1、1.5.2綜合法和分析法,1.理解綜合法、分析法證明不等式的原理和思想. 2.掌握綜合法、分析法證明簡單不等式的方法和步驟. 3.能綜合運用綜合法、分析法證明不等式.,1.綜合法 在證明不等式的時候,我們經常要從命題的已知條件出發(fā),利用公理、已知的定義及定理,逐步推導,從而最后導出要證明的命題,這種方法稱為綜合法. 名師點撥用綜合法證明不等式,就是用因果關系書寫“從已知出發(fā),借助不等式的性質和有關定理,經過逐步的邏輯推理,最后達到待證不等式得證”的全過程,其特點可描述為“由因導果”,即從“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.綜合法屬邏輯方法范疇,它的嚴謹體現(xiàn)在步步注明推理依據.,答案:D,2.

2、分析法 從需要證明的命題出發(fā),分析使這個命題成立的充分條件,利用已知的一些定理,逐步探索,最后達到命題所給出的條件(或者一個已證明過的定理或一個明顯的事實),這種證明方法稱為分析法. 歸納總結,名師點撥用分析法證明“若A則B”的模式為: 欲證命題B成立, 只需證命題B1成立, 只需證命題B2成立, 只需證明A為真. 已知A為真,故B必為真. 可以簡單寫成: BB1B2BnA.,【做一做2】 要證a2+b2-1-a2b20,只要證(),解析:要證a2+b2-1-a2b20,只要證a2(1-b2)+(b2-1)0,只要證(b2-1)(a2-1)0.,答案:D,綜合法在應用中的有關問題是什么? 剖析

3、:用綜合法證明不等式時,主要利用基本不等式,函數(shù)的單調性以及不等式的性質,在嚴密的演繹推理下推導出結論. 綜合法證明問題的“入手處”是題設中的已知條件或某些基本不等式.比如下面的幾個,是經常用到的:,選擇使用哪個不等式作為證題的“原始出發(fā)點”或對已知條件的轉化是證題的關鍵,這要求對要證明的結果有充分的分析過程,可以聯(lián)系平時學習過程中積累下來的數(shù)學結論或知識作出判斷.比如,題型一,題型二,題型三,用綜合法證明不等式 【例1】 設a,b,c為ABC的三條邊,求證:a2+b2+c22ab+2bc+2ac. 分析:本題看似是一道與公式a2+b22ab(a,bR)有關的題目,又好像與二次函數(shù)有關,但實際

4、上這兩種思路都行不通.其實本題的關鍵在于ABC中隱含的a,b,c的關系. 證明:證法一:在ABC中,ab+c,ba+c,cb+a, 則a2a(b+c),b2b(a+c),c2c(b+a). 于是a2+b2+c2a(b+c)+b(a+c)+c(a+b), 即a2+b2+c22ab+2bc+2ac.,題型一,題型二,題型三,證法二:在ABC中,設abc, 則0a-bc,0b-ca,0a-cb. (a-b)2c2,(b-c)2a2,(a-c)2b2. (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2c2+a2+b2, 即a2+b2+c22ab+2bc+2ac. 證法三:在ABC中,設a,b,c三邊所對的角分

5、別為角A,B,C,則由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C, 則a2+b2+c2=(b2+c2-2bccos A)+(a2+c2-2accos B)+(a2+b2-2abcos C), 即a2+b2+c2=2abcos C+2bccos A+2accos B. 在ABC中,cos A1,cos B1,cos C1, 2abcos C+2bccos A+2accos B2ab+2bc+2ca. a2+b2+c22ab+2bc+2ac.,題型一,題型二,題型三,反思本題容易由a2+b22ab或二次函數(shù)陷入思維定式,比

6、如下面兩種分析: 分析一:a2+b22ab,a2+c22ac,b2+c22bc, (a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)2ab+2bc+2ac,即a2+b2+c2ab+bc+ac,這嚴重背離了原題的證明意圖. 分析二:設f(a)=a2+b2+c2-2(ab+bc+ac),即f(a)=a2-2a(b+c)+b2+c2-2bc. =4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc0. 則f(a)的值可正、可負、可為零,無法確定. 因此,分析題目時,對條件要看清楚,尤其要探尋條件間的限制關系,以免受到某些思維定式的影響.,題型一,題型二,題型三,用分析法證明不等式,分析:本題要證明的不等式

7、顯得較為復雜,不易觀察出怎樣由ab0得到要證明的不等式,因而可以用分析法先變形要證明的不等式,從中找到證題的線索.,題型一,題型二,題型三,反思分析法的格式是固定化的,其中每一步都是上一步成立的充分條件,即每一步數(shù)學式的變化都是在這個要求之下一步一步去尋找成立的條件或結論、定理.,題型一,題型二,題型三,易錯辨析 易錯點:因不注意分析法的證題格式而致錯.,錯因分析:分析法是“執(zhí)果索因”,即由待證的不等式出發(fā),逐步尋求它要成立的充分條件,所以書寫時必須按照分析法的固有格式進行.本題的錯誤就在于未按分析法的格式證明.,題型一,題型二,題型三,1 2 3 4 5,A.ABB.AB C.ABD.AB,答案:C,1 2 3 4 5,2若xy1,0ayB.logaxloga