shù)列,其公比為qk.,等比數(shù)列中“基本量法”的解題策略 在等比數(shù)列中,把等比數(shù)列中的已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項和公比的方程,解方程組求出首項和公比的方法稱為基本量法. 在等比數(shù)列an中,一般參與運算的量為a1,q,n,an,Sn,若已知其中三個,則可求出其余兩個,即“知三求二”,但要注意其多解性. 例1(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,11)已知等比數(shù)列an的首項為1,前3項的和為13,且a2a1,則數(shù)列an的公比為

3、,數(shù)列l(wèi)og3an的前10項和為.,方法技巧,解題導(dǎo)引 利用“基本量法”,求得q利用等差數(shù)列求和公式得結(jié)論,解析設(shè)數(shù)列an的公比為q,由題易知,1+q+q2=13,所以q=-4(舍)或q=3,所以an=3n-1,log3an=n-1,故S10=45.,答案3;45,評析本題考查等比數(shù)列的概念,利用“基本量”法求公比和數(shù)列通項,等差數(shù)列求和公式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力和方程思想.,等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用的解題策略 在等比數(shù)列an中,經(jīng)常用到的性質(zhì): 1.若m+n=p+q(m,n,p,qN*),則aman=apaq,反之也成立. 2.若等比數(shù)列an的前n項積為Pn,則P2n-1=(nN*). 3

4、.若等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且公比q-1,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也成等比數(shù)列. 例2(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)第一學(xué)期期中,13)已知實數(shù)列an是等比數(shù)列,若a2a5a8=8,則+的最小值是.,解題導(dǎo)引 利用等比數(shù)列性質(zhì)化簡+利用基本不等式得結(jié)論,解析由a2a5a8=8,得a5=2,則+=+1. +=,當(dāng)且僅當(dāng)9=時取等號. a50,a30,a70,從而有a7=3a3,又a3a7=4,所以a3=,a7=2.故當(dāng) a3=,a7=2時,+取最小值,最小值為.,答案,等差、等比數(shù)列的綜合問題的解題策略 在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時,一般采用以下策略: 1.利用“整體法”,在等差數(shù)

5、列中,Sn=n,可把看成一個整 體,巧用性質(zhì),減少運算量. 2.把等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項和前n項和看成關(guān)于n的函數(shù),借助函數(shù)與方程思想解決等差與等比數(shù)列的綜合問題. 3.等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以轉(zhuǎn)換的,如an是正項等比數(shù)列,則logaan(a0,且a1)為等差數(shù)列,從而可以用類比的方法,把等差數(shù)列的一些性質(zhì)類比到等比數(shù)列中. 例3(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)第一學(xué)期期中,18)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項.,(1)求數(shù)列an的通項公式; (2)設(shè)bn=anlog2an,其前n項和為Sn,若(n-1)2m(Sn-n-1)對n2恒成立,求實

6、數(shù)m的取值范圍.,解題導(dǎo)引 利用“基本量”法求得an利用錯位相減法得Sn分離變量,構(gòu)造函數(shù), 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值利用函數(shù)的單調(diào)性得最值結(jié)論,解析(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q, 由題意可知:2(a3+2)=a2+a4,又a2+a3+a4=28, a3=8,a2+a4=20. 解得(舍),或 an=2n. (2)由(1)知,bn=n2n, Sn=12+222+323+n2n, 2Sn=22+223+324+n2n+1, 兩式相減得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1, Sn=-=(n-1)2n+1+2.,若(n-1)2m(Sn-n-1)對n2恒成立,則(n-1)2m(n-1)2n+1+2-n-1對n2恒成立, 即(n-1)2m(n-1)(2n+1-1),m對n2恒成立. 令f(n)=,則f(n+1)-f(n)=-=0對n2恒 成立, n2時, f(n)單調(diào)遞減, 故f(n)f(2)