1、一 平面直角坐標系 1平面直角坐標系(1)平面直角坐標系的作用：使平面上的點與坐標、曲線與方程建立聯(lián)系，從而實現(xiàn)數(shù)與形的結合(2)坐標法解決幾何問題的“三部曲”：第一步：建立適當坐標系，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算結果翻譯成幾何結論2平面直角坐標系中的伸縮變換(1)平面直角坐標系中方程表示圖形，那么平面圖形的伸縮變換就可歸納為坐標伸縮變換，這就是用代數(shù)方法研究幾何變換(2)平面直角坐標系中的坐標伸縮變換：設點P(x，y)是平面直角坐標系中任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應到點P(x，y)，稱為平

2、面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換 用坐標法解決幾何問題例1已知ABC中，ABAC，BD、CE分別為兩腰上的高求證：BDCE.思路點撥由于ABC為等腰三角形，故可以BC為x軸，以BC中點為坐標原點建立直角坐標系，在坐標系中解決問題證明如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系設B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)則直線AC的方程為yxh，即：hxayah0.直線AB的方程為yxh，即：hxayah0.由點到直線的距離公式：得|BD|，|CE|.|BD|CE|，即BDCE.建立平面直角坐標系的原則根據(jù)圖形的幾何特點選擇適當?shù)闹苯亲鴺讼档囊恍┮?guī)則：如果圖形有對

3、稱中心，選對稱中心為原點，如果圖形有對稱軸，可以選對稱軸為坐標軸，使圖形上的特殊點盡可能多地在坐標軸上1求證等腰梯形對角線相等已知：等腰梯形ABCD.求證：ACBD.證明：取B、C所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系設A(a，h)，B(b,0)，則D(a，h)，C(b,0)|AC|，|BD|.|AC|BD|，即等腰梯形ABCD中，ACBD.2已知ABC中，BDCD，求證：AB2AC22(AD2BD2)證明：以A為坐標原點O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐系xOy，則A(0,0)設B(a,0)，C(b，c)，則D(，)，所以AD2BD2(a2b2c2)，AB2AC

4、2a2b2c22(AD2BD2).用平面直角坐標系解決實際問題例2如圖所示，A，B，C是三個觀察站，A在B的正東，兩地相距6 km，C在B的北偏西30，兩地相距4 km，在某一時刻，A觀察站發(fā)現(xiàn)某種信號，并知道該信號的傳播速度為1 km/s,4 s后B，C兩個觀察站同時發(fā)現(xiàn)這種信號，在以過A，B兩點的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸建立的平面直角坐標系中，指出發(fā)出這種信號的P的坐標思路點撥由題意可知，點P所在的位置滿足兩個條件：(1)在線段BC的垂直平分線上；(2)在以A，B為焦點的雙曲線上解設點P的坐標為(x，y)，則A(3,0)，B(3,0)，C(5,2)因為|PB|PC|，所以點P在

5、BC的中垂線上因為kBC，BC的中點D(4，)，所以直線PD的方程為y(x4)又因為|PB|PA|4，所以點P必在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，雙曲線方程為1(x2)聯(lián)立，解得x8或x(舍去)，所以y5.所以點P的坐標為(8,5)運用解析法解決實際問題的步驟(1)建系建立平面直角坐標系建系原則是利于運用已知條件，使表達式簡明，運算簡便因此，要充分利用已知點和已知直線作為原點和坐標軸(2)設點選取一組基本量，用字母表示出題目涉及的點的坐標和曲線的方程(3)運算通過運算，得到所需要的結果3已知B村位于A村的正西方向1千米處，原計劃經(jīng)過B村沿著北偏東60的方向埋設一條地下管線m，但A村的西北方向4

6、00米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結果，文物管理部門將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū)試問：埋設地下管線m的計劃需要修改嗎？解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，B(1 000,0)，由W位于A的西北方向及|AW|400，得W(200，200)由直線m過B點且傾斜角為906030，得直線m的方程是xy1 0000.于是，點W到直線m的距離為100(5)113.6100.所以，埋設地下管線m的計劃可以不修改直角坐標系中的伸縮變換例3求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2y21變成曲線1.思路點撥設出變換公式，代入方程，比較系數(shù)，得出伸縮變換解設變換為，代入方程1，得1.與

7、x2y21比較，將其變形為x2y21，比較系數(shù)得3，2.，即將圓x2y21上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得橢圓1.坐標伸縮變換：注意變換中的系數(shù)均為正數(shù)在伸縮變換下，平面直角坐標系保持不變，即在同一坐標系下只對點的坐標進行伸縮變換利用坐標伸縮變換可以求變換前和變換后的曲線方程已知前換前后曲線方程也可求伸縮變換.4求4x29y21經(jīng)過伸縮變換后的圖形所對應的方程解：由伸縮變換得：將其代入4x29y21，得4(x)29(y)21.整理得：x2y21.經(jīng)過伸縮變換后圖形所對應的方程為x2y21.5在同一直角坐標系下經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)閤29y29，求曲線C的方程解：將代

8、入x29y29，得9x29y29，即x2y21.6求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線1變成曲線1.解：設變換為代入方程1，得1，與1比較系數(shù)，得，得2，1.，即將橢圓1上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，可得橢圓1. 一、選擇題1將一個圓作伸縮變換后所得到的圖形不可能是()A橢圓B比原來大的圓C比原來小的圓 D雙曲線解析：由伸縮變換的意義可得答案：D2點(1,2)經(jīng)過伸縮變換后的點的坐標是()A(4，3)B(2,3)C(2，3) D.解析：把(1,2)代入得答案：D3在同一平面直角坐標系中經(jīng)過伸縮變換后曲線C變?yōu)榍€2x28y20，則曲線C的方程為()A25x236y20 B9x210

9、0y20C10x24y0 D.x2y20解析：將代入2x28y20，得：2(5x)28(3y)20，即：25x236y20.答案：A4在同一坐標系中，將曲線y3sin 2x變?yōu)榍€ysin x的伸縮變換是()A. B.C. D.解析：設則ysin x，即ysin x.比較y3sin 2x與ysin x，可得3，2，2.答案：B二、填空題5ycos x經(jīng)過伸縮變換后，曲線方程變?yōu)開解析：由得代入ycos x，得ycosx，即y3cosx.答案：y3cos6已知平面內(nèi)有一固定線段AB且|AB|4.動點P滿足|PA|PB|3，O為AB中點，則|PO|的最小值為_解析：以AB為x軸，O為坐標原點建立平

10、面直角坐標系，則動點P是以AB為實軸的雙曲線的右支其中a.故|PO|的最小值為.答案：7ABC中，B(2,0)，C(2,0)，ABC的周長為10，則A點的軌跡方程為_解析：ABC的周長為10，|AB|AC|BC|10.其中|BC|4，即有|AB|AC|64.A點軌跡為橢圓除去B、C兩點，且2a6,2c4.a3，c2，b25.A點的軌跡方程為1(y0)答案：1(y0)三、解答題8在平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形(1)5x2y0；(2)x2y21.解：由伸縮變換得到 (1)將代入5x2y0，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是5x3y0，表示一條直線(2)將代入x2y21，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是1，表示焦點在x軸上的橢圓9已知ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，證明：|AM|BC|.證明：以RtABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系設B，C兩點的坐標分別為(b,0)，(0，c)則M點的坐標為(，)由于|BC|，|AM| ，故|AM|BC|.10如圖，在以點O為圓心，|AB|4為直徑的半圓ADB中，ODAB，P是半圓弧上一點，POB30，曲線C是滿足|MA|MB|為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P.建立適當?shù)钠矫嬷苯?/p>