1、2.6.2求曲線的方程1了解求曲線方程的步驟，會(huì)求一些簡(jiǎn)單曲線的方程(重點(diǎn))2掌握求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法(難點(diǎn))3對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的限制與檢驗(yàn)(易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理求曲線的方程閱讀教材P63例1以上的部分，完成下列問題1求曲線方程的一般步驟求曲線方程的一般步驟為五步用流程圖表示如下：求曲線方程的流程圖可以簡(jiǎn)記為：2求曲線方程的常用方法求曲線方程的常用方法有直接法、代入法、參數(shù)法、幾何法、定義法1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在求曲線方程時(shí)，對(duì)于同一條曲線，坐標(biāo)系的建立不同，所得到的曲線方程也不一樣()(2)化簡(jiǎn)方程“|x|y|”為“yx”是恒等變形()(3)按照求曲線方程的步驟求

2、解出的曲線方程不用檢驗(yàn)()(4)在求曲線方程時(shí)，如果點(diǎn)有了坐標(biāo)或曲線有了方程，則說明已經(jīng)建立了平面直角坐標(biāo)系()【答案】(1)(2)(3)(4)2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)M的軌跡方程是_【解析】由圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以(0,0)為圓心，以2為半徑的圓，則其方程為x2y24.【答案】x2y243設(shè)P為曲線y21上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是_【解析】設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，則x02x，y02y，y1，x24y21.【答案】x24y214到A(3,0)，B(5，1)的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】設(shè)P(x，y)，PA

3、PB，即，即(x3)2y2(x5)2(y1)2，化簡(jiǎn)得16x2y170.【答案】16x2y170質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型直接法求軌跡方程在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，acb，且a，c，b成等差數(shù)列，AB2，求頂點(diǎn)C的軌跡方程【精彩點(diǎn)撥】由a，c，b成等差數(shù)列可得ab2c；由acb可知所求軌跡方程是整個(gè)軌跡方程的一部分；由AB2可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系于是可按求曲線方程的一般步驟求解【自主解答】以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(1,0)，設(shè)

4、C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由已知得ACBC2AB.即4，整理化簡(jiǎn)得3x24y2120，即1.又acb，x0且x2.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為1(xcb且a，c，b成等差數(shù)列”改為“ABC的周長(zhǎng)為6且AB2”，求頂點(diǎn)C的軌跡方程【解】以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則A(1,0)，B(1,0)，設(shè)C(x，y)，由已知得ACBCAB6.即4.化簡(jiǎn)整理得3x24y2120，即1.A，B，C三點(diǎn)不能共線，x2.綜上，點(diǎn)C的軌跡方程為1(x2).定義法求曲線方程已知圓A：(x2)2y21與定直線l：x1，且動(dòng)圓P和圓A外切并與直線l相切，求動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程【精彩點(diǎn)

5、撥】利用平面幾何的知識(shí)，分析點(diǎn)P滿足的條件為拋物線，可用定義法求解【自主解答】如圖，作PK垂直于直線x1，垂足為K，PQ垂直于直線x2，垂足為Q，則KQ1，所以PQr1，又APr1，所以APPQ，故點(diǎn)P到圓心A(2,0)的距離和到定直線x2的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線，A(2,0)為焦點(diǎn)，直線x2為準(zhǔn)線2，p4，點(diǎn)P的軌跡方程為y28x.若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求解，這種求軌跡的方法稱為定義法，利用定義法求軌跡要善于抓住曲線的定義的特征.再練一題2點(diǎn)P與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到定直線x8的距離的比是12，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明

6、軌跡是什么圖形【解】設(shè)d是點(diǎn)P到直線x8的距離，根據(jù)題意，得.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以F(2,0)為焦點(diǎn)，x8為準(zhǔn)線的橢圓，則解得b2a2c216412.故點(diǎn)P的軌跡方程為1.代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程已知P在拋物線yx2上運(yùn)動(dòng)，另有一點(diǎn)Q(4,2)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程【精彩點(diǎn)撥】設(shè)M(x，y)，由M為線段PQ的中點(diǎn)，可表示出在已知拋物線上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入到已知拋物線，進(jìn)而得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【自主解答】設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)由M為線段PQ的中點(diǎn)，得x，y，則x02x4，y02y2.因?yàn)镻(x0，y0)在拋物線yx2上，即y0x，得2y2(2x4)2，化

7、簡(jiǎn)得y2x28x9.即線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為y2x28x9.1動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不方便用等式求出，但動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，即可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)動(dòng)點(diǎn)法，也稱代入法2代入法求動(dòng)點(diǎn)軌跡，要設(shè)從動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，用x，y表示x0，y0，不要弄反代入而導(dǎo)致錯(cuò)誤再練一題3在例3中，若點(diǎn)M滿足3，則點(diǎn)M的軌跡方程是什么？【解】設(shè)P(x0，y0)，則y0x，設(shè)M(x，y)，則(4x0,2y0)，(4x,2y)，由3，得即又y0x，3y4(3x8)2，化簡(jiǎn)得y3x216x，

8、即點(diǎn)M的軌跡方程為y3x216x.探究共研型曲線方程的特征探究1在解決曲線的方程問題時(shí)，怎樣建立“適當(dāng)?shù)摹弊鴺?biāo)系？【提示】建立坐標(biāo)系時(shí)，要充分利用圖形的幾何特征，例如，中心對(duì)稱圖形，可利用它的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；軸對(duì)稱圖形，可利用它的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；題設(shè)中有直角，可考慮以兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸等同一曲線，坐標(biāo)系建立的不同，方程也不相同所以要遵循垂直性和對(duì)稱性的原則建系一方面讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，另一方面能使求出的軌跡方程形式簡(jiǎn)捷探究2“軌跡方程”與“軌跡”有什么異同？【提示】(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程實(shí)質(zhì)上是建立軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)所適合的方程f(x，y)0.有時(shí)

9、要在方程后根據(jù)需要指明變量的取值范圍；(2)軌跡是點(diǎn)的集合，是曲線，是幾何圖形，故求點(diǎn)的軌跡時(shí)，除了寫出方程外，還必須指出這個(gè)方程所代表的曲線的形狀、位置、范圍、大小等探究3在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí) ，如何確定變量的取值范圍？【提示】在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，注意不要把范圍擴(kuò)大或縮小，也就是要檢驗(yàn)軌跡的純粹性和完備性應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出變量的適當(dāng)范圍探究4如何利用參數(shù)法求軌跡方程，利用參數(shù)法求軌跡方程時(shí)要注意什么？【提示】(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y滿足的等式關(guān)系不易直接找出時(shí)，可以設(shè)出與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有關(guān)的變量作為參數(shù)，間接地表示出關(guān)于x，y的方程，然后再消去參數(shù)，為了消去參數(shù)，應(yīng)根據(jù)題意

10、找出參數(shù)滿足的等式在具體問題中，往往以直線的斜率k，傾斜角，截矩b，時(shí)間t等作為參數(shù)(2)利用參數(shù)法求軌跡方程時(shí)，應(yīng)注意參數(shù)的取值范圍同時(shí)，參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一個(gè)難點(diǎn)就是消參數(shù)，應(yīng)選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄏ?shù)例如代入法、加減法、恒等式法等設(shè)橢圓方程為x21，過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足()，當(dāng)直線l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程【精彩點(diǎn)撥】設(shè)出直線的方程，其斜率為k，運(yùn)用所給條件，用k表示點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)，消去k，得x，y的關(guān)系式，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程【自主解答】直線l過定點(diǎn)M(0,1)，當(dāng)其斜率存在時(shí)設(shè)為k，則l的方程為ykx1.設(shè)A(x1，y1)，B(x

11、2，y2)，由題意知，A，B滿足方程組消去y，得(4k2)x22kx30，則4k212(4k2)0，x1x2，x1x2.P(x，y)是AB的中點(diǎn)，則由消去k，得4x2y2y0；當(dāng)斜率k不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，也滿足這個(gè)方程，故P點(diǎn)的軌跡方程為4x2y2y0.再練一題4過原點(diǎn)作直線l和拋物線yx24x9交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程【解】由已知，直線l的斜率一定存在，設(shè)l的方程為ykx，把它代入拋物線方程中，得x2(4k)x90.由(4k)2360，得k2或k2或k3或x3或xb0)上任意一點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，則線段MN中點(diǎn)的軌跡方程是_【解析】設(shè)MN的中點(diǎn)P(x，

12、y)，則點(diǎn)M(x,2y)在橢圓上， 1，即1.【答案】15已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(3,0)，(3,0)，邊AC，BC所在直線的斜率之積為，求頂點(diǎn)C的軌跡方程【解】設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，則kCA(x3)，kBC(x3)kCAkBC，.化簡(jiǎn)得1(x3)當(dāng)x3時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線，則不能構(gòu)成三角形，故x3.所求頂點(diǎn)C的軌跡方程為1(x3)我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題1已知點(diǎn)A(2,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足x26，則點(diǎn)P的軌跡方程是_【解析】(3x，y)，(2x，y)，(3x)(2

13、x)y2x2x6y2x26，y2x.【答案】y2x2“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)0的解”是“方程f(x，y)0是曲線C的方程”的_條件【解析】“方程f(x，y)0是曲線C的方程 ”“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)0的解”，反之不成立【答案】必要不充分3平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A，B，且AB4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|4，則點(diǎn)P的軌跡方程是_【解析】以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2,0)，B(2,0)|2|4，|2.設(shè)P(x，y)，2，即x2y24，點(diǎn)P的軌跡方程是x2y24.【答案】x2y244已知定點(diǎn)F(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在x軸上，且0，延

14、長(zhǎng)MP到點(diǎn)N，使得|，則點(diǎn)N的軌跡方程是_【解析】由于|，則P為MN的中點(diǎn)設(shè)N(x，y)，則M(x,0)，P，由0，得0，所以(x)10，則y24x，即點(diǎn)N的軌跡方程是y24x.【答案】y24x5已知A(1,0)，B(2,4)，ABC的面積為10，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是_【解析】由兩點(diǎn)式，得直線AB的方程是，即4x3y40，AB5.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則510，即4x3y160或4x3y240.【答案】4x3y160或4x3y2406(2016沈陽(yáng)高二檢測(cè))已知AB3，A，B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】設(shè)P(x，y)，A(x0,0)，

15、B(0，y0)AB3，xy9，(x，y)(x0,0)(0，y0).所以即又xy9，所以x29y29，即y21.【答案】y217ABC的頂點(diǎn)A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_【解析】如圖，ADAE8，BFBE2，CDCF，所以CACB826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為1(x3)【答案】1(x3)8已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：y2x4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程是_【解析】，R，A，P三點(diǎn)共線，且A為RP的中點(diǎn)，設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，則由，得(1x1，y1)(x1，y)，則即

16、x12x，y1y，將其代入直線y2x4中，得y2x，點(diǎn)P的軌跡方程為y2x.【答案】y2x二、解答題9已知點(diǎn)Q在橢圓C：1上，點(diǎn)P滿足()(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓C的左焦點(diǎn))，求點(diǎn)P的軌跡方程【解】因?yàn)辄c(diǎn)P滿足()，所以P是線段 QF1的中點(diǎn)，設(shè)P(x，y)，由于F1為橢圓C：1的左焦點(diǎn)，則F1(，0)，故Q，由點(diǎn)Q在橢圓C：1上，則點(diǎn)P的軌跡方程為1，故點(diǎn)P的軌跡方程為1.10如圖264，過點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程圖264【解】法一：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)M為線段AB的中點(diǎn)，A的坐標(biāo)為(2x,0)

17、，B的坐標(biāo)為(0,2y)l1l2，且l1，l2過點(diǎn)P(2,4)，PAPB，kPAkPB1.而kPA(x1)，kPB，1(x1)整理，得x2y50(x1)當(dāng)x1時(shí)，A，B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(0,4)，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)，它滿足方程x2y50.綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程是x2y50.法二：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)，(0,2y)，連結(jié)PM.l1l2，2PMAB.而PM，AB，2，化簡(jiǎn)，得x2y50，即為所求軌跡方程法三：l1l2，OAOB，O，A，P，B四點(diǎn)共圓，且該圓的圓心為M，MPMO，點(diǎn)M的軌跡為線段OP的垂直平分線kOP2，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為

18、(1,2)，點(diǎn)M的軌跡方程是y2(x1)，即x2y50.能力提升1已知M(2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是_【解析】設(shè)P(x，y)，MPN為直角三角形，MP2NP2MN2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得x2y24.M，N，P不共線，x2，軌跡方程為x2y24(x2)【答案】x2y24(x2)2P是橢圓1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，12，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_【解析】由12，又1222，設(shè)Q(x，y)，則(x，y)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有1，即1.【答案】13設(shè)動(dòng)直線l垂直于x軸，且與橢圓x22y24交于A，B兩點(diǎn)，P是l上滿足1的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程