1、4.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,一、函數(shù)單調(diào)性的判定法,二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn),一、函數(shù)單調(diào)性的判定法,函數(shù)y=f(x)的圖象有時(shí)上升, 有時(shí)下降. 如何判斷函數(shù)的圖象在什么范圍內(nèi)是上升的, 在什么范圍內(nèi)是下降的呢？,下頁,動(dòng)畫演示,f (x)0,f (x)0,觀察結(jié)果,函數(shù)單調(diào)增加時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零 函數(shù)單調(diào)減少時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零,觀察與思考,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系？,下頁,定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x

2、)0 則f(x)在a b上單調(diào)減少,由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x10 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 這就證明了函數(shù)f(x)在(a b)內(nèi)單調(diào)增加,證明 只證(1),在(a b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1 x2(x1x2),下頁,說明： 判定法中的開區(qū)間可換成其他各種區(qū)間,下頁,定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)減少,例1 判定

3、函數(shù)yxsin x 在0 2p上的單調(diào)性,解 因?yàn)樵?0, 2p)內(nèi) y1cos x 0 所以函數(shù) yxsin x 在0 2p上的單調(diào)增加,下頁,定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)減少,定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上單調(diào)減少,因?yàn)樵? 0)內(nèi)y

4、0 所以函數(shù) yexx1在0 )上單調(diào)增加,解 函數(shù)yexx1的定義域?yàn)? ) yex1,例2 討論函數(shù) yex x1的單調(diào)性,下頁,解 函數(shù)的定義域?yàn)? ),所以函數(shù)在0 )上單調(diào)增加,因?yàn)閤0時(shí) y0,所以函數(shù)在( 0 上單調(diào)減少,因?yàn)閤0時(shí) y0,例3,下頁,1 設(shè)函數(shù)yf(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)可導(dǎo) x1 x2是 f (x)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn) 問f(x)在x1 x2上是否單調(diào)？ 2 如何把區(qū)間a b劃分成一些小區(qū)間 使函數(shù) f(x) 在每個(gè)小區(qū)間上都是單調(diào)的？,討論,下頁,(1)確定函數(shù)的定義域 (2)求出導(dǎo)數(shù)f (x) (3)求出f (x)全部零點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) (4)判斷或列

5、表判斷 (5)綜合結(jié)論,確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟,例4 確定函數(shù)f(x)2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間,解 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)? ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為x11、x22 列表分析,函數(shù)f(x)在區(qū)間( 1和2 )內(nèi)單調(diào)增加 在區(qū)間1 2上單調(diào)減少,( 1),(1 2),(2 ),y2x39x212x3,下頁,說明： 一般地 如果 f (x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零 在其余各點(diǎn)處均為正(或負(fù))時(shí) 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或減少)的,例5 討論函數(shù)yx3的單調(diào)性 解 函數(shù)的定義域?yàn)? ) y3x2 顯然當(dāng)x0時(shí) y0; 當(dāng)x0時(shí) y0 因此函數(shù)

6、yx3在區(qū)間( 0及0, )內(nèi)都是單調(diào)增加的 從而函數(shù)在整個(gè)定義域( )內(nèi)是單調(diào)增加的,下頁,因?yàn)楫?dāng)x1時(shí) f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)單調(diào)增加,例6,證明,因此當(dāng)x1時(shí) f(x)f(1)=0 即,首頁,二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn),函數(shù)曲線除了有升有降之外, 還有不同的彎曲方向, 如何根據(jù)函數(shù)本身判斷函數(shù)曲線的彎曲方向呢？,下頁,曲線的凹凸性定義,設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù) 如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1 x2 恒有,那么稱f(x)在I上的圖形是凹的,那么稱f(x)在I上的圖形是凸的,如果恒有,下頁,觀察與思考 觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系.,動(dòng)畫演示,定理2(曲線凹凸性的判定法),

7、設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的,定理證明,例7 判斷曲線yln x 的凹凸性,因?yàn)樵诤瘮?shù) yln x 的定義域(0 )內(nèi) y0 所以曲線yln x是凸的,解,下頁,例8 判斷曲線yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí) y0 所以曲線在0 )內(nèi)是凹的,設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a

8、b上的圖形是凸的,下頁,定理2(曲線凹凸性的判定法),拐點(diǎn) 連續(xù)曲線yf(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn),拐點(diǎn),討論 如何確定曲線yf(x)的拐點(diǎn)？ 如果(x0, f(x0)是拐點(diǎn)且f (x0)存在, 問f (x0)=？ 如何找可能的拐點(diǎn)？,下頁,動(dòng)畫演示,提示 如果在x0的左右兩側(cè)f (x)異號(hào), 則(x0, f(x0)是拐點(diǎn). 在拐點(diǎn)(x0, f(x0)處f (x0)=0或f (x0)不存在. 只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐點(diǎn).,下頁,拐點(diǎn) 連續(xù)曲線yf(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn),討論 如何確定曲線yf(x)的拐點(diǎn)？ 如果(x0,

9、 f(x0)是拐點(diǎn)且f (x0)存在, 問f (x0)=？ 如何找可能的拐點(diǎn)？,例9 求曲線y2x33x22x14的拐點(diǎn) 解 y6x26x12,只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐點(diǎn). 如果在x0的左右兩側(cè)f (x)異號(hào), 則(x0, f(x0)是拐點(diǎn).,下頁,例10 求曲線y3x44x31的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間 解 (1)函數(shù)y3x44x31的定義域?yàn)? ),(4)列表判斷,在區(qū)間(0和2/3)上曲線是凹的; 在區(qū)間02/3上曲線是凸的 點(diǎn)(0 1)和(2/3 11/27)是曲線的拐點(diǎn),0,0,1,11/27,下頁,只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐點(diǎn). 如果在x0的左右兩側(cè)f (x)異號(hào), 則(x0, f(x0)是拐點(diǎn).,討論 曲線yx4是否有拐點(diǎn)？ 提示 y4x 3 y12x 2 當(dāng)x0時(shí) y0 在區(qū)間( )內(nèi)曲線是凹的 因此曲線無拐點(diǎn),例11,解,二階導(dǎo)數(shù)無零點(diǎn); 當(dāng)x0時(shí)