1、1 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理自主整理1.分類加法計數(shù)原理 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法.那么，完成這件事共有N=_種方法.（也稱加法原理）2.分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事共有N=_種方法.（也稱乘法原理）高手筆記1.分類：“做一件事，完成它可以有n類辦法”，這是對完成這件事的所有辦法的一個分類.分類時,首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個適合它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時要注意滿足

2、兩條基本原理：（1）完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；（2）分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.只有滿足這兩條基本原則，才可以保證集合形式表述的分類加法計數(shù)原理的“S=S1S2Sn,SiSj=”兩條基本原則成立，前者保證完成這件事的方法不遺漏，后者保證不重復(fù)，即使用分類加法計數(shù)原理的“不漏不重”.2.分步：“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，這是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟.分步時，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個可行的分步標(biāo)準(zhǔn)；其次，步驟的設(shè)置要滿足完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算最終完成.名師解惑1.如何正確選用兩個計數(shù)原理？剖析：兩個原理的

3、區(qū)別在于一個和分類有關(guān)，一個與分步有關(guān).如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類加法計數(shù)原理；如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計數(shù)原理.2.在使用兩個計數(shù)原理解題時，怎樣才能有效防止“重復(fù)”和“遺漏”的發(fā)生？剖析：（1）畫“樹形圖”：當(dāng)問題比較簡單時，通過畫“樹形圖”可以把所有的情況“不重不漏”地列舉出來.（2）分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一：利用分類加法計數(shù)原理進(jìn)行分類時，一定要以同一個標(biāo)

4、準(zhǔn)進(jìn)行分類.（3）依次排序法:利用分步乘法計數(shù)原理時，把數(shù)字或字母分為先后，先排前面的數(shù)字或字母，再依次排后面的數(shù)字或字母，將最后的數(shù)字或字母排完則結(jié)束.講練互動【例1】高三一班有學(xué)生50人，男30人，女20人；高三二班有學(xué)生60人，男30人，女30人；高三三班有學(xué)生55人，男35人，女20人.（1）從高三一班或二班或三班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？（2）從高三一班、二班男生中，或從高三三班女生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長，有多少種不同的選法?分析：（1）選一名校學(xué)生會主席分三類：從高三一班中選一名，有50種選法；從高三二班中選一名，有60種選法；從高三三班中選一名，有5

5、5種選法，然后利用分類加法計數(shù)原理求解.（2）選一名校學(xué)生會體育部長分三類：從高三一班男生中選，有30種選法；從高三二班男生中選，有30種選法；從高三三班女生中選，有20種選法.然后再利用分類加法計數(shù)原理求解.解：（1）50+60+55=165種，即所求選法有165種.（2）30+30+20=80種,即所求選法有80種.綠色通道:（1）中的分類標(biāo)準(zhǔn)是“班級”；（2）中的分類標(biāo)準(zhǔn)是班級和題目中要求的“性別”.在同一個問題中分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一.變式訓(xùn)練1.三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)為（ ）A.25 B.26 C.36 D.37解析：另兩邊長用x,y表示，且不妨設(shè)1xy11,要構(gòu)成三

6、角形，必須x+y12.當(dāng)y取值11時，x=1,2,3，11，可有11個三角形；當(dāng)y取值10時，x=2，3，10，可有9個三角形當(dāng)y取值6時，x只能取6，只有一個三角形.所求三角形的個數(shù)為11+9+7+5+3+1=36，故選C.答案：C【例2】用數(shù)字1，2，3可以組成多少個四位數(shù)？分析：完成這件事可分為四個步驟：第一步確定千位數(shù)，第二步確定百位數(shù)，第三步確定十位數(shù)，第四步確定個位數(shù)，這四步依次完成了，這件事就完成了.所以可用分步乘法計數(shù)原理求解.解：要組成一個四位數(shù)可以分成四個步驟：第一步確定千位上的數(shù)字，從3個數(shù)字里任選一個數(shù)字，共有3種選法；第二步確定百位上的數(shù)字，依題意數(shù)字允許重復(fù)，仍有3

7、種選法；第三步確定十位數(shù)字，同理，也有3種選法；第四步，也有3種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到可以組成的四位數(shù)的個數(shù)是N=3333=34=81個.綠色通道:要確定一個四位數(shù)，從四位數(shù)各個位上的數(shù)字如何確定的角度考慮，分為四個步驟，這種方法稱為位置優(yōu)先法.變式訓(xùn)練2.用5種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？解：分四個步驟來完成涂色這件事.涂A有5種方法；涂B有4種方法；涂C有3種方法；涂D有3種方法（還可以使用涂A的顏色）.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有5433=180種涂色方法.【例3】一個三層書架，分別放置語文書12本

8、，數(shù)學(xué)書14本，英語書11本.（1）從中取出1本書，共有多少種不同的取法？（2）從中取出語文、數(shù)學(xué)、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）從中取出2本書，且語文、數(shù)學(xué)、英語每種只能選一本，有多少種不同的取法？分析：（1）中利用分類加法計數(shù)原理；（2）中利用分步乘法計數(shù)原理；（3）中先分類，然后再分步，利用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理求解.解：（1）分三類，共有不同取法N=12+14+11=37種.（2）分三步，共有不同取法N=121411=1 848種.（3）分三類，每類分兩步.從語文、數(shù)學(xué)書中各選1本，有1214種不同的選法；從語文、英語書中各選1本，有1211種不同的選法；從數(shù)學(xué)、

9、英語書中各選1本，有1411種不同的選法，所以共有不同的選法N=1214+1211+1411=454種.綠色通道:對于復(fù)雜的計數(shù)問題，一般是先分類再分步，分類時要設(shè)計好標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計好分類方案，防止重復(fù)和遺漏，分步時要注意步與步之間的連續(xù)性.變式訓(xùn)練3.現(xiàn)有高一四個班學(xué)生共34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.（1）選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？（3）推選二人作中心發(fā)言，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解：（1）分四類，第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8

10、種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法，所以，共有不同的選法N=7+8+9+10=34種.（2）分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長，所以共有不同的選法N=78910=5 040種.（3）分六類，每類又分兩步.從一班、二班學(xué)生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有79種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有710種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有89種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有810種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有910種不同的選法，所以共有不同的選法N=78

11、+79+710+89+810+910=431種.【例4】已知100到999的三位數(shù)，其中含有0的三位數(shù)有多少？分析：綜合應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，也可利用排除法求解.解法一：分類法.將含有數(shù)字0的三位數(shù)分三類：（1）只在個位上是0的，有99=81個；（2）只在十位上是0的，有99=81個；（3）個位與十位上都是0的，有9個.由分類加法計數(shù)原理，共有81+81+9=171個解法二：排除法.從所有的可能中減去不符合條件的排法的個數(shù).從100到999所有的三位數(shù)共有999-99=900個，個位與十位均不為0的三位數(shù)由分步乘法計數(shù)原理共有999=729個，因此，含有數(shù)字0的三位數(shù)有900

12、-729=171個.綠色通道:“分類則加，分步則乘”是一個基本原則，分類要求不重、不漏，本例中的解法一按照0出現(xiàn)的數(shù)位及個數(shù)分為三類，是從特殊位置來討論的.正難反易，因此排除法也是一種重要方法，如本例的解法二.變式訓(xùn)練4.在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有_個.解析：用逆向思維，用總數(shù)減去個位數(shù)為0和5的情況.由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)：千位數(shù)字有5種，百位數(shù)字有5種，十位數(shù)字有4種，個位數(shù)字有3種，共5543=300個；個位為0的四位數(shù)：千位數(shù)字有5種，百位數(shù)字有4種，十位數(shù)字有3種，共543=60個;個位為5的四位數(shù)：千位數(shù)字有4種，百位數(shù)字有4種，十位數(shù)字有3種，共443=48個.不能被5整除的數(shù)共有：300-