1、11-1 動量與沖量,一、動量,質點的動量：,質點的質量與速度的乘積 mv 稱為質點的動量。,動量是矢量，描述質點運動強弱的特征量，其方向與速度方向一致。,若,則,質點系的動量：,質點系內各質點動量的矢量和，稱為質點系的動量主矢，簡稱為質點系的動量。用 p 表示.。,在國際單位制中，動量的單位為 kgm/s。,見后續(xù),例11-1 三物塊用繩連接如圖示，其質量為 m1=2m2 =4m3 ，如繩的質量和變形均不計， 則三物塊均以同樣的速度v運動。求該質點系的動量。,m3,m1,m2,45,解：,例11-1續(xù),已知m1 = 2m2 = 4m3 ，v1 = v2 = v3 = v ，求系統動量。, 質

2、點系動量的另一算法：,設質點系內各質點對固定點O的矢徑為 ri，則,質心坐標式,結論：質點系的動量等于質點系的總質量與其 質心速度的乘積。,設系統質心位置矢徑為 rC ，則, 質點系的動量 p 在直角坐標系中的投影為, 若一個質點系由多個剛體組成，則該質點系動量可寫為,式中mi 、vCi 分別為第 i 個剛體的質量和它的質心的速度。,例11-2 求圖示均質物體或物體系統的動量。,均質輪質量為m，半徑為R，繞質心軸C 轉動，角速度為，則其動量為,均質輪質量為m，半徑為R，偏心距為e，繞軸O轉動，角速度為，則其動量為,質點系動量只反映質系隨質心平動的強弱,均質輪質量為m，半徑為R，沿水平直線軌道純

3、滾動，輪心的速度為v，則其動量為,例11-2續(xù)2,均質桿質量為 m ，桿長為l，繞桿端軸O 以角速度轉動，則,或,，方向同 v,（5）均質桿質量為m，長度為l，圖示瞬時A端 速度為v，求其動量。,K,解：AB 桿做平面運動，,瞬心為K，,例11-2續(xù)4,vA= v,皮帶輪傳動系統由均質輪和均質皮帶組成，該系統的動量等于多少？,系統對稱于兩輪軸心連線，,O2,O1,？,m2,m1,m,例11-2續(xù)5,系統的動量 p = mvC = 0 。,系統質心必在該連線上，,系統質心的速度始終為零，, 兩均質輪質量均為m1，半徑均為R，兩輪間距離為 d，履帶質量為m，長為 L，求 (1)系統的動量；(2)除

4、去與地面接觸的履帶以外的履帶的動量。,解：(1) 系統的動量為各部分動量的矢量和,m,m1,m1,p = p輪1 + p輪2 + p帶,p輪1 = p輪2 = m1 v ；,p帶= m v,R,(2) p帶 =,= m v = p帶,(1) 系統的動量為系統的質量與質心速度的乘積,p = ( 2 m1 + m )v,END,即: p = ( 2 m1 + m )v,例11-3 橢圓規(guī)機構如圖，已知曲柄OC = l，質量為 m，以勻角速度 繞軸O 轉動；規(guī)尺 AB = 2l , 質量為2m，滑塊 A、B 的質量均為4m ；求圖示瞬時， 曲柄 OC 的動量； 整個機構的動量。,C,A,O,P,解：

5、曲柄OA的質心在其中點D，且,B,求整個機構的動量。方法一：,AB桿質心為C，,AB桿瞬心為P，,已求得,解得,C,A,O,B,由于系統的動量為各部分的矢量和，即，,所以，整個機構的動量為,4m,4m,2m,m,求整個機構的動量。方法二：,系統的動量為各部分的矢量和，即，, 規(guī)尺和兩個滑塊的質心即C點，,系統的動量為,C,A,O,B,4m,4m,2m,m,即,二、沖量,常力的沖量,變力的沖量,力的元沖量,力在有限時間內（瞬時 t1 至瞬時 t2 ）的沖量,(115),(114),常力矢量與其作用時間的乘積。,力在微小時間間隔 dt 內的沖量。,力對時間的累積作用效應, 沖量計算的投影式,若,則

6、沖量計算的投影式為, 沖量的量剛：,dim I = dim Ft = MLT1 = dim mv,力系的沖量,與動量的量綱相同,作用于質點系中力系的各力沖量的矢量和 稱為力系的沖量，即,結論：力系的沖量等于力系的主矢在同一時間內的沖量。,與動量的量綱相同,與動量的量綱相同,與動量的量綱相同,11-2 動量定理,一、質點的動量定理,若質量 m 恒定，則牛頓 第二定律可寫為,即：質點的動量對時間的導數等于作用于其上的力。,在t1至t2時間內積分，得,即：質點在 t1 至 t2 時間內動量的改變量等于作用于其上的力在同一時間內的沖量。,(116),(117),質點動量定理 的微分形式,質點動量定理

7、的積分形式,或,二、質點系的動量定理,設質點系有 n 個質點，,由質點的動量定理，有,第 i 個質點的質量為 mi，,速度為 vi；,受力Fi(e) 外力，,Fi(i) 內力，,(118),對于整個質點系,質點系動量的增量等于作用于質點系的外力元沖量的矢量和。,或,質點系的動量對時間的一階導數等于作用于質點系的外力的矢量和,(119),在某一時間間隔內，質點系動量的改變量等于在這段時間內作用于質點系外力沖量的矢量和。,得,(1110),在瞬時 t1至 t2 段時間內積分，有,質點系的動量定理續(xù),動量定理的投影式：,例11-4,已知定子m1，轉子m2 ；角速度；偏心距為e。 求基礎對電機的反力。

8、,研究定子與轉子組成的系統，受力如圖，,解：,系統的動量為,p = p 1+ p 2,設 t =0時，C1C2鉛直，則 = t 時，,p x= m2 e cos t,p y= m2 e sin t,由質點系動量定理：, p = p2 = m2e,三、質點系動量定理的應用, 流體在管道內流動的動壓力, 動量守恒,關于流體的幾個概念：, 流體的密度：, 穩(wěn)定流動（定常流動）：, 流量 Q ：,1流體在管道中流動時的動壓力, 流體的不可壓縮性：,Q v1 S1 v2 S2,質點系動量定理的應用,流體單位體積的質量 ( Kg/m3 )。,流體各質點流經空間某固定點時，其速度和壓強等都不隨時間而改變。,

9、單位時間內流經某截面的流體體積(m3/s)。,流經各截面的流量不變。,例11-5 流體流經變截面彎管示意如圖。設流體是不可壓縮的，作穩(wěn)定流動，密度為，流量為 Q。求流體對管壁的作用力。,解：,(1)研究AB、CD兩截面間的流體；,(2)運動量分析：,v1 、v2為流經AB、CD 截面時的速度；,經dt 后，AB AB, CD CD 流過截面的體積為Q dt，質量為 d m=Q d t，,質點系動量變化為,例 11-5續(xù),(3) 受力分析如圖：,重力 W（體積力）；,相鄰流體的壓力Pa、Pb（表面力）；,管壁對流體的約束反力 N （表面力）,(4) 根據質點系動量定理：,可得,A,C,D,B,v

10、2,v1,已求得,液體流動的歐拉定理,令 N = N +N ” ，,N W、 Pa、 Pb 相平衡的管壁靜反力，,Nx” =Q (v2x v1x ) Ny” =Q (v2y v1y ),則,歐拉動水反力公式,其投影式為,關于液體流動的歐拉定理的討論,即,N ” 由于流體的動量變化而產生的動反力。,式中, 流體動反力公式的一些應用：,（2）在大流量、高流速 的管道的彎頭處管壁強度校核以及彎頭處支座安裝的依據。,（1）流體管道動壓力的計算，即,（3）輸送散體（糧食、礦石等）機械動壓力的計算。,例11-6 已知流量 Q，密度，流入截面 AB 的直徑為 d1，流出截面 CD 的直徑為 d2 。求附加動

11、反力。,解：,以 AB、CD段液體為研究對象：,設流入、流出的速度分別為v1 、v2，,則,說明：流體對管壁的附加動反力的方向與之相反。,管壁對流體的動反力為Nx 、 Ny,2. 質點系動量守恒定律,當作用于質點系上的外力主矢恒等于零時，則質點系的動量保持不變。,當作用于質點系上的外力主矢在某軸（如 x 軸）上投影恒等于零時，則質點系的動量在該軸上的投影保持不變。,即,當 FR (e)0 時，p= p0 = 常矢量；,當Fx (e) 0 時，px= p0 x= 常量。,動量守恒定律,質點系動量守恒的實例,炮身與炮彈 水平飛行時的火箭 靜水中人與小船,結論：只有外力才能改變質點系的動量；內力不能

12、改變質點系的動量，但能改變其中各部分的動量。,11-3 質心運動定理,即,質點系的質量與質心加速度的乘積等于作用于質點系外力的矢量和（外力主矢）。,質心運動定理,一、質心運動定理,質心運動定理的投影式,二、幾點說明：,質心運動定理描述的是：質點系質心的運動，可以看成為一個質點的運動，設想此質點集中了整個質點系的質量及其所受的外力。,質點系的內力不能改變質心的運動，只有外力才能改變質心的運動,若質點系是由n個剛體組成的系統，則剛體系內各剛體的質量與其質心加速度乘積的矢量和，等于作用于剛體系的外力的主矢。即,三、質心運動守恒定理, 當質點系外力主矢 FR(e) = 0 時，,質心做慣性運動,質心位

13、置守恒,化簡得：,對剛體系統：,= 常矢量,則系統質心速度 vC = 常矢量；, 當FR(e) = 0，且 t = 0 時，vC0 = 0，,則rC = 常矢量；,當FRx(e) = 0，且t = 0 時，vCx = 0，, 當 FRx(e) =Fx(e) = 0 時，,化簡得：,對剛體系統：, 常量,以上結論統稱為質心運動守恒定理,三、質心運動守恒定理（續(xù)）,則 vcx= 常量,則 xC = 常量；,例11-7 均質桿AB長為2l，重為P，在光滑水平面上自由倒下，初始 0 = 60，求 (1) AB桿落至水平時 A點的位移； (2) B點的軌跡。,A,B,已知桿 2l；P； 0 = 60，求

14、(1) 桿落至水平時 SA ；(2) B點的軌跡。,例11-7續(xù),解：,Fx（e）= 0，, xC =常數 = 0,（1）SA = llcos 0,（2）建立B點的運動方程,橢圓,研究AB桿，受力如圖，,且 t = 0時，vCx0 = 0,解畢。,例 11-8 長為 l、質量不計的細桿，一端固結質量為 m1的小球 A ，另一端鉸接質量為 m2 的滑塊 B 。滑塊 B 放在光滑水平面上。若 t = 0 時， = 0，由靜止釋放，求B 滑塊的位移（用表示）,見后續(xù),例11-8續(xù),解：,Fx（e）= 0， 且 t = 0 時，系統靜止，, xC = 常數,由 xC0 = xC，得,研究系統，受力如圖

15、，,已知桿 l，小球 m1，滑塊 m2； = 0 靜止釋放，求滑塊的位移（用表示）,圖示兩三角塊A、B：mA = 3mB，a, b, ；所有接觸處光滑，初始靜止。B落到地面時A塊的位移。,a,b,A,B,x,o,x,A,B,解：,Fx（e）= 0，且 t = 0 時，系統靜止，, xC = 常數,研究系統，受力如圖，, 動量守恒定律常用來求速度；, 質心位置守恒求系統中某物體 的位移比較方便。,例11-9 電動機的外殼固定于基礎上，定子的質量為m1，轉子質量為m2 ；偏心距為e。已知轉子以角速度勻速轉動，求基礎對電機的反力，并討論當電機不用螺栓固定，由靜止開始轉動后，電機外殼的運動。（不計各處

16、摩擦）,見后續(xù),例11-9續(xù) 已知： m1，m2，e，求（1）基礎反力；,（1）研究轉子和定子系統，,解：,系統質心的運動方程為,系統質心的加速度,由,得,受力如圖，,取坐標系如圖，,例11-9續(xù) （2）研究電機不固定的情形，, Fx(e)= 0，,初瞬時，,瞬時 t ，設定子位移S，, 系統質心的 x 坐標,則轉子位移為,設t = 0時，轉子質心如圖，,（S+ e sint ），,取坐標系，,xC0 = 0，,xC= 常量,且 t = 0時， 系統靜止，, 轉子有偏心的電機不固定時，在光滑水平面上的運動規(guī)律為,應用：混凝土深層振動器,Fymin= (m1+m2)gm22e ，,有Fymin0

17、，,若電動機不固定于基礎上，,應用：蛙式打夯機,例11-10續(xù), 討 論, 根據以上計算，基礎對電機的 y 方向的反力為：,簡諧振動,其最小值：,將會跳離地面。,例11-10 已知桿m，l ；。求軸承 O 處的約束反力。,研究 OA 桿，,解：,得,OA 桿的受力如圖，,由質心運動定理,O,A,其質心 C 的加速度為, 從本例可知，求軸承反力可用質心運動定理；實際上， 這是比較通行的做法。,例11-11續(xù), 針對本例，若桿端 A固接 一質量為 m2、半徑為 r 的均質圓盤，其余條件同上，軸承 O處的反力如何求？, 若桿端 A 鉸接一質量為 m2、半徑為 r 的均質圓盤，其余條件同上，軸承 O 處的反力又將如何求？,討論,固接,鉸接,結論：鉸接或固結，軸承O處的反力相等！,可求得,C1,C2,研究 系統，,解(1)：,系統受力如圖，,由質心運動定理,桿、輪質心 的加速度為,later,C1,C2,結論：鉸接或固結，軸承O處的反力相等！,系統質心為C，,解(2)：,O,系統受力如圖，,由質心運動定理，有,可求得,End,本章小結, 動量定理建立了物體的動量變化與作用力的沖量之間在數量和方向之間的關系。, 質點的動量：mv, 質點系的動量：