1、23.1拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線(xiàn)的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)的概念.2.會(huì)求簡(jiǎn)單的拋物線(xiàn)的方程知識(shí)鏈接如圖，我們?cè)诤诎迳袭?huà)一條直線(xiàn)EF，然后取一個(gè)三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點(diǎn)，將三角板的另一條直角邊貼在直線(xiàn)EF上，在拉鎖D處放置一支粉筆，上下拖動(dòng)三角板，粉筆會(huì)畫(huà)出一條曲線(xiàn)畫(huà)出的曲線(xiàn)是什么形狀？點(diǎn)D在移動(dòng)過(guò)程中，滿(mǎn)足什么條件？答案拋物線(xiàn)|DA|DC|預(yù)習(xí)導(dǎo)引1拋物線(xiàn)的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(Fl)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)2拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程y

2、22px(p0)(，0)xy22px(p0)(，0)xx22py(p0)(0，)yx22py(p0)(0，)y要點(diǎn)一求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求滿(mǎn)足下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為(2,0)；(2)準(zhǔn)線(xiàn)為y1；(3)過(guò)點(diǎn)A(2,3)；(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.解(1)由于焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，且2，p4，拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x.(2)焦點(diǎn)在y軸正半軸上，且1，p2，拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y.(3)由題意，拋物線(xiàn)方程可設(shè)為y2mx(m0)或x2ny(n0)，將點(diǎn)A(2,3)的坐標(biāo)代入，得32m2,22n3，m，n.所求拋物線(xiàn)方程為y2x或x2y.(4)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，可知p.所求

3、拋物線(xiàn)方程為y25x或y25x或x25y或x25y.規(guī)律方法求拋物線(xiàn)方程，通常用待定系數(shù)法，若能確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)方程可設(shè)為y2ax(a0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線(xiàn)方程可設(shè)為x2ay(a0)跟蹤演練1分別求滿(mǎn)足下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 過(guò)點(diǎn)(3，4)；(2) 焦點(diǎn)在直線(xiàn)x3y150上解(1)方法一點(diǎn)(3，4)在第四象限，設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px (p0)或x22p1y (p10)把點(diǎn)(3，4)的坐標(biāo)分別代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1

4、.所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x2y.方法二設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2ax (a0)或x2by (b0)把點(diǎn)(3，4)分別代入，可得a，b.所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x2y.(2)令x0得y5；令y0得x15.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(0，5)或(15,0)所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x220y或y260x.要點(diǎn)二拋物線(xiàn)定義的應(yīng)用例2如圖，已知拋物線(xiàn)y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)解如圖，作PQl于Q，由定義知，拋物線(xiàn)上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離d，由圖可知，求|PA|PF|的最小值的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求|PA|d的最小值的問(wèn)題將

5、x3代入拋物線(xiàn)方程y22x，得y.2，A在拋物線(xiàn)內(nèi)部設(shè)拋物線(xiàn)上點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d.由圖可知，當(dāng)PAl時(shí)，|PA|d最小，最小值為.即|PA|PF|的最小值為，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x2.點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2)規(guī)律方法要注意拋物線(xiàn)的定義在解題中的作用，靈活地進(jìn)行拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)距離的轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線(xiàn)上點(diǎn)的連線(xiàn)垂線(xiàn)段最短等跟蹤演練2已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值為()A.B2C.D.答案A

6、解析如圖，由拋物線(xiàn)定義知|PA|PQ|PA|PF|，則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|PF|的最小值，則當(dāng)點(diǎn)P在第一象限且A、P、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA|PF|取得最小值又A(0,2)，F(xiàn)(，0)，(|PA|PF|)min|AF|.要點(diǎn)三拋物線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用例3噴灌的噴頭裝在直立管柱OA的頂點(diǎn)A處，噴出水流的最高點(diǎn)B高5m，且與OA所在的直線(xiàn)相距4m，水流落在以O(shè)為圓心，半徑為9m的圓上，則管柱OA的長(zhǎng)是多少？解如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)水流所形成的拋物線(xiàn)的方程為x22py(p0)，因?yàn)辄c(diǎn)C(5，5)在拋物線(xiàn)上，所以252p(5)，因此2p5，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為x25y，點(diǎn)A(4，y0)在拋物

7、線(xiàn)上，所以165y0，即y0，所以O(shè)A的長(zhǎng)為51.8 (m)所以管柱OA的長(zhǎng)為1.8m.規(guī)律方法在建立拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，常以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，這樣可使得標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱(chēng)性，而且曲線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用跟蹤演練3某河上有一座拋物線(xiàn)形的拱橋，當(dāng)水面距拱頂5m時(shí)，水面寬8m，一木船寬4m，高2m，載貨的木船露在水面上的部分高為0.75m，貨物的寬與木船相同，當(dāng)水面上漲到與拱頂相距多少時(shí)，木船開(kāi)始不能通航？解以橋的拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，拱高所在的直線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)拋物線(xiàn)的方程是x22py(p0)，由題意知A(4，5)在拋物線(xiàn)

8、上，故：162p(5)p，則拋物線(xiàn)的方程是x2y(4x4)，設(shè)水面上漲，木船貨物上表面兩側(cè)與拋物線(xiàn)形拱橋接觸于B、B時(shí)，木船開(kāi)始不能通航設(shè)B(2，y)，22yy.0.752.故當(dāng)水面上漲到與拋物線(xiàn)形的拱頂相距2m時(shí)，木船開(kāi)始不能通航.1已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x7，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax228yBy228xCy228xDx228y答案B解析拋物線(xiàn)開(kāi)口向右，方程為y22px (p0)的形式，又7，所以2p28，方程為y228x.2已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸，焦點(diǎn)在雙曲線(xiàn)1上，則拋物線(xiàn)方程為()Ay28xBy24xCy22xDy28x答案D解析由題意知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為雙曲線(xiàn)1的頂點(diǎn)，即為(2,0)或(2,0)，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為y28x或y28x.3已知直線(xiàn)l1：4x3y60和直線(xiàn)l2：x1，拋物線(xiàn)y24x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離之和的最小值是()A2B3C.D.答案A解析如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P到l2：x1的距離可轉(zhuǎn)化為到點(diǎn)F的距離，由圖可知，距離和的最小值，即F到直線(xiàn)l1的距離d2.4已知拋物線(xiàn)C：y2x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|x0，則x0等于()A4B2C1D8答案C解析如圖，F(xiàn)(，0)，過(guò)A作AA準(zhǔn)線(xiàn)l，|AF|AA|，x0x0x0，x01.1.拋物線(xiàn)的定義中不可忽略條件