1、3.2.2 函數模型的應用實例（1）從容說課我們已經學習過的函數有一次函數、二次函數、指數函數、對數函數以及冪函數，它們都與現實世界有著緊密的聯系和廣泛的應用.應用數學知識去解決有關實際問題，是我們學習數學的重要目標之一.本節(jié)課函數模型的應用實例主要通過一些實例來感受這些函數的廣泛應用，逐步體會解決實際問題中構建函數模型的過程.函數模型的應用實例主要包含三個方面：利用給定的函數模型解決實際問題，建立確定性函數模型解決問題及建立擬合函數模型解決實際問題.例1主要根據題意列出相應的表格，通過表中數據的實際意義解決問題.例2涉及的數學模型是確定的，需要我們利用問題中的數據及其蘊含的關系建立數學模型，

2、主要意圖是讓學生利用函數模型（分段函數）刻畫實際問題.例3中的數學模型y=y0ert是指數函數模型，它由y0與r這兩個參數決定，而y0與r的值不難得到.本題意圖是讓學生驗證問題中的數據與所提供的數學模型，并用數學模型解釋實際問題.在教學中結合教材內容注重培養(yǎng)學生閱讀理解的能力，提高其讀圖、畫圖的能力.三維目標一、知識與技能1.能利用給定函數模型解決實際問題.2.通過給出數據進行分析，畫出散點圖，并能驗證問題中的數據與所提供的函數模型是否相吻合.3.增強讀圖、畫圖、識圖的意識，全面提高閱讀理解的能力.二、過程與方法1.通過對給出的圖形和數據的分析，抽象出相應的確定性函數的模型.2.根據收集到的數

3、據作出散點圖，并通過觀察圖象判斷問題所適用的函數模型，利用計算器的數據擬合功能得出具體的函數解析式.三、情感態(tài)度與價值觀應用數學知識解決實際問題.培養(yǎng)學生高尚的品德，使其樹立遠大的理想，并能利用所學知識為社會服務.教學重點根據收集到的數據作出散點圖，并通過觀察圖象判斷問題所適用的函數模型，利用計算器的數據擬合功能得出具體的函數解析式.教學難點怎樣選擇數學模型分析解決實際問題.教具準備多媒體課件、投影儀、計數器.教學過程一、創(chuàng)設情景，引入新課師：我們已經學習過的函數有一次函數、二次函數、指數函數、對數函數以及冪函數，它們都與現實世界有著緊密的聯系和廣泛的應用.應用數學知識去解決有關實際問題，是我

4、們學習數學的重要目標之一.本節(jié)課函數模型的應用實例（板書）主要通過一些實例讓我們來感受這些函數的廣泛應用，逐步體會解決實際問題中構建函數模型的過程.二、例題剖析【例1】 某漁業(yè)公司年初用98萬元購買一艘捕魚船，第一年各種費用為12萬元，以后每年都增加4萬元，每年捕魚收益50萬元. 問（1）第幾年后開始獲利？（2）當總純收入獲利最大時，以8萬元出售該魚船，問總獲利為多少？分析：首先要弄清什么是第幾年后開始獲利.開始獲利指哪一年后，總收入大于成本與各種費用的和，就開始獲利.從題目條件中可以知道，每年捕魚收益是一個常量50萬元，而各種費用是逐年增加的，并且第n年的各種費用為12+（n1）4=4n+8

5、，從中可以看出，從某一年開始，捕魚收益不夠支付費用，即要虧本.可以計算出10年以后如不出售該漁船將會虧本（504n+8），因為這里變量都是整數且數據較小，因此僅列表就能得出相應的結論.解：列出下表年數1234567891011年收入5050505050505050505050年各種費用1216202428323640444852年純收入3834302622181410622總獲利602643052708494100102100（1）由表格可以得到，第3年開始獲利.（2）到第10年時，總純收入獲利最大為102+8=110.（注意：最后該船是以8萬元出售的）【例2】 一輛汽車在某段路程中的行駛速度

6、與時間的關系如下圖所示.（1）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；（2）假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數為2004 km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數s km與時間t的函數解析式，并作出相應的圖象.師：先用投影儀投影出圖一（將原圖中的陰影部分隱去），分析這張圖可以得到的是一個速度關于時間變化的圖象，說明了速度與時間之間的什么關系？生：汽車在第1小時內以50 km/h的速度勻速行駛；汽車在第2小時內以80 km/h的速度勻速行駛；汽車在第3小時內以90 km/h的速度勻速行駛；汽車在第4小時內以75 km/h的速度勻速行駛；汽車在第5小時內以65 km/h的速

7、度勻速行駛.師：再用投影儀投影圖二，（給出一個陰影矩形的面積，通過分析，讓學生理解它的意義；我們知道這個陰影部分的面積（S=速度時間）為50，它表示的是汽車在第1小時內行駛的路程為50 km.以此我們可以得出第2、3、4、5個陰影部分的面積分別為80、90、75、65，它們分別表示的是汽車在第2、3、4、5小時內行駛的路程.因此，整個陰影部分的面積表示汽車在這5小時內行駛的路程之和為360 km.對于第2個問題，通過對圖形的分析，可以看出：汽車在第1小時內以50 km/h的速度勻速行駛；所以其行駛的路程與時間的函數關系是s=50t（0t1）.因此第1小時內，里程表上的讀數與時間的函數關系為s=

8、s+2004=50t+2004（0t1）.第2小時，該汽車以80 km的速度勻速行駛.因此第2小時內，汽車行駛的路程與時間的函數關系為s=50+80（t1）（1t2）.第1小時內，里程表上的讀數與時間的函數關系為s=s+2054=80（t1）+2054（1t2）.以此類推，（讓學生自主完成）可以得出50t+2004， 0t1，80（t1）+2054，1t2，90（t2）+2134，2t3，75（t3）+2224，3t4，65（t4）+2299，4t5.s=例2所涉及的數學模型是確定的，關鍵在于利用問題中的數據及其蘊含的關系建立數學模型，讓學生學會如何用函數模型來刻畫實際問題.這里我們得到的是一

9、個分段函數的模型，讓學生注意分段函數的表示方法，及其定義域.學時探究：你能根據圖一，作出汽車行駛路程關于時間變化的圖象嗎？（1）首先獲得路程關于時間變化的函數解析式50t， 0t1，80（t1）+50，1t2，90（t2）+130，2t3，75（t3）+220，3t4，65（t4）+295，4t5.s=（2）根據上面的函數解析式畫出汽車行駛路程關于時間變化的圖象，其實這個圖象就是將圖二向下平移了2004個單位.【例3】 人口問題是當今世界各國普遍關注的問題，認識人口數量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據.早在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：y=y0er

10、t，其中t表示經過的時間，y0表示t=0時的人口數，r表示人口的年平均增長率.下表是19501959年我國人口數據資料： 年份1950195119521953195419551956195719581959人數/萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207（1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數據是否相符；（2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國人口達到13億？并根據所得結論，總結說明了什么問題.分析

11、：這里要我們去驗證問題中的數據與所提供的函數模型是否吻合，然后再利用函數模型解釋實際問題，并利用模型進行預測.這里的函數模型y=y0ert是指數型函數模型，它由y0與r兩個參數決定，實際上，y0就是1950年的人數，r是指各年的人口增長率的平均值，比較容易求得.解：（1）設19501959年的人口增長率分別為r1，r2，r9.由55196（1+r1）=56300，可得1951年的人口增長率r10.0200.同理可得，r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，r90.0184.于是，19501959年期間，我國人

12、口的年平均增長率為r=（r1+r2+r9）90.0221.由y0=55196可得我國在19501959年期間的人口增長模型為y=55196e0.0221t（tN）.（請同學們利用計數器作出函數y=55196e0.0221t（tN）的圖象，再根據表中19501959年人口數據，作出散點圖（如下圖），并進行比較，得出相應的結論）由圖可以看出，所得模型與19501959年的實際人口數據基本吻合.（2）師：根據所得函數模型y=55196e0.0221t（tN）預測我國人口大約在哪一年達到13億，實際上是通過一個對數式55196e0.0221t=來確定t的近似值.請同學們利用計數器進行計算：即t=（ln

13、ln55196）38.76.因此如果按表中的增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國的人口數就已達到13億，由此可以看到，如果不實行計劃生育，而是讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的人口壓力.三、課堂練習1.已知1650年世界人口為5億，當時人口的年增長率為0.3%；1970年世界人口為36億，當時人口的年增長率為2.1%.（1）用馬爾薩斯人口模型計算，什么時候世界人口是1650年的2倍？什么時候世界人口是1970年的2倍？（2）實際上，1850年以前世界人口就超過了10億，而2003年世界人口還沒有達到72億，你對同樣的模型得出的兩個結果有何看法？2.以v0 m/s

14、的速度豎直向上運動的物體，t s后的高度h m滿足h=v0t4.9t2，速度v m/s滿足v=v09.8t.現以75 m/s的速度向上發(fā)射一發(fā)子彈，問子彈保持在100 m以上高度的時間是多少秒？在此過程中，子彈速度的范圍是多少？答案：1.（1）由y=5e0.003t可知，當y=10時，t231，所以1881年世界人口是1650年的2倍.同理可得2003年世界人口是1970年的2倍.（2）由此看出，此模型不太適宜估計跨度時間非常大的人口增長情況.2.由題意有75t4.9t2=100，解得t=.解得t11.480，t213.827.所以子彈保持在100 m以上的時間t=t2t112.35，在此過程中，子彈最大速度v1=v09.8t=759.81.48=60.498 m/s.四、課堂小結本節(jié)課