1、1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理一名游客從沈陽出發(fā)去長沙游玩，已知從沈陽到長沙每天有7個航班、6列火車問題1：該游客從沈陽到長沙的方案可分幾類？提示：兩類，即乘飛機(jī)、坐火車問題2：這幾類方案中各有幾種方法？提示：第1類方案(乘飛機(jī))有7種方法，第2類方案(坐火車)有6種方法問題3：該游客從沈陽到長沙共有多少種不同的方法？提示：共有7613種不同的方法1完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法2完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的

2、方法，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法1分類加法計數(shù)原理中各類辦法相互獨立，各類辦法中的各種方法也相互獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事2要清楚“完成一件事”的含義，即知道做“一件事”或完成一個“事件”在題目中具體所指的是什么3分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類.分步乘法計數(shù)原理一名游客從沈陽出發(fā)去長沙游玩，但需在北京停留，已知從沈陽到北京每天有7個航班，從北京到長沙每天有6列火車問題1：該游客從沈陽到長沙需要經(jīng)歷幾個步驟？提示：兩個，即先乘飛機(jī)到北京，再坐火車到長沙問題2：完成每一步各有幾種方法

3、？提示：第1個步驟有7種方法，第2個步驟有6種方法問題3：該游客從沈陽到長沙共有多少種不同的方法？提示：共有7642種不同的方法1完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法2完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法1分步乘法計數(shù)原理是完成一件事要分成若干步，各個步驟相互依存，完不成其中任何的一步都不能完成這件事，只有當(dāng)各個步驟都完成之后，才能完成該事件2要清楚“完成一件事”的含義，即知道做“一件事”或完成一個“事件”

4、在題目中具體所指的是什么3分步時，首先要根據(jù)問題特點確定一個可行的分步標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)不同，分的步驟數(shù)也會不同分類加法計數(shù)原理某校高三共有三個班，各班人數(shù)如下表.男生數(shù)女生數(shù)總數(shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？(1)從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，共有三類不同的方案：第1類，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類，從高三(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；第3類，從高

5、三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，共有506055165種不同的選法從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有三類不同的方案：(2)第1類，從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第2類，從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類，從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有30302080種不同的選法利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流

6、程若x，yN*，且xy6，試求有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)解：按x的取值進(jìn)行分類：x1時，y1,2,3,4,5，共構(gòu)成5個有序自然數(shù)對；x2時，y1,2,3,4，共構(gòu)成4個有序自然數(shù)對；x5時，y1，共構(gòu)成1個有序自然數(shù)對根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N5432115個有序自然數(shù)對.分步乘法計數(shù)原理從1,2,3,4中選三個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則滿足下列條件的數(shù)有多少個？(1)三位數(shù)；(2)三位偶數(shù)(1)三位數(shù)有三個數(shù)位：百位十位個位故可分三個步驟完成：第1步，排個位，從1,2,3,4中選1個數(shù)字，有4種方法；第2步，排十位，從剩下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法；第3步，排百位，從剩下的2個

7、數(shù)字中選1個，有2種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有43224個滿足要求的三位數(shù)(2)分三個步驟完成：第1步，排個位，從2,4中選1個，有2種方法；第2步，排十位，從余下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法；第3步，排百位，只能從余下的2個數(shù)字中選1個，有2種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有23212個滿足要求的三位偶數(shù)利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程一個口袋里有5封信，另一個口袋里有4封信，各封信內(nèi)容均不相同(1)從兩個口袋里各取1封信，有多少種不同的取法？(2)把這兩個口袋里的9封信，分別投入4個郵筒，有多少種不同的投法？解：(1)各取1封信，不論從哪個口袋里取，都不能算完成了這件事，因此應(yīng)分兩

8、個步驟完成，由分步乘法計數(shù)原理知，共有5420種不同的取法(2)若從每封信投入郵筒的可能性考慮，第1封信投入郵筒有4種可能，第2封信仍有4種可能第9封信還有4種可能，所以共有49種不同的投法.兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有多少種不同的帶法？(2)若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本，則有多少種不同的帶法？(3)若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，則有多少種不同的帶法？(1)完成的事情是帶一本書，無論帶外語書，還是數(shù)學(xué)書、物理書，事情都已完

9、成，從而確定應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為54312(種)(2)完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書，只有從外語、數(shù)學(xué)、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)果為54360(種)(3)選1本外語書和選1本數(shù)學(xué)書應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，有5420種選法；同樣，選外語書、物理書各1本，有5315種選法；選數(shù)學(xué)書、物理書各1本，有4312種選法即有三類情況，應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為20151247(種)在用兩個計數(shù)原理處理問題時，首先要分清是“分類”還是“分步”，其次要清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在“分類”時要遵循“不重”“不漏”的原則，在“分步”時要正確設(shè)計“分步”的

10、程序，注意“步”與“步”之間的連續(xù)性有一項活動，需在3名老師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選部分人員參加(1)若只需一人參加，有多少種不同的選法？(2)若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人參加，有多少種不同的選法？(3)若需一名老師、一名同學(xué)參加，有多少種不同的選法？解：(1)有三類：3名老師中選一人，有3種方法；8名男同學(xué)中選一人，有8種方法；5名女同學(xué)中選一人，有5種方法由分類加法計數(shù)原理知，有38516種選法(2)分三步：第1步選老師，有3種方法；第2步選男同學(xué)，有8種方法；第3步選女同學(xué)，有5種方法由分步乘法計數(shù)原理知，共有385120種選法(3)可分兩類，每一類又分兩步第1類，選一名老師再選一

11、名男同學(xué)，有3824種選法；第2類，選一名老師再選一名女同學(xué)，共有3515種選法由分類加法計數(shù)原理知，共有241539種選法.有紅、黃、藍(lán)旗各3面，每次升1面、2面或3面旗縱向排列在某一旗桿上，表示不同的信號，順序不同也表示不同的信號，共可以組成多少種不同的信號？每次升1面旗可組成3種不同的信號；每次升2面旗可組成339種不同的信號；每次升3面旗可組成33327種不同的信號根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共可組成392739種不同的信號1求解時，易忽略信號可分為每次升1面、每次升2面、每次升3面這三類2解決此類問題一般是先分類再分步，分類時要設(shè)計好標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計好分類方案，防止重復(fù)和遺漏，分步時要注意步與步

12、之間的連續(xù)性某外語小組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人組成一個二人活動小組，有多少種不同的選法？解：共分三類：第1類，當(dāng)既會英語又會日語的人被當(dāng)作會英語的人時，選出只會日語的一人即可，有2種選法；第2類，既會英語又會日語的人被當(dāng)作會日語的人時，選出只會英語的一人即可，有6種選法；第3類，既會英語又會日語的人都不參加該二人組時，則需從只會日語和只會英語的人中各選一人，有2612種方法，故共有261220種選法1現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為()A7B12C64 D81解析

13、：選B要完成長褲與上衣配成一套，分兩步：第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，有4種不同選法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同選法故共有4312種不同的配法2已知集合M2,1,3，N4,5,6,7，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是()A18 B17C16 D10解析：選B分兩類：第1類，M中的元素作橫坐標(biāo)，N中的元素作縱坐標(biāo)，則有339個在第一、二象限內(nèi)的點；第2類，N中的元素作橫坐標(biāo)，M中的元素作縱坐標(biāo)，則有428個在第一、二象限內(nèi)的點由分類加法計數(shù)原理，共有9817個點在第一、二象限內(nèi)3從集合0,1,2,3

14、,4,5,6中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)abi，其中虛數(shù)有_個解析：第1步取b的數(shù)，有6種方法；第2步取a的數(shù)，也有6種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6636個虛數(shù)答案：364一學(xué)習(xí)小組有4名男生、3名女生，任選一名學(xué)生當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，共有_種不同選法；若選男、女生各一名當(dāng)組長，共有_種不同選法解析：任選一名當(dāng)數(shù)學(xué)課代表可分兩類，一類是從男生中選，有4種選法；另一類是從女生中選，有3種選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有437種不同選法若選男、女生各一名當(dāng)組長，需分兩步：第1步，從男生中選一名，有4種選法；第2步，從女生中選一名，有3種選法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有4312種不同選法答案：71

15、25有不同的紅球8個，不同的白球7個(1)從中任意取出一個球，有多少種不同的取法？(2)從中任意取出兩個不同顏色的球，有多少種不同的取法？解：(1)由分類加法計數(shù)原理得，從中任取一個球共有8715種取法(2)由分步乘法計數(shù)原理得，從中任取兩個不同顏色的球共有8756種取法一、選擇題1若x1,2,3，y5,7,9，則xy的不同值個數(shù)是()A2B6C9 D8解析：選C求積xy需分兩步取值：第1步，x的取值有3種；第2步，y的取值有3種，故有339個不同的值2已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A40 B16C13 D10解析：選C分兩類：第1類，直

16、線a與直線b上8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b與直線a上5個點可以確定5個不同的平面故可以確定8513個不同的平面3從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法有()A24種 B18種C12種 D6種解析：選B法一(直接法)：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3216種不同的種植方法同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上均有3216種不同的種植方法故共有6318種不同的種植方法法二(間接法)：從4種蔬菜中選出3種種在三塊地上，有43224種方法，其中不種黃瓜有3216種方法，故共有24618種不同的種植方法4設(shè)集合A1,0,1

17、，集合B0,1,2,3，定義A*B(x，y)|xAB，yAB，則A*B 中元素個數(shù)是()A7 B10C25 D52解析：選BAB0,1，AB1,0,1,2,3，x有2種取法，y有5種取法由分步乘法計數(shù)原理得2510.5用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A36個 B18個C9個 D6個解析：選B分三步完成，1,2,3這三個數(shù)中必有某一個數(shù)字被重復(fù)使用2次第1步，確定哪一個數(shù)字被重復(fù)使用2次，有3種方法；第2步，把這2個相同的數(shù)字排在四位數(shù)不相鄰的兩個位置上有3種方法；第3步，將余下的2個數(shù)字排在四位數(shù)余下的兩個位置上，有2種方

18、法故有33218個不同的四位數(shù)二、填空題6加工某個零件分三道工序第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，從中選3人每人做一道工序，則選法有_種解析：從第一、第二、第三道工序中各選一人的方法數(shù)依次為5,6,4，由分步乘法計數(shù)原理知，選法總數(shù)為N564120.答案：1207如圖，從AC有_種不同的走法解析：分為兩類，不過B點有2種走法，過B點有224種走法，共有426種走法答案：68.如圖所示，由電鍵組A，B組成的串聯(lián)電路中，合上兩個電鍵使電燈發(fā)光的方法有_種解析：只有在合上A組兩個電鍵中的任意一個之后，再合上B組三個電鍵中的任意一個，才能使電燈發(fā)光根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有236種不同的方法接通電源，使電燈發(fā)光答案：6三、解答題9若直線方程AxBy0中的A，B可以從0,1,2,3,5這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？解：分兩類完成：第1類，當(dāng)A或B中有一個為0時，表示的直線為x0或