1、2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念皰工巧解牛知識(shí)巧學(xué)一、向量1.數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，沒有方向的量叫做標(biāo)量.2.具有大小和方向的量稱為向量.更具體一些，我們先把向量理解為“一個(gè)位移”或“一點(diǎn)相對于另一點(diǎn)位置”的量.這是因?yàn)橛行┫蛄坎粌H有大小和方向，而且還有作用點(diǎn).例如，力就是這樣的量.顯然，若用同樣大小的力作用于一彈簧上，作用點(diǎn)不同，效果是不同的.有些向量是只有大小和方向，而無特定的位置，例如，位移、速度等.通常把后一類向量叫做自由向量.本章，我們所接觸的向量，若無特別說明，都認(rèn)為是自由向量.也就是說，本章所學(xué)的向量只有大小和方向兩個(gè)要素.學(xué)法一得 數(shù)

2、學(xué)中的向量是由大小和方向唯一確定的，是與起點(diǎn)無關(guān)的向量.也就是說，只要不改變它的大小和方向，是可以任意平行移動(dòng)的.辨析比較 數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，而向量不僅有大小，還有方向(兩重性)；數(shù)量能比較大小，而向量不能比較大小.例如，ab沒有意義，而|a|b|是有意義的；數(shù)量可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，如數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，而向量只能按向量加法、減法的平行四邊形法則和三角形法則或向量數(shù)乘的運(yùn)算律去運(yùn)算.二、有向線段 在物理學(xué)中，表示位移的最簡單方法是用一條帶箭頭的線段，箭頭的方向表示位移的方向，線段的長度表示位移的大小.速度和力也是用這種方法表示的，箭頭的方向分別表示速度和力的方向，線段的長度分別表示

3、速度和力的大小.1.定義：一般地，在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，我們說線段AB具有方向，具有方向的線段叫做有向線段.顯然，它的方向由A指向B.2.表示方法：以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的有向線段記作.應(yīng)注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面.如圖2-1-3.圖2-1-33.有向線段的三要素：已知，線段的長度也叫做有向線段AB的長度，記作|.有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.顯然有向線段的終點(diǎn)由它的起點(diǎn)、方向和長度唯一確定.辨析比較 由向量與有向線段的組成要素可知，向量和有向線段是有區(qū)別的.但是當(dāng)我們約定有向線段的起點(diǎn)也是任意的時(shí)候，它們就是相同的了.我們就可以說“向量就是

4、有向線段，有向線段就是向量”.三、向量的表示法1.用有向線段表示向量.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.向量的長度(或稱模)，記作|.如圖2-1-4所示.圖2-1-4規(guī)定了合適的比例尺后，平面上的向量就可以用有向線段來表示了.2.用字母表示向量.向量印刷時(shí)可用黑體小寫字母如a、b、c來表示，書寫用、來表示，還可用表示向量的有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)的字母表示.四、兩個(gè)特殊的向量1.零向量：長度(模)為0的向量，記作0.零向量的方向是不確定的.誤區(qū)警示 注意0與0的區(qū)別：0是一個(gè)向量，具有方向，而0是數(shù)量，沒有方向.2.單位向量：長度(模)為1個(gè)單位的向量叫做單位向量.顯然，單

5、位向量有無數(shù)個(gè)；單位向量的大小相等；單位向量不一定相等.五、平行向量1.定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.如圖2-1-5,a，b，c是平行向量.圖2-1-5通常記作abc.2.規(guī)定零向量與任一向量平行，即對于任意向量a，都有0a.六、相等向量 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如圖2-1-6，用有向線段表示的向量a與b相等，記作a=b.圖2-1-6對于相等向量的理解要注意以下幾個(gè)問題：(1)零向量與零向量相等，即0=0.(2)任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).(3)由相等向量的定義可知，對一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，可任意平移(

6、自由向量的起點(diǎn)可任意選定).如圖2-1-7，容易看出：. 由以上分析，一個(gè)平面向量的直觀形象是平面上“同向且等長的有向線段的集合”.圖2-1-7學(xué)法一得 判斷兩個(gè)向量相等的唯一依據(jù)就是它的定義，即只需比較兩個(gè)向量的模(有向線段的長度)是否相等、方向是否相同，與它們所在的直線是否共線無關(guān).七、共線向量 由于任一組平行向量都可移到同一條直線上，所以平行向量也叫共線向量. 如圖2-1-8，a、b、c是一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線l，在l上任取一點(diǎn)O，則可在l上分別作出=a，=b，=c.圖2-1-8學(xué)法一得 任一向量都與它自身是平行向量，因?yàn)榱阆蛄康姆较虿淮_定，所以規(guī)定零向量與任一向量

7、都是平行向量.由于平行向量的基線互相平行或重合，所以其方向相同或相反，向量平行與直線平行不同，向量平行包括基線重合的情況，而直線平行一般不包含重合的情形.典題熱題知識(shí)點(diǎn)一 向量例1 指出下列概念是不是向量：(1)作用于物體上的大小為10 N，方向是南偏西30的力；(2)溫度表中表示零上、零下的溫度；(3)物體M沿東北方向移動(dòng)了8 m的位移.思路分析：根據(jù)向量定義可以判別.解：(1)是向量.因?yàn)榱κ羌扔写笮∮钟蟹较虻牧浚?2)不是.因?yàn)闇囟缺砜梢杂脦д?fù)號(hào)的實(shí)數(shù)來表示；(3)是向量.因?yàn)槲灰剖羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?知識(shí)點(diǎn)二 向量的表示法例2 如圖2-1-9，在平行四邊形ABCD中，用有向線段表示

8、圖中向量，正確的是( )圖2-1-9A., B.,C., D.,思路分析：向量可用有向線段來表示，箭頭的指向是從向量的起點(diǎn)指向終點(diǎn)的方向.答案：C知識(shí)點(diǎn)三 兩個(gè)特殊的向量例3 把平面上一切單位向量的起點(diǎn)歸結(jié)到同一點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是( )A.一條線段 B.一段弧C.一個(gè)圓 D.圓上一群孤立的點(diǎn)思路分析：因?yàn)閱挝幌蛄康哪Ｊ?，所以它的終點(diǎn)到公共點(diǎn)的距離都是1，符合圓的定義，故選C.答案：C知識(shí)點(diǎn)四 平行向量例4 命題“若ab，bc，則ac”( )A.總成立 B.當(dāng)a0時(shí)成立C.當(dāng)b0時(shí)成立 D.當(dāng)c0時(shí)成立思路分析：這里要作出正確選擇，就要探求題中命題成立的條件.零向量與其他任何

9、非零向量都平行，當(dāng)兩非零向量a、c不平行而b=0時(shí)，有ab，bc，但這時(shí)命題不成立，故不能選擇A，也不能選擇B與D，只能選擇C.答案：C方法歸納 本例說明向量平行的傳遞性要成立，就需“過渡”b向量不為零向量.事實(shí)上，在b0的情況下：a0，c0時(shí)，ab，a與b同向或反向.又bc，b與c同向或反向.a與c同向或反向.ac.若a與c中有一個(gè)為零向量，則另一個(gè)無論為零向量還是不為零向量，均有ac.由以上可以確定C是正確的.例5 如圖2-1-10，D、E、F分別是ABC的三邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，寫出與平行的向量.圖2-1-10思路分析：線段DF是ABC的中位線，凡是與平行的有向線段都是與平行的向量.

10、結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可以得出結(jié)論.解：與平行的向量有、EC.知識(shí)點(diǎn)五 相等向量例6 (1)如圖2-1-11，D、E、F依次是等邊ABC的邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，在以A、B、C、D、E、F為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，找出與向量相等的向量. 圖2-1-11 圖2-1-12(2)如圖2-1-12，設(shè)點(diǎn)O為正八邊形ABCDEFGH的中心，分別寫出與、相等的向量.思路分析：尋找相等向量，應(yīng)寫出給定向量的相等向量，應(yīng)結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，如三角形中位線平行于底邊且等于底邊的一半等.先確定方向，再確定長度.解：(1)與相等的向量有，；(2)與相等的向量是與相等的向量是；與相等的向量是；與相等的向量是.方法歸納

11、在研究相等向量時(shí)，要充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)，如平行四邊形的對邊平行且相等，對角線互相平分；三角形的中位線平行且等于底邊的一半；梯形的中位線平行于兩底且它的長等于兩底長的和的一半等.知識(shí)點(diǎn)六 共線向量與相等向量例7 判斷下列命題的真假.(1)直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)半軸是向量；(2)若兩個(gè)向量相等，則兩個(gè)向量平行；(3)向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一條直線上；(4)向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；(5)若|a|=|b|，則a=b.思路分析：判斷上述命題的真假性，需細(xì)心辨別才能識(shí)其真面目.解：(1)直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的非負(fù)半軸，雖有方向之別，但無大小之分，故命題是錯(cuò)誤的.(2)由于兩個(gè)向量相

12、等，必知這兩個(gè)向量的方向與長度均一致，故這兩個(gè)向量一定平行，所以，此命題正確.(3)不正確.由與共線，可以推知與平行或共線，故不一定能斷定A、B、C、D在同一條直線上.此命題不正確.(4)不正確.因?yàn)榱阆蛄康哪Ｊ橇?(5)不正確.當(dāng)a與b的方向不同時(shí)，a與b一定不相等.例8 試討論以下幾個(gè)問題：(1)平面向量是否一定方向相同？(2)共線向量是否一定相等？(3)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是不是相等的向量？(4)不相等的向量，一定不平行.(5)相等的非零向量，若起點(diǎn)不同，終點(diǎn)一定不相同.(6)非零向量的單位向量唯一.解：(1)否，還可以方向相反.(2)否，共線向量的方向相同或相反，大小

13、不一定相等.(3)是，因?yàn)橄蛄颗c起點(diǎn)的位置無關(guān).(4)否，例如模不等的共線向量.(5)對，可以用反證法證明.(6)不對，因?yàn)槿我环橇阆蛄縜的單位向量為.問題探究交流討論探究問題 在初學(xué)本節(jié)時(shí)，由于受到實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)中的負(fù)面影響，或相關(guān)概念理解不深，易發(fā)生一些錯(cuò)誤的判斷，請問你們能不能歸納出一些常見的錯(cuò)誤判斷？探究過程：學(xué)生甲：由于向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，方向表示向量的方向，所以容易出現(xiàn)“向量就是有向線段”的錯(cuò)誤判斷.學(xué)生乙：在實(shí)數(shù)中，若|a|=|b|，則有a=b或a=-b，受它的影響易出現(xiàn)“若|a|=|b|，則有a=b或a=-b”的錯(cuò)誤論斷.學(xué)生丙：還有一條，由于實(shí)數(shù)

14、中零書寫的影響，容易出現(xiàn)“若|a|=0，則a=0”的錯(cuò)誤判斷.學(xué)生?。河捎诹阆蛄颗c任意向量平行，當(dāng)b=0時(shí)，不共線的兩個(gè)非零向量a、c都與b平行，即ab，bc，但受平面幾何知識(shí)的影響，就易出現(xiàn)“若ab，bc，則ac”的錯(cuò)誤判斷.探究結(jié)論：在本節(jié)中易出的錯(cuò)誤判斷有：“向量就是有向線段”“若|a|=|b|，則有a=b或a=-b”“若|a|=0，則a=0”“向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上”“向量與向量平行，線段AB與線段CD平行”等錯(cuò)誤判斷.誤區(qū)陷阱探究問題 “向量就是有向線段”這個(gè)觀點(diǎn)是否正確？探究過程：在畫圖時(shí)，向量常用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小(模)

15、，有向線段的方向表示向量的方向，因此，有向線段是向量的一種表示方法.此外有向線段是一個(gè)圖形,它包括了起點(diǎn)、方向和長度三個(gè)要素，而向量是一個(gè)量,它只包含了方向和大小兩個(gè)要素.也就是說，對于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，是可以任意平移的.因此，用有向線段表示向量時(shí)可以任意選取起點(diǎn).再有起點(diǎn)不同，長度相等和方向相同的兩個(gè)有向線段是不同的有向線段，但它們可以表示同一個(gè)向量.因此不能說向量就是有向線段.探究結(jié)論：“向量就是有向線段”這個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的.不能說向量就是有向線段，和向量相比，有向線段多了起點(diǎn)這個(gè)要素.材料信息探究問題 向量又稱矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué).很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng)

16、度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量，大約公元前350年，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到.那么向量又是如何進(jìn)入數(shù)學(xué)的？探究過程：“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段.向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可以畫出箭頭表示方向.但是在高等數(shù)學(xué)中還有更廣泛的向量.例如，把所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體看成一個(gè)多項(xiàng)式空間，這里的多項(xiàng)式都可看成一個(gè)向量.在這種情況下，要找出起點(diǎn)和終點(diǎn)甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的.這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學(xué)對象或物理對象.這樣，就可以將線性代數(shù)方法應(yīng)用到廣闊的自然科學(xué)領(lǐng)域中去了.因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法