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文檔簡介

1、第七章,一元函數(shù)積分學(xué),多元函數(shù)積分學(xué),重積分,曲線積分,曲面積分,重 積 分,三、重積分的性質(zhì),第一節(jié),一、引例,二、重積分的定義,重積分的概念與性質(zhì),第七章,解法: 類似定積分解決問題的思想:,一、引例,1.曲頂柱體的體積,給定曲頂柱體:,底： xOy 面上的閉區(qū)域 D,頂: 連續(xù)曲面,側(cè)面：以 D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面,求其體積.,“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限”,1)“大化小”,用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域,以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個,2)“常代變”,在每個,3)“近似和”,則,中任取一點(diǎn),小曲頂柱體,4)“取極限”,令,2. 平面薄片的質(zhì)量,有

2、一個平面薄片, 在 xOy 平面上占有區(qū)域 D ,計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .,度為,設(shè)D 的面積為 ,則,若,非常數(shù) ,仍可用,其面密,“大化小, 常代變,近似和, 求極限”,解決.,1)“大化小”,用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個小區(qū)域,相應(yīng)把薄片也分為小塊 .,2)“常代變”,中任取一點(diǎn),3)“近似和”,4)“取極限”,則第 k 小塊的質(zhì)量,兩個問題的共性：,(1) 解決問題的步驟相同,(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同,“大化小, 常代變, 近似和,取極限”,曲頂柱體體積:,平面薄片的質(zhì)量:,二、二重積分的定義及可積性,定義:,將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域,任取一點(diǎn),若存在一個常數(shù) I , 使,

3、可積 .,在D上的二重積分,積分和,是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) ,引例1中曲頂柱體體積:,引例2中平面薄板的質(zhì)量:,如果 在D上可積,元素d也常記作,二重積分記作,這時,分區(qū)域 D ,因此面積,可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃,二重積分存在定理:,若函數(shù),(證明略),定理1.,在D上可積.,在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則,三、二重積分的性質(zhì),則,3. 若在D上,5. 設(shè),D 的面積為 ,則有,4.若函數(shù) f(x,y) 在D上可積，則| f(x,y) | 在D上可積，且,6.(二重積分的中值定理),證: 由性質(zhì)5 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn),在閉區(qū)域D上, 為D 的面積 ,則至少存在一點(diǎn),使,使,連續(xù),因此,例1. 估計(jì)下列積分之值,其中D為圓形區(qū)域,例2. 比較下列積分的大小:,其中,解: 積分域 D 的邊界

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