1、不等式選講一、課程目標(biāo)解讀選修系列4-5專題不等式選講，內(nèi)容包括：不等式的基本性質(zhì)、含有絕對值的不等式、不等式的證明、幾個著名的不等式、利用不等式求最大（?。┲怠?shù)學(xué)歸納法與不等式。通過本專題的教學(xué)，使學(xué)生理解在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系都是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，它們在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用；使學(xué)生了解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。二、教材內(nèi)容分析作為一個選修專題，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，教材內(nèi)容仍以初中知識為起點(diǎn)，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相

2、對的完整性整個專題內(nèi)容分為四講，結(jié)構(gòu)如下圖所示：第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學(xué)過的不等式6個基本性質(zhì)，從“數(shù)與運(yùn)算”的思想出發(fā)，強(qiáng)調(diào)了比較大小的基本方法?；仡櫫硕静坏仁剑怀鰩缀伪尘昂蛯?shí)際應(yīng)用，同時推廣到n個正數(shù)的情形，但教學(xué)中只要求理解掌握并會應(yīng)用二個和三個正數(shù)的均值不等式。對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運(yùn)算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學(xué)習(xí)解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式的比較法

3、、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容。這些方法大多在選修2-2“推理與證明”已經(jīng)學(xué)過，此處再現(xiàn)也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應(yīng)通過實(shí)際實(shí)際例子，使學(xué)生明確不等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或加進(jìn)一些項(xiàng)，在分式中放大或縮小分子或分母，應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮等（見分節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)）。本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎(chǔ)內(nèi)容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個不等式也是本專題實(shí)質(zhì)上的新增內(nèi)容，教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實(shí)際應(yīng)用。其中柯西不等式及其在證明不等式和求某些特殊類型函數(shù)極值中的應(yīng)用是教材編寫

4、和我們教學(xué)的重點(diǎn)。事實(shí)上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的簡單應(yīng)用，二者同樣重要，在某些問題中，異曲同工。比如課本P41頁，習(xí)題3.2第四題。排序不等式只作了解，建議在老師指導(dǎo)下由學(xué)生閱讀自學(xué)，了解教材中展示的“探究猜想證明應(yīng)用”的研究過程，初步認(rèn)識排序不等式的有關(guān)知識。第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”數(shù)學(xué)歸納法在選修2-2中也學(xué)過，建議放在第二講，結(jié)合放縮法的教學(xué)，進(jìn)一步理解“歸納遞推”的證明。同時了解貝努利不等式及其在數(shù)學(xué)估算方面的初步運(yùn)用。三、教學(xué)目標(biāo)要求1不等式的基本性質(zhì)掌握不等式的基本性質(zhì)，會應(yīng)用基本性質(zhì)進(jìn)行簡單的不等式變形。2含有絕對值的不等式理解絕對值的幾何意義，理解絕對值三

5、角不等式，會解絕對值不等式。3不等式的證明通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法4幾個著名的不等式(1)認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會用二維三維柯西不等式進(jìn)行簡單的證明與求最值。(2)理解掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式并應(yīng)用。(3)了解n個正數(shù)的均值不等式，n維柯西不等式，排序不等式，貝努利不等式5利用不等式求最大（小）值會用兩個或三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。6數(shù)學(xué)歸納法與不等式了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍；會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的不等式。會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式。四

6、、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1、本專題的教學(xué)重點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)、均值不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式及其應(yīng)用、排序不等式；2、本專題的教學(xué)難點(diǎn)：三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運(yùn)用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。五、教學(xué)總體建議1、回顧并重視學(xué)生已學(xué)知識 學(xué)習(xí)本專題，學(xué)生已掌握的知識有： 第一、初中課標(biāo)要求的不等式與不等式組 (1)根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質(zhì)。 (2)解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不

7、等式組，并會用數(shù)軸確定解集。 (3)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題 第二、高中必修5不等式內(nèi)容： (1)不等關(guān)系。通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景。 (2)一元二次不等式。 (3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。 (4)基本不等式及其應(yīng)用（求最值）。 第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容。 回顧并重視學(xué)生在學(xué)習(xí)本課程時已掌握的相關(guān)知識，可適當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)，設(shè)置梯度恰當(dāng)?shù)牧?xí)題，采用題組教學(xué)的形式，達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的

8、專題復(fù)習(xí)，構(gòu)建知識體系。2、控制難度不拓展 在解絕對值不等式的教學(xué)中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不超過兩個；絕對值內(nèi)的關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式；不等式證明的教學(xué)，主要使學(xué)生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。 代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。這些技巧是極為重要的，但對大多數(shù)學(xué)生來說，往往很難掌握這些技巧，教學(xué)中要盡力使學(xué)生理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，對一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學(xué)陷在過于形式化的和復(fù)雜的技巧之中。3、重視不等式的應(yīng)用 不等式應(yīng)用的教學(xué)，主要是引導(dǎo)學(xué)生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過3個正數(shù)的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應(yīng)用不作要求。4、