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文檔簡介

1、例4細桿的熱傳導問題,長為 的均勻細桿，設與細桿線垂直截面上各點的溫度相等，側面絕熱， 端絕熱， 端熱量自由散發(fā)到周圍介質中，介質溫度恒為0，初始溫度為 求此桿的溫度分布。,解：定解問題為,得本征問題,當 或 時,當 時,由 得,由 得 故,即,圖 1,由圖1看出，函數(shù)方程有成對的無窮多個實根,故本征值為：,令,有,函數(shù)方程,對應的本征函數(shù),的方程：,解為,故,可以證明,函數(shù)系 在 上正交,由初始條件得,例5.在帶電的云跟大地之間的勻強靜電場(設其強度為 ,方向為豎直的)，水平架設一輸電線，討論輸電線(導體圓柱體)對勻強電場的影響。,解: 設輸電線圓柱半徑為 a，取垂直于圓柱體的平面為x y平

2、面, (x,y) 點處電勢用 u(x,y) 表示。,柱體外空間無電荷，電勢滿足二維Laplace方程,亦即,無限遠處靜電場保持勻強 ，且由于 x 軸平行于 故在無限遠處 ，即,因此 u(x,y) 滿足的定解問題為：,采用平面極坐標。,令,由于 不能分解，故不能直接用分離變量法。,令 則,則,取參數(shù),由平面極坐標下極角周期性，應有,即,亦即,自然周期條件,則,本征值問題,由 解得,結合自然周期條件，可求得本征值和本征函數(shù),的方程,歐拉型常微分方程,作代換 ，方程化為,其解為,分離變量形式解,所以,由邊界條件,由此,即,再由條件,由于 大時， 和 遠遠小于 項，當 時，,因而得,從而,最后得柱外的

3、靜電勢為：,式中三項有明顯的物理意義：,均勻帶電圓柱體周圍的靜電場和的電勢;,原來的勻強靜電場中的電勢分布;,例6 鋼錠傳熱問題。,軋制鋼材之前，須將鋼錠加熱到適當溫度，使其硬度降低，宜于軋制，該過程既費時，又費燃料，為了節(jié)約，須研究鋼錠的最佳在爐時間。,該問題可簡化為求表面溫度為零度、初始溫度已知的長方體的熱傳導問題：,為待定常數(shù)，再設 代入，得：,令,由邊界條件得三個本征值問題,其本征值和本征函數(shù)分別為,所以,關于 的方程,解得,則滿足方程和邊界條件的解,由初值條件,例7 梁的橫振動,梁發(fā)生振動時，兩端固定，且端點的擾矩為零，初始位移和初始速度分別為,解 定解問題為,本征值問題：,當 或 時,時,其中A,B,C,D 為任意常數(shù)，由邊界條件得,解之有 A =

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