1、第三節(jié) 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解,對于幾何形狀和邊界條件都比較簡單的問題可以獲得分析解。本節(jié)將介紹第三類邊界條件下無限大平壁、無限長圓柱體及球的分析解及其應(yīng)用。這里所謂的無限大平壁是對實際物體的一種抽象和簡化處理。實際物體當(dāng)然不會是無限大的。但是，當(dāng)一塊平壁的長度和寬度遠(yuǎn)大于其厚度，因而平壁的長度和寬度的邊緣向四周的散熱對平壁內(nèi)的溫度分布影響很小，以至于可以把平壁內(nèi)各點的溫度僅看作是厚度的函數(shù)時，此時該平壁就是一塊“無限大”的平壁。或者，雖然平壁的厚度與長度和寬度相差并不是很大甚至相當(dāng)，但在平壁厚度的四周絕熱良好時，從傳熱的角度也就成了一維問題。在許多工程應(yīng)用場合，這種簡化是可以容許的。,物理模

2、型,設(shè)有一塊厚度為 的無限大平壁，初始溫度為 。在初始瞬間將它放置于溫度為 的流體中。設(shè) ，流體與板面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) 為常數(shù)。試確定在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中板內(nèi)的溫度分布。,數(shù)學(xué)描寫,平壁兩邊對稱受熱，板內(nèi)溫度分布必以其中心截面為對稱面 。故研究平板的一半即可。 建立如上圖所示的坐標(biāo)系，則其數(shù)學(xué)描寫為,溫度分布,引入過余溫度 將方程改寫為 求解結(jié)果為,對解的進一步說明,解的表達形式 式中離散值 是下列超越方程的根，稱為特征值 這里 是以 為特征尺寸的畢渥數(shù)，即,正規(guī)狀況階段的溫度分布,當(dāng)傅立葉數(shù)大于0.2以后，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進入正規(guī)工況階段，即物體中所有點的溫度均隨時間的變化而變化，此時物體內(nèi)的溫度分

3、布為 令,平板中不同點的溫度值,任意點的溫度 中心點的溫度 任意點的溫度與中心點溫度的比值,正規(guī)工況的特點,上面的計算式反映了非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中的一種很重要的物理現(xiàn)象，即當(dāng) 以后，雖然任意點的過余溫度及中心點的過余溫度均與時間有關(guān)，但其比值卻與時間無關(guān)，而僅取決于幾何位置及邊界條件。這表明，此時初始條件的影響已經(jīng)消失，無論什么樣的初始分布都是一樣的。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的這一階段就稱為正規(guī)狀況階段或充分發(fā)展階段。確定正規(guī)狀況階段的存在有重要的工程實用意義，因為工程技術(shù)中關(guān)心的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程常常處于正規(guī)狀況階段，此時的計算可以采用簡化的公式。,正規(guī)工況的溫度分布,在正規(guī)工況階段，物體內(nèi)任意點的無量綱過余溫度

4、可表示為 在正規(guī)工況階段，物體內(nèi)中心點的無量綱過余溫度可表示為 在正規(guī)工況階段，物體內(nèi)任意點無量綱過余溫度與中心點的無量綱過余溫度的比值可表示為,任意點的無量綱過余溫度,中心點的無量綱過余溫度,任意點無量綱過余溫度與中心點的無量綱過余溫度的比值,非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中導(dǎo)熱量的計算,從初始時刻到平板與周圍介質(zhì)處于熱平衡，這一過程中 所傳遞的熱量為 從初始時刻到某一時刻，這一階段中所能傳遞的熱量為 熱量之比為,平板的平均過余溫度,平均過余溫度的表示 平衡過余溫度的計算,正規(guī)狀況階段非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的計算,近似擬合公式 海斯勒（Heisler）圖等計算線圖,采用海勒斯圖計算,為便于計算，工程中廣泛采用按分析解的

5、級數(shù)第一項而繪制的一些線圖（諾模圖），其中用以確定溫度分布的圖線稱為海斯勒圖。 對于無限大平板這些線圖有三張 （1）中心點無量綱過余溫度線算圖 ； （2）任意點無量綱過余溫度與中心點無量綱過余溫度比值的線算圖 ； （3）熱流量線算圖。,任意點無量綱過余溫度的計算,分析解應(yīng)用范圍的推廣和討論,對于無限大平板問題的分析解是以平板被加熱的情況為例來討論的，但其結(jié)果對于平板被冷卻的情況同樣適用； 上面的分析解也適用于平板一側(cè)絕熱，另一側(cè)為第三類邊界條件的厚度為的平板； 當(dāng)固體表面與流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)趨于無窮大時，固體表面的溫度就趨近于流體的溫度，這時第三類邊界條件就轉(zhuǎn)換為第一類邊界條件。所以對無限大

6、平板一側(cè)絕熱，另一側(cè)為第一類邊界條件時的分析解即為畢渥數(shù)趨于無窮大時上述分析解的特例。,無限長圓柱體及球體的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,在第三類邊界條件時，它們的分析方法與無限大平板相同，且得到的結(jié)果也相類似，即它們的溫度分布也是無窮級數(shù)，在當(dāng)以半徑為特征長度的傅立葉數(shù)大于0.2時，無窮級數(shù)的解也可用第一項來近似地替代，并且其無量綱過余溫度分布和無量綱平均過余溫度分布的表達式也與無限大平板相似，即,用海斯勒圖求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的步驟,已知時間，求溫度分布 （1）根據(jù)已知條件，求傅立葉數(shù)和畢渥數(shù)； （2）查圖求 和 （3）由 計算溫度分布 已知溫度分布，求時間 （1）根據(jù)已知條件求畢渥數(shù)和無量綱幾何數(shù)； （

7、2）查圖求 （3）根據(jù)已知條件及 ，求 （4）由 ，查圖確定傅立葉數(shù)，即可求得時間,第四節(jié) 二維及三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解,可以證明，對于多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，可以用多個一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題解的乘積來計算。即由一維問題的解獲得二維及三維問題的解。 對于無限長的方柱體其解為 對于短圓柱體其解為 對于短方柱體其解為,本章小結(jié),非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題比穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題多了一個時間變量，從而增加了問題的復(fù)雜性和求解的困難。 本章討論可集總參數(shù)法和第三類邊界條件下內(nèi)部熱阻不可忽略時的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。第一部分詳細(xì)討論內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻可以忽略的物體被恒定溫度的流體加熱（或冷卻）時的集總參數(shù)法簡化分析。這是最簡單的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，其溫度場與坐標(biāo)無關(guān)而隨時間變化，有時稱為零維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。它是第二部分內(nèi)的特例。第二部分簡述了第三類邊界條件下無限大平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析解的求解步驟，較詳細(xì)介紹了由分析解繪制成諾謨圖?？梢苑奖愕厍蠼獾谌愡吔鐥l件下（Fo0.2）大平壁和長圓柱體的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。此外，利用諾謨圖和乘積解可計算某些簡單幾何形狀物體的二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。 從本章兩部分內(nèi)容可以看出，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解步驟基本與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題求解過程相類似。,本章基本要求,了解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的特點，能粗略地繪出大平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度場。 了解集總參