1、第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣填一填 (1)平面的基本性質(zhì),兩點(diǎn),過不在一條直線上,一條,(2)空間兩條直線的位置關(guān)系 位置關(guān)系分類:,相交,平行,任何一個(gè)平面,平行公理(公理4)和等角定理: 平行公理:平行于同一條直線的兩條直線_. 等角定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角 _.,平行,相等或互補(bǔ),異面直線所成的角: ()定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa, bb,把a(bǔ)與b所成的_叫做異面直線a與b所成的 角(或夾角); ()范圍:_.,銳角(或直角),(3)空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,a=A,

2、1,a,0,a,無數(shù),0,=l,無數(shù),2.必備結(jié)論 教材提煉記一記 (1)唯一性定理 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行. 過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直. 過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行. 過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直. (2)異面直線的判定定理 經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線.,(3)確定平面的三個(gè)推論 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. 兩條相交直線確定一個(gè)平面. 兩條平行直線確定一個(gè)平面.,3.必用技法 核心總結(jié)看一看 (1)常用方法:同一法、反證法、平移法、輔助平面法. (2)數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸

3、思想. (3)記憶口訣:夾角和距離求法口訣: 空間距離和夾角 平行轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵 一找二證三構(gòu)造 三角形中找答案,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考判一判 (1)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分.() (2)兩個(gè)平面,有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說,相交于A點(diǎn),并記作=A.() (3)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.() (4)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b不可能是平行直線.() (5)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.(),【解析】(1)錯(cuò)誤.當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí),把空間分成三部分. (2)錯(cuò)誤.由公理3知應(yīng)交于過點(diǎn)A的一條直線. (3)錯(cuò)誤.應(yīng)相交于直線BC,而非線段. (

4、4)正確.因?yàn)槿鬰b,則由已知可得ab,這與已知矛盾. (5)錯(cuò)誤.異面或平行. 答案:(1)(2)(3)(4)(5),2.教材改編 鏈接教材練一練 (1)(必修2P43T1改編)兩兩相交的三條直線最多可確定個(gè)平面. 【解析】當(dāng)三條直線共點(diǎn)且不共面時(shí),最多可確定三個(gè)平面. 答案:3,(2)(必修2P52 B組T1改編)如圖是正方體的平面展開圖,則在這個(gè)正方體中,CN與BM所成的角為.,【解析】由展開圖得正方體如圖所示.連接AN,AC,因?yàn)锽MAN,所以ANC為異面直線CN與BM所成的角(或其補(bǔ)角),又ANC為正三角形,故ANC=60. 答案:60,3.真題小試 感悟考題試一試 (1)(2013

5、安徽高考)在下列命題中,不是公理的是() A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 B.過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面 C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi) D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線,【解析】選A.因?yàn)锽,C,D是經(jīng)過人類長(zhǎng)期反復(fù)的實(shí)踐檢驗(yàn)是真實(shí)的,不需要由其他判斷加以證明的命題和原理,是公理.而A平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行是定理而不是公理.,(2)(2015北京模擬)a,b,c是兩兩不同的三條直線,下面四個(gè)命題中,真命題是() A.若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面 B.若直線a,b相

6、交,b,c相交,則a,c相交 C.若ab,則a,b與c所成的角相等 D.若ab,bc,則ac,【解析】選C.如圖(1)知A錯(cuò);如圖(2)知B錯(cuò);如圖(3)知D錯(cuò);在直線c上任取一點(diǎn)P,過P作直線ma,則mb,因此a,b與c所成的角都等于m與c所成的角,故選C.,(3)(2014大綱版全國(guó)卷)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的余弦值為(),【解析】選B.利用平移法求兩條異面直線所成的角. 畫出正四面體ABCD的直觀圖,如圖所示.設(shè)其棱長(zhǎng)為2, 取AD的中點(diǎn)F,連接EF,CF,設(shè)EF的中點(diǎn)為O,連接CO,則 EFBD,則FEC就是異面直線CE與BD所成的角(或其補(bǔ)

7、角).由題知 ABC為等邊三角形,則CEAB,易得CE= ,同理可得CF= ,故CE=CF. 因?yàn)镺E=OF,所以COEF.又EO= EF= BD= ,所以cosFEC=,考點(diǎn)1 平面的基本性質(zhì) 【典例1】(1)(2015廈門模擬)下列四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)為() 如果兩個(gè)平面有三個(gè)不在一條直線上的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合; 兩條直線可以確定一個(gè)平面; 空間中,相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi); 若M,M,=l,則Ml. A.1B.2C.3D.4,(2)(2015長(zhǎng)沙模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點(diǎn), 求證:E,C,D1,F四點(diǎn)共面.,【解

8、題提示】(1)利用公理2,公理3及推論判斷. (2)只需證明EFCD1即可. 【規(guī)范解答】(1)選B.根據(jù)公理2,可判斷是真命題;兩條異面直線不能確定一個(gè)平面,故是假命題;在空間,相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面(如墻角),故是假命題;根據(jù)平面的性質(zhì)可知是真命題.綜上,真命題的個(gè)數(shù)為2.,(2)如圖,連接CD1,EF,A1B,因?yàn)镋,F分別是AB和AA1的中點(diǎn), 所以EFA1B且EF= A1B. 又因?yàn)锳1D1BC,且A1D1=BC, 所以四邊形A1BCD1是平行四邊形. 所以A1BCD1, 所以EFCD1, 即EF與CD1確定一個(gè)平面. 且E,F,C,D1,即E,C,D1,F四點(diǎn)共面.,【互

9、動(dòng)探究】本例第(2)題的條件不變,如何證明“CE,D1F,DA交于一點(diǎn)”? 【證明】由例題解析可知,EFCD1,且EF= CD1, 所以四邊形CD1FE是梯形. 所以CE與D1F必相交.設(shè)交點(diǎn)為P,如圖, 則PCE平面ABCD, 且PD1F平面A1ADD1. 又因?yàn)槠矫鍭BCD平面A1ADD1=AD, 所以PAD,所以CE,D1F,DA交于一點(diǎn).,【規(guī)律方法】 1.證明點(diǎn)共面或線共面的常用方法 (1)直接法:證明直線平行或相交,從而證明線共面. (2)同一法:先確定一個(gè)平面,再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi). (3)輔助平面法:先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面,再證明其余元素確定平面,最后證明平面,重合.

10、,2.證明空間點(diǎn)共線問題的方法 (1)公理法:一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn),再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上. (2)同一法:選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其余點(diǎn)也在該直線上. 3.證明三線共點(diǎn)的方法 先選取兩線交于一點(diǎn),再證明該點(diǎn)在第三線上即可.,【變式訓(xùn)練】 (2015武漢模擬)如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是 梯形,BC AD,BE FA,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn). (1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形. (2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么?,【解析】(1)由已知FG=GA,FH=HD,得GH AD. 又BC AD,所以GH BC,所以四邊形

11、BCHG是平行四邊形. (2)方法一:由BE AF,G為FA中點(diǎn)知BE GF, 所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EFBG. 由(1)知BGCH,所以EFCH, 所以EF與CH共面. 又DFH,所以C,D,F,E四點(diǎn)共面.,方法二:如圖所示,延長(zhǎng)FE,DC分別與AB交于點(diǎn)M,M. 因?yàn)锽E AF,所以B為MA的中點(diǎn). 因?yàn)锽C AD,所以B為MA的中點(diǎn), 所以M與M重合,即FE與DC交于點(diǎn)M(M), 所以C,D,F,E四點(diǎn)共面.,【加固訓(xùn)練】如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),ACBD=P,A1C1EF=Q.求證: (1)D,B,F,E四點(diǎn)共面

12、. (2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn),則P,Q,R三點(diǎn)共線.,【證明】(1)連接B1D1, 因?yàn)镋,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn), 所以EFD1B1,又D1B1DB, 則EFDB, 所以D,B,F,E四點(diǎn)共面.,(2)因?yàn)锳CBD=P,A1C1EF=Q, 所以P平面DBFE, P平面A1ACC1, Q平面DBFE,Q平面A1ACC1, 又A1C平面DBFE=R, 所以R平面DBFE,R平面A1ACC1, 所以P,Q,R在平面DBFE與平面A1ACC1的交線上, 因此P,Q,R三點(diǎn)共線.,考點(diǎn)2 空間直線的位置關(guān)系 【典例2】(1)(2015煙臺(tái)模擬)a,b,c表示不同的直線,M表示平面,

13、給出四個(gè)命題:若aM,bM,則ab或a,b相交或a,b異面;若bM,ab,則aM;若ac,bc,則ab;若aM,bM,則ab.其中正確的為() A.B.C.D.,(2)如圖所示,正方體ABCD -A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn).問: AM和CN是否是異面直線?說明理由. D1B和CC1是否是異面直線?說明理由.,【解題提示】(1)先判斷命題真假,再結(jié)合選擇支判斷其他命題真假,進(jìn)而作出選擇. (2)通過說明MNAC,說明AM,CN共面,從而判斷. 由圖易判斷D1B和CC1是異面直線,可用反證法證明.,【規(guī)范解答】(1)選A.對(duì)于命題.aM,bM,則a與b平行或相交或異面

14、,故正確,排除B,C;若aM,則錯(cuò)誤,排除D.故選A.,(2)AM和CN不是異面直線. 理由:連接MN,A1C1,AC. 因?yàn)镸,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn), 所以MNA1C1. 又因?yàn)锳1A C1C, 所以四邊形A1ACC1為平行四邊形, 所以A1C1AC,所以MNAC, 所以A,M,N,C在同一平面內(nèi), 故AM和CN不是異面直線.,D1B和CC1是異面直線. 理由: 因?yàn)锳BCD -A1B1C1D1是正方體,所以B,C,C1,D1不共面. 假設(shè)D1B與CC1不是異面直線, 則存在平面,使D1B平面,CC1平面, 所以D1,B,C,C1, 這與B,C,C1,D1不共面矛盾.所以假設(shè)不成

15、立, 即D1B和CC1是異面直線.,【易錯(cuò)警示】解答本例題(2)用反證法時(shí)有兩點(diǎn)容易出錯(cuò): (1)將直線D1B與CC1異面的否定搞錯(cuò),誤以為不異面,則否定為平行或相交. (2)不知推出的結(jié)論與誰矛盾.,【規(guī)律方法】異面直線的判定方法 (1)反證法:先假設(shè)兩條直線不是異面直線,即兩條直線平行或相交,由假設(shè)出發(fā),經(jīng)過嚴(yán)格的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè),肯定兩條直線異面.此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到. (2)判定定理法:平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線.,【變式訓(xùn)練】(1)(2014廣東高考)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4滿足l1l2,l2l3,

16、l3l4,則下列結(jié)論一定正確的是() A.l1l4 B.l1l4 C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定,【解析】選D.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,記l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,滿足l1l2,l2l3,l3l4,此時(shí)l1l4,可以排除選項(xiàng)A和C.若l4=DC1,也滿足條件,可以排除選項(xiàng)B.,(2)(2015承德模擬)設(shè)A,B,C,D是空間四個(gè)不同的點(diǎn),在下列命題中,不正確的是(填序號(hào)). 若AC與BD共面,則AD與BC共面; 若AC與BD是異面直線,則AD與BC是異面直線; 若AB=AC,DB=DC,則AD=BC; 若AB=AC

17、,DB=DC,則ADBC.,【解析】對(duì)于,由于點(diǎn)A,B,C,D共面,顯然結(jié)論正確.對(duì)于,假設(shè)AD與BC共面,由正確得AC與BD共面,這與題設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立,從而結(jié)論正確. 對(duì)于,如圖,當(dāng)AB=AC,DB=DC, 使二面角A-BC-D的大小變化時(shí),AD與BC不一定相等,故不正確. 對(duì)于,如圖,取BC的中點(diǎn)E,連接AE,DE,則由題設(shè)得BCAE,BCDE.根據(jù)線面垂直的判定定理得BC平面ADE,從而ADBC. 答案:,【加固訓(xùn)練】(1)如果兩條異面直線稱為“1對(duì)”,那么在正方體的十二條棱中共有異面直線() A.12對(duì)B.24對(duì)C.36對(duì)D.48對(duì),【解析】選B.如圖所示,與AB異面的直線有B1

18、C1,CC1, A1D1,DD1四條,因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈恢们艺襟w共 有12條棱,排除兩棱的重復(fù)計(jì)算, 共有異面直線 =24(對(duì)).,(2)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論: 直線AM與CC1是相交直線; 直線AM與BN是平行直線; 直線BN與MB1是異面直線; 直線AM與DD1是異面直線. 其中正確的結(jié)論為(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上).,【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外,點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過點(diǎn)M,所以AM與CC1是異面直線,故錯(cuò);取DD1中點(diǎn)E,連接AE,則BNAE

19、,但AE與AM相交,故錯(cuò);因?yàn)锽1與BN都在平面BCC1B1內(nèi),M在平面BCC1B1外,BN不過點(diǎn)B1,所以BN與MB1是異面直線,故正確;同理正確,故填. 答案:,考點(diǎn)3 異面直線所成的角 知考情 計(jì)算異面直線所成角的大小,是高考考查空間角的一個(gè)重要考向,常與空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖及平面圖形的折疊等知識(shí)綜合以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn).,明角度 命題角度1:由幾何體的結(jié)構(gòu)特征計(jì)算其中異面直線所成的角 【典例3】(2014新課標(biāo)全國(guó)卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90, M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成的角的余弦值為 () (本

20、題源于教材必修2P48練習(xí)T2),【解題提示】通過平行關(guān)系找出異面直線的夾角,再根據(jù)余弦定理求解. 【規(guī)范解答】選C.如圖,取BC中點(diǎn)D,連接MN,ND,AD, 由于MN B1C1 BD, 因此ND BM,則ND與NA所成角即為異面直線BM與AN所 成的角(或其補(bǔ)角),設(shè)BC=2,則BM=ND= ,AN= , AD= ,因此cosAND=,命題角度2:根據(jù)三視圖計(jì)算其對(duì)應(yīng)幾何體中異面直線所成的角 【典例4】(2015揭陽模擬)如圖是三棱錐D-ABC的三視圖,點(diǎn)O在三 個(gè)視圖中都是所在邊的中點(diǎn),則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于 (),【解題提示】將三視圖還原成幾何體,利用幾何體的平行關(guān)系或

21、特殊點(diǎn),確定異面直線所成的角.,【規(guī)范解答】選A.由題意得如圖所示的直觀圖,從A出 發(fā)的三條線段AB,AC,AD兩兩垂直且AB=AC=2,AD=1,O是 BC中點(diǎn),取AC中點(diǎn)E,連接DE,DO,OE,則OE=1,又可知AE=1, 由于OEAB,故DOE即為所求兩異面直線所成的角或其補(bǔ)角.在直角 三角形DAE中,DE= ,由于O是中點(diǎn),在直角三角形ABC中可以求得AO= ,在直角三角形DAO中可以求得DO= .在三角形DOE中,由余弦定 理得cosDOE= 故所求余弦值為 .,悟技法 1.求異面直線所成角的常用方法及類型 常用方法是平移法,平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用

22、特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)空間某特殊點(diǎn))作平行線平移;補(bǔ)形平移.,2.求異面直線所成角的三個(gè)步驟 (1)作:通過作平行線,得到相交直線. (2)證:證明相交直線夾角為異面直線所成的角. (3)求:通過解三角形,求出該角. 3.計(jì)算由三視圖或平面圖形折疊得到幾何體中異面直線所成角的思路 (1)準(zhǔn)確作出直觀圖. (2)在直觀圖中作出異面直線所成的角,進(jìn)而求解.,通一類 1.(2015岳陽模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為A1B1,BB1的中點(diǎn),則異面直線AM與CN所成角的余弦值為(),【解析】選D.如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接B1E,則AMB1E. 取EB的中點(diǎn)F,連接FN,則B

23、1EFN,因此AMFN, 連接CF,則直線FN與CN所夾銳角或直角為異面直線AM 與CN所成的角. 設(shè)AB=1,在CFN中, 由余弦定理cos=|cosCNF|,2.(2015佛山模擬)如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中點(diǎn),AA1AB= 1,則異面直線AB1與BD所成的角為.,【解析】如圖所示,取A1C1的中點(diǎn)D1,連接B1D1, 由于D是AC的中點(diǎn), 所以B1D1BD,所以AB1D1即為異面直線AB1與BD所成 的角或其補(bǔ)角.連接AD1,設(shè)AB=a,則AA1= a,所以AB1= a, B1D1= ,AD1= 在AB1D1中,由余弦定理得cosAB1D1= 所以AB1D1=60. 所以異面直線AB1與BD所成的角為60. 答案:60,3.(2015鹽城模擬)如圖,在正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點(diǎn),G,H分別為DE,AF的中點(diǎn),將ABC沿DE,EF,DF折成正四面體P-DEF,則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為.,【解析】如圖,連接HE,取HE的中點(diǎn)K,連接GK,PK,