1、高中數(shù)學(xué) 2.2.3 向量的數(shù)乘互動課堂學(xué)案 蘇教版必修4疏導(dǎo)引導(dǎo)1.向量數(shù)乘的定義及幾何意義（1）實數(shù)與a的積是一個向量，記作a，它的長|a|=|a|.它的方向是這樣定義的：當(dāng)a0時.0，a與a同向；0,a與a反向；當(dāng)=0或a=0時，0a=0或0=0.(2)根據(jù)向量數(shù)乘的定義.a與a為共線向量，兩者方向相同或相反，（a0,0）在此前提下，a可以理解為把a的長度擴(kuò)大（|1）或縮?。▅1）.由此可得向量數(shù)乘的幾何意義：就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小.（3）幾點說明a中的實數(shù),叫做向量a的系數(shù)，此系數(shù)決定著a與a的模的關(guān)系及方向相同或相反.向量數(shù)乘的特殊情況：當(dāng)=0時，a=0，而當(dāng)

2、a=0時，a=0.實數(shù)與向量可以求積，并且結(jié)果為一向量，但不能進(jìn)行加、減運算，如+a,-a根本無意義.2.向量數(shù)乘的運算律向量數(shù)乘滿足下列運算律：設(shè),u為實數(shù)，則(1)（+u）a=a+ua,(2)(ua)=(u)a，(3)(a+b)=a+ub(分配律).疑難疏引 向量數(shù)乘的運算律與中學(xué)代數(shù)中實數(shù)乘法的運算律極為相似，只是向量的數(shù)乘分配律由于因子的不同，可分為（+u）a=a+ua和(a+b)=a+ub.但兩者也有區(qū)別：中學(xué)代數(shù)中的實數(shù)運算的結(jié)果是一個數(shù)，只滿足一種分配律，而向量的數(shù)乘的結(jié)果是一個向量，滿足兩種分配律.3.向量的線性運算向量的加法、減法和向量數(shù)乘的綜合運算通常叫做向量的線性運算，也

3、叫做向量的初等運算.案例1 （1）計算下列各式：2(a+b)-3(a-b);3(a-2b+c)-（2c+b-a）;（a-b）-（2a+4b）+（2a+13b）.（2）設(shè)x、y是未知向量解方程組【探究】要解決（1）中的問題，需要用到數(shù)乘向量的運算律.包括：數(shù)乘向量的分配律及向量加、減法的運算律，其運算過程類似合并同類項.（2）是解關(guān)于未知向量的方程或方程組.它與解關(guān)于未知數(shù)的方程或方程組是類似的，在計算過程中應(yīng)遵守向量加、減法及向量數(shù)乘的運算律.【解】（1）2（a+b）-3（a-b）=2a+2b-3a+3b=-a+5b.3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-

4、7b+c.(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=a-b-a-b+a+b=(-+)a+(-+)b=0a+0b=0.(2)把第1個方程的-2倍與第2個方程相加，得y=-2a+b，從而y=-a+b,代入原來第2個方程得x=-a+b.規(guī)律總結(jié) 向量的線性運算的最終結(jié)果是向量.進(jìn)行向量線性運算的理論依據(jù)是向量數(shù)乘的運算法則.4.利用向量數(shù)乘的定義和運算律解決幾何問題 利用向量數(shù)乘的定義或運算律可以解決一些幾何問題，例如在探求線段相等、三角形相似等問題上.案例2 如圖，在ABC中，M、N分別是AB、AC的中點，求證MNBC，且MN=BC.【探究】把平面問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決非常方便，本題只需證明=

5、.【證明】M、N分別是、的中點，=-=（-）=.，且|=|，即MNBC，且MN=BC.規(guī)律總結(jié) 利用平面向量的知識證明平面幾何問題，這是向量的一個重要應(yīng)用，但應(yīng)注意向量與線段是不同的，它既有大小，又有方向.活學(xué)巧用【例1】 已知a、b為兩非零向量，試判斷下列說法的正誤，并說明理由.（1）2a與a的方向相同，且2a的模是a模的兩倍；（2）-2a與5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的倍；（3）-2a與2a是一對相反向量.（4）a-b與-（b-a）是一對相反向量 .分析:本題主要考查向量數(shù)乘的定義，在定義中一定要注意a與a方向及模的關(guān)系.解：（1）正確，20,2a與a的方向相同，又|2a|=2|

6、a|，（1）的說法正確.（2）正確，50，5a與a方向相同，且|5a|=5|a|，而-20，-2a與a的方向相反，且|-2a|=2|a|，5a與-2a的方向相反，且-2a是5a模的.故（2）的說法正確.（3）正確，按照相反向量的定義可以判斷.（4）錯誤，因為-（b-a）與b-a是一對相反向量，而a-b與b-a是一對相反向量，故a-b與-（b-a）為相等向量.【例2】已知m、n為非零實數(shù)，a、b為非零向量，則下列命題正確的個數(shù)為（ ）m(a-b)=ma-mb；(m-n)a=ma-na；ma=mb,則a=b；若ma=na,則m=n.A.4B.3C.2D.1分析：完成本題要理解領(lǐng)會向量數(shù)乘的運算律.

7、解：分別是向量數(shù)乘運算律中的分配律，因此正確；由于m0，故ma=mb,能推出a=b，正確；由于a0,故ma=na可得m=n，正確.答案：A【例3】計算下列各式：（1）3（2a-b）-2（4a-3b）；（2）（4a+3b）-（3a-b）-b；（3）2（3a-4b+c）-3（2a+b-3c）.分析：在計算過程中，要利用數(shù)乘向量的分配律，且在計算過程中要注意“合并同類項”的應(yīng)用.解：（1）3（2a-b）-2（4a-3b）=6a-3b-8a+6b=-2a+3b.（2）（4a+3b）-（3a-b）-b=a+b-a+b-b=（）a+（1+-）b=a.（3）2（3a-4b+c）-3（2a+b-3c）=6a-

8、8b+2c-6a-3b+9c=（6-6）a-（8+3）b+（2+9）c =-11b+11c.【例4】已知a、b不共線，（1）實數(shù)x、y滿足等式3xa+（10-y）b=（4y+7）a+2xb,則求出x、y值；（2）把滿足3x-2y=a，-4x+3y=b的向量x、y用a、b表示出來.分析:由于a、b不共線，故（1）式成立時，須滿足等式左右a、b的系數(shù)相等，即3x=4y+7，10-y=2x，解方程組即得x、y.第（2）題實際上是解兩個向量方程構(gòu)成的方程組，其中x、y為未知向量，a、b為已知向量.解：（1）a、b為不共線向量，要使等式3xa+(10-y)b=(4y+7)a+2xb成立，則有解得(2)4+3，得y=4a+3b.再將代入中;得x=3a+2b.【例5】 用向量證明：梯形中位線平行于兩底且等于上、下兩底和的一半.已知：如右圖，梯形ABCD中，E、F是兩腰AD、BC的中點